Questões de Progressões

Questão 22201

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: Banco do Brasil
• Ano: 2003
• Provas: CESPE / CEBRASPE - 2003 - Banco do Brasil - Escriturário - 001
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Texto V - questões 13 e 14

Preparando-se para custear as despesas com a educação dos seus filhos, Carlos decidiu abrir uma poupança programada para 120 meses de duração, com rendimento mensal de 1%, em que os depósitos devem ser feitos no primeiro dia de cada mês. O valor d(k), em reais, do depósito a ser efetuado nessa poupança no k-ésimo mês obedece às seguintes regras:

. d(k) = 100, para k = 1, 2, ... , 12;
. d(k + 12) - d(k) = 100, para k > 1.

Com base nas informações do texto V, julgue os itens abaixo.

Se M(j) é o total a ser depositado por Carlos no ano j, na poupança mencionada no texto, então os valores M(1), M(2), ..., M(10) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Substitua o valor de k por 1,13,25... na segunda expressão e você observará uma PA anual com razão igual a 100.A escolha dos valores 1,13,25 deve-se ao fato desses valores iniciarem um novo ano, uma vez que "j" em "M(j)" corresponde a anos e "k" em "d(k)" a dias.Durante o cada ano o valor não é alterado por força da constância imposta na primeira expressão: d(1)=d(2)=d(3)=...=d(12)
• RESOLUÇÃO: (Apresentada pelo Professor Vilson Cortez, com complementação)4) Dada uma nova função onde M(j) é o total a ser depositado por Carlos no ano j, logo M(1), M(2), ..., M(10) formam uma Progressão Aritmética (PA).Lembrando que a Progressão Aritmética é uma seqüência numérica muito especial onde existe uma relação entre todos os seus termos, a saber:Termo anterior = termo posterior + razão, a razão é um valor constante.Por exemplo:2 4 6 8 10 é uma PA onde a razão é 2:Termo posterior = termo anterior + 2Repare:4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = razão = 2Analisando a função:M(1) = total a ser depositado por Carlos no ano 1 = d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) + d(6) + d(7) + d(8) + d(9) + d(10) + d(11) + d(12) = soma dos depósitos nos primeiros 12 meses = 12 . 100 = 1200Dado da questão: d(k + 12) – d(k) = 100, para k ? 1.d(13) = d(01+12) – d(01) = 100d(13) = 100 + d(01) = 100 + 100 = 200, entãoM(2) = total a ser depositado por Carlos no ano 2 = d(13) + d(14) + d(15) + d(16) + d(17) + d(18) + d(19) + d(20) + d(21) + d(22) + d(23) + d(24) = soma dos depósitos nos próximos 12 meses = 12 . 200 = 2400Logo:M(3) = 3600M(4) = 4800M(5) = 6000M(6) = 7200M(7) = 8400M(8) = 9600M(9) = 10800M(10) = 12000Temos uma PA onde a razão é 1200, ou seja, o termo posterior = termo anterior – 1200.A alternativa é CORRETA

• Se você prestar atenção, vai perceber que a cada 12 meses será acrescentado 100 na parcela (conforme o ciclo da fórmula d(k + 12) - d(k) = 100, pois K só vai de 1 até 12). Caso você não consiga visualizar, sugiro que teste ou volte aos exemplos anteriores.

  12: 100

  24: 200

  36: 300

  48: 400

  60: 500

  72: 600

  84: 700

  Sendo assim:

  M(1)=100x12=1200

  M(2)=200x12=2400

  M(3)=300x12=3600

  E assim por diante...

  Então, conclui-se que é uma P.A. de razão 1200.

  Avante!

• Se d(k) = 100 quando ele vai para a segunda condição temos que:

  d(k +12) - d(k) = 100, então essa regra serve para meses maiores que 12, pois quando k = 1,

  d(1 + 12) - d(1) = 100 ==> d(13) - d(1) = 100, d(13) representa o mês 13, ou seja o primeiro mês do segundo ano, e como sabemos que d(1) = 100 da primeira regra, temos que d(13) - 100 = 100.

  Logo d(13) = 100 + 100 = 200. Ou seja, a partir do segundo ano os valores depositados mensalmente serão 100 a mais que o primeiro, se você verificar para os anos seguintes verá que a cada ano 100 a mais será incrementado para o mês.

  Terceiro ano:

  d(13 + 12) - d(13) = d(25) - d(13) = 100, d(25) - 200 [pois d(13) = 200] = 100, logo, d(25) = 300.

  Como os colegas acima já colocaram, sabendo o valor depositado mensalmente, você pode multiplicar pelos meses e assim terá os valores anuais, respectivamente 1200, 2400, 3600 e assim por diante. Logo, uma progressão aritmética de razão de 1200. a1 = 1200, a2 = a1 + razão, a3 = a2 + razão. a1 = 1200, a2 = 1200 + 1200 = 2400 ...

  Valeu!!

Questão 23365

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: Caixa
• Ano: 2006
• Provas: CESPE / CEBRASPE - 2006 - Caixa - Técnico Bancário - NM
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Texto para os itens de 49 a 55.

       A CAIXA criou as Cestas de Serviços com o compromisso de valorizar o relacionamento com seus clientes e oferecer cada vez mais vantagens.
       Você paga apenas uma tarifa mensal e tem acesso aos produtos e serviços bancários que mais se adequarem ao seu relacionamento com a CAIXA.
       Alguns dos itens disponíveis têm seu uso limitado. Caso você exceda as quantidades especificadas ou utilize um item não incluso na sua cesta, será cobrado o valor daquele produto ou serviço discriminado na Tabela de Tarifas vigente.
       A seguir apresentam-se outras informações acerca das Cestas de Serviços da CAIXA.

Cestas de Serviços

       Possibilidade de escolha entre os dias 10, 15, 20 ou 25 para débito da tarifa.
       Desconto de 25% a 100% no valor da tarifa, de acordo com a pontuação obtida, calculada a partir do perfil do cliente. 
      Pontos obtidos: 0 a 24 Descontos: 0%
      Pontos obtidos: 25 a 49 Descontos: 25%
      Pontos obtidos: 50 a 74 Descontos: 50%
      Pontos obtidos: 75 a 99 Descontos: 75%
      Pontos obtidos: 100 ou mais Descontos: 100% 

 Com base nas informações do texto e sabendo que, a cada R$ 100,00 de saldo médio no trimestre em aplicação na poupança, o cliente acumula 1 ponto para o cálculo do desconto na tarifa mensal de serviços, julgue os seguintes itens.

A seqüência numérica formada pelos dias que podem ser escolhidos para débito da tarifa constitui uma progressão aritmética cuja razão é um número racional.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Correto ,pois a razão 5 ou seja 15-10=5 e 5 é um número racional.
• Número racional é todo o número que pode ser obtido da divisão (razão) entre 2 numeros inteiros. tem-se 25-20= 5; 20-15= 5; e o número 5 pode ser obtido por exemplo da razão 20/4 (que são 2 números inteiros)20/4=5.

• questão dada!

   

• Gabarito: CORRETO

   

  Essa daqui foi para mostrar que voce não é burro :)  kkk

• A questão pediu "A seqüência numérica formada pelos dias" 

  Logo, temos que os dias são:

  a1 - a2 - a3 - a4

  10 - 15 - 20 - 25

  r=a2-a1

  r=15-10

  r=5

   

• Sobre o comentário do Vitor: os números naturais pertencem ao conjuntos dos inteiros, os inteiros pertencem ao conjuntos dos racionais. Então, os racionais são nª positivos, nª negativos, frações, decimais e dízimas periódicas.

• Número racional é aquele que pode ser representado por fração. 5/1 é fração. 5 é racional. Todo inteiro é racional.

Questão 28639

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Caixa
• Ano: 2008
• Provas: CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Números Primos e Divisibilidade; Progressões

Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000?

• A. 90
• B. 142
• C. 220
• D. 229
• E. 232

Gabarito: C

Comentários

• Resolvi esta questão desta forma:
  entre 1 e 100 há 14 multiplos de 7 e 9 multiplos de 11.
  então, 14 x 10 =140 multiplos de 7
  e 9 x 10 = 90 multiplo de 11
  total=140+90=230 só que existem 10 numeros que são multiplo de 7 e 11 ao mesmo tempo.
  
  resposta certa C
  230-10=220
  
• Existem 142 múltiplos de 7
  e 90 de 11 entre 1 e 1000
  
  Basta dividir 1000por7 não levando em conta o resto e
  1000 por 11 não levando em conta o resto
  
  temos:
  
  142 multiplos de 7
  e 90 de 11
  
  quantos múltiplos temos de 7 e 11.
  Lembremos que "e" é multiplicação
  
  é só dividir 1000 pelo produto de 7x11
  1000/77=12 desconsiderando o resto
  
  142+90-12=220
  
  Fácil d+
• Progressão aritmética Para a sequencia de 7, temos: 7,14,21 .... 994an=a1+(n-1)r==>994=7+(n-1)7===>n=142Para a sequencia de 11, temos:11,22,...990990=11+(n-1)11===>n=90Retirando a intersecção dos dois números 7e11 ou seja: os multiplos de 77Dividindo 1000por 77=12(desconsidera os restos)Logo:142+90-12=240

• 1000 : 7 = 142 (desconsiderar números decimais)

  1000 : 11 = 90 (desconsiderar números decimais)

  11 x 7 = 77

  1000 : 77 = 12 (desconsiderar números decimais)

  
  

  142 + 90 = 232

  232 - 12 = 220

• M(7) + M(11) -M(77) = 142+90-12 = 220

• Questão top!Pena que não cai mais assim.

• 1°= 1000/7= 142 e restam 6

  2°= 1000/11= 90 e restam 10

  3°= M.M.C de 7 e 11 = 77

  4°= 1000/77= 12 e resto 76

  5 °= 142+90-12= 220

  R= 220

  Obs: os valores restos não são colocados na soma do 5° passo.

Questão 29062

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2008
• Provas: CESGRANRIO - 2008 - BR Distribuidora - Técnico de Enfermagem do Trabalho Júnior; CESGRANRIO - 2008 - BR Distribuidora - Técnico em Informática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

"Modelo de Gestão do abastecimento está preparado para a expansão da Petrobras (...)

A carga a ser processada nas refinarias da Petrobras no Brasil e no exterior deverá passar dos atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 milhões em 2012 (...)." Notícia publicada em 07 maio 2008. Disponível em: http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/

Se, de 2008 a 2012, a carga processada diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentar, anualmente, em progressão aritmética, quantos milhões de barris diários serão produzidos em 2011?

• A. 2,100
• B. 2,125
• C. 2,200
• D. 2,250
• E. 2,375

Gabarito: E

Comentários

• Fórmula do termo geral da PA => an = a1 + (n - 1).r
  2008, 2009, 2010, 2011, 2012.
  a1 , a2 , a3 , a4 , a5 .
  2 , ___ , ___ , ___, 2,5 .
  
  Usando a f´rmula do termo geral, fica:
  2,5 = 2 + (5 - 1).r
  2,5 = 2 + 4.r
  r = 0,125
  Como 2011 corresponde ao 4º termo da PA, temos:
  a4 = a1 + (4 - 1).r = 2 + 3 . 0,125 = 2 + 0,375
  a4 = 2,375 milhões
  
  gabarito letra E
• 2008 - 2 Milhões2012 - 2,5 MilhõesSubtrai o ano final pelo ano inicial: 2012 - 2008 = 4 anosSubtrai o total de barris que se deseja chegar pela produção atual: 2,5 - 2 = 0,5Dividise o segundo resultado pelo primeiro: 0,5 / 4 = 0,125. A cada ano irá produzir 0,125 a mais, ou seja.2008 - 2 Milhões2009 - 2,125 Milhões2010 - 2,250 Milhões2011 - 2,375 Milhões2012 - 2,5 Milhões.
• Pessoal, a forma que o Goiano explicou abaixo é perfeita, e a mais "técnica".Porém, como o nosso tempo é curto na hora da prova, podemos, quando a questão possibilitar, utilizar certos "artifícios"...Eu resolvi assim:Vamos supor que, para facilitar o entendimente, o aumento da produção fosse de 0,1milhão de barris por ano:2008 2009 2010 2011 20122,0 2,1 2,2 2,3 2,4Logo, em 2011, será um pouco mais de 2,3milhões de barris, pois em 2012 será produzido mais de 2,4milhões (2,5) e a única alternativa que se enquadra nessa possibilidade é a letra "e".Sei que não estou sendo nem um pouco "técnico", mas cheguei na resposta em poucos segundos e sem precisar fazer praticamente nenhuma conta...É apenas uma sugestão! Se for útil para alguém, ótimo!Espero que seja...

• Eu utilizei o seguinte mecanismo de resolução:

  ano:     2008     2009   2010    2011    2012   

  barriis  2,0           a2       a3         a4         2,5

  logo:

  a1=2,0

  a2=a1+r = 2,0+r

  a3=a2+r=a1+r+r =2,0 +2r

  a4=a3+r = 2,0+2r+r= 2,0 +3r

  a5=a4+r=2,0+3r+r  onde a5=2,5 sendo 2,5=2,0+4r  logo r=0,125

  substituindo

  a4=2,0+3r teremos a4=2,0 +3*0,125 teremos a4=2,375 opção e)

   

   

• É só utilizar a fórmula : A_n = A₁ + (n -1)r  ; O enunciado deu o A₁ = 2  e o ultimo termo, A₅, pois, se a sequencia tem 5 termos. Sendo assim, falta descobrir a razão (r).
       2,5 = 2 +(5-1)r    
       2,5 - 2 = 4r 
       r = 0,5/4
       r = 0,125
  
  Descobrimos a razão, agora é só aplicar a formula novamente : 
  
     A₄ = 2 + (4-1).0,125  
     A₄ = 2 + 0,375 
     A₄ = 2,375
  
• Pelas propriedades das PA's, tem-se que a soma dos termos equidistantes são sempre iguais e que a metade desta soma é o termo central.
  
  Ex.: 2,4,6,8,10 - onde: (2+10)/2 = 6; (4+8)/2 = 6, etc.
  
  então:
  
  2008         2009         2010        2011        2012
     2                                ???                             2,5
  
  2010 será - (2008+2012)/2 = 2,25
  
  então, 2011 será (2010+ 2012)/2, logo
  
  (2,25+2,5)/2 = 2,375
  
  Abs.

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) “Modelo de Gestão do abastecimento está preparado para a expansão da Petrobras (...) A carga a ser processada nas refinarias da Petrobras no Brasil e no exterior deverá passar dos atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 milhões em 2012 (...)." Notícia publicada em 07 maio 2008. Disponível em: http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/.

  2) Deve-se considerar que, de 2008 a 2012, a carga processada diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentou, anualmente, em progressão aritmética.

  Nesse sentido, frisa-se que a questão deseja saber quantos milhões de barris diários serão produzidos em 2011.

  Resolvendo a questão

  Inicialmente, deve-se destacar que, pelos dados acima, formou-se uma PA em que o primeiro termo corresponde a 2 milhões de barris por dia (2008) e o quinto termo corresponde a 2,5 milhões de barris por dia (2012).

  Assim, para se descobrir o valor referente a 2011 (quarto termo), deve-se descobrir a razão (r) da PA em tela.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 2 milhões, A5 = 2,5 milhões e n = 5.

  * Frisa-se que n é igual a 5, pois foi escolhido o quinto termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A5 = 2.000.000 + (5 - 1) * r

  2.500.000 = 2.000.000 + 4r

  4r = 2.500.000 - 2.000.000

  4r = 500.000

  r = 500.000/4

  r = 125.000.

  Logo, a razão da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 125.000.

  A partir dos resultados acima, tem-se a seguinte PA:

  2008 - 2.000.000.

  2009 - 2.125.000.

  2010 - 2.250.000.

  2011 - 2.375.000.

  2012 - 2.500.000.

  Logo, em 2011, serão produzidos 2,375 milhões de barris diários. 

  Gabarito: letra "e".

Questão 93286

• Banca: CONESUL
• Órgão: CMR-RO
• Ano: 2008
• Provas: CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Assinale a alternativa que contém a soma dos dez primeiros termos da P.A. (1; 3; 5;......).

• A. 90.
• B. 110.
• C. 80.
• D. 100.
• E. 120.

Gabarito: D

Comentários

• Sn = ((a1 + an)n)/2: fórmula da soma dos termos de uma PASn = somaa1 = primeiro termoan = enésimo termor = razãoAn = A1 + (n-1)r=> a10 = 1 + 18 = 19=>a10 = 19Sn = ((1 + 19)10)/2 = 100alternativa d.

• é só fazer a soma dos 10 primeiros números.

   {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100

  Logo a alternativa correta é a letra D

  Bons Estudos !!!

• A soma dos termos de uma PA é dado pela fórmula
  
  Sn = n.(a1+an) / 2
  
  Sendo:
  Sn = soma dos termos de uma PA de n termos;
  n = número de termos;
  a1 = o primeiro termo;
  an = o termo que ocupa a última posição;
  
  O valor de n (número de termos) foi fornecido pelo enunciado, sendo igual a 10.
  O primeiro termo também foi apresentado: 1.
  Falta apenas a informação sobre o termo a10.
  
  Para isso, basta usar a fórmula:
  an = a1 + [(n-1).r]
  
  Dessa forma:
  a10 = 1 + [(10-1).2]
  a10 = 1 + [9.2]
  a10 = 1 + 18
  a10 = 19
  
  Voltando à equação anterior:
  Sn = n.(a1+an) / 2
  S10 = 10.(1+19) / 2
  S10 = 10.20/2
  S10 = 100
  
  Sendo assim, a resposta correta é a D.
• Não concordo com esse tipo de comentário, pois desanima o estudante que por ventura venha a errar ou ter dificuldades com essa questão.
  Acredito que toda e qualquer pessoa tenha condições de passar em um concurso público, mesmo que alguns demorem mais tempo que outros.
  Muitos podem errar essa questão, mas gabaritar o restante da prova.
  até mais

• Galera tem um metodo mais facil ainda para esse tipo de questão que e some o primeiro termo mais o ultimo, mas como último se eu ainda não o tenho na questão e bem simple uma P.A sempre segue uma sequência, na questão e mostrado que a sequência e de 2 números assim como o primeiro termo e 1 o quinto termo sera 9, então pela logica o décimo termo é 19.

  então depois e apenas soma o primeiro mais o último e mutiplicar por dêz e depois dividir novamente por dois, vejam:

  1+19=20

  20*10=200

  200/2=100

  resposta correta é a D

• Podemos perceber que a sequência está aumentando de 2 em 2, logo a razão da PA é 2.

  Primeiro encontramos o a10:

   

  a10 = a1 + 9r

  a10 = 1 + 9.2

  a10 = 1 + 18

  a10 = 19

   

  Agora podemos utilizar a fórmula para encontrar a soma dos termos da PA

   

  Sn = (a1 + an) . n / 2

  Sn = (1 + 19) . 10 / 2

  Sn = 20 . 5

  Sn = 100

   

  Gabarito: D

   

Questão 108997

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Banco do Brasil
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo (Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo nos últimos anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 606,4 bilhões de dólares, em 2009. Considerando que este aumento anual venha acontecendo de forma linear, formando uma progressão aritmética, qual será, em bilhões de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 2010?

• A. 612,5
• B. 621,3
• C. 632,3
• D. 658,5
• E. 684,1

Gabarito: C

Comentários

• Esta é uma questão de progressão aritmética (PA):seja a1, a2, a3, a4 e a5 os gastos militares nos anos de 2006, 2007, 2008, 2009 e 2010, respectivamente e seja r a razão entre eles (o aumento linear de um ano para o ano seguinte), então o que sabemos é:2006 - a1 = 528,7 (I)2007 - a2 = a1 + r 2008 - a3 = a2 + r 2009 - a4 = a3 + r = 606,4 a4 = a1 + 3r = 606,4 (II)2010 - a5 = a4 + r = ?Solução: primeiro temos que descobrir o valor de r, como temos:a1 = 528,7 (I)a1 + 3r = 606,4 (II)substituindo I em II temos 528,7 + 3r = 606,4, portanto r = 25,9Em 2010 temos:a5 = a4 +r = 606,4 + 25,9 = 632,3
• Se em 2006=528,7 e 2009=606,4 a diferenca=77,7 dividindo pelos 3anos=25,9606,4+25,9=632,3
• an = a1+(n-1).r
  606,4 = 528,7 . 3r
  r = 25,9
  
  606,40+25,9 = 632,30
  
  resposta: (c)
• 2006.........................528.7
  2009.........................606.4
  
  Precisamos descobrir a diferença entre 2006 e 2009, logo:
  
  528,7 - 606,4 = 77,7
  
  Agora temos que dividir o resultado pelos 3 anos (2006 ate 2009)
  
  77,7 / 3 = 25,9 ( que é o aumento linear)
  
  Logo em 2010 o gasto militar será de 606,4 (valor do gasto em 2009) + 25,9
  
  Resposta correta letra C (632,3)
  
  

• 528,7 bilhões de dólares -------------------------> 2006

  ____  bilhões de dólares -------------------------> 2007

  ____  bilhões de dólares -------------------------> 2008

  606,4 bilhões de dólares -------------------------> 2009

  ____  bilhões de dólares -------------------------> 2010

  
  

  * A diferença de 2006 para 2009 é de 77,7 (606,4 - 528,7 = 77,7)

  * De 2006 para 2009 se passaram 3 anos, logo: 77,7 dividido por 3 (anos que se passaram) = 25,9

  * Sendo assim, 25,9 é a diferença anual (ano após ano)

  
  

   528,7 bilhões de dólares -------------------------> 2006  ( + 25,9)

   554,6 bilhões de dólares -------------------------> 2007  ( + 25,9)

   580,5 bilhões de dólares -------------------------> 2008  ( + 25,9)

   606,4 bilhões de dólares -------------------------> 2009  ( + 25,9)

   632,3 bilhões de dólares -------------------------> 2010.

  
  

  *Então, em 2010 o valor será de 632,3 bilhões de dólares.

• Utilizei o raciocinio

  A1=528,7

  A2=2007

  A3=2008

  A4=606,4

  A5=? (2010)

  peguei o a4-a1 ou seja, 606,4-528,7=77,7

  COMO A QUESTÃO QUER SABER O VALOR DE A5, PEGUEI O 77,7 E DIVIDI POR 3 QUE DEU 25,9

  AI OBTIVE A RAZÃO: 25,9

  APLIQUEI A FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PA

  A5=528,7+(5-1)X25,9

  A5=528,7+4X25,9

  A5=528,7+103,6

  A5=632,3

  RESPOSTA: LETRA C)

• a1 = 528,7

  a4 = 606,4

  a5 = ?

  razão = ?

  
  

  a4 = a1+3r

  606,4 = 528,7 . 3r

  r = 25,9

  
  

  a5 = a1 + 4r

  a5 = 528,7 + 4* 25,0

  a5 = 632,3

• Resolvo essa questão aqui nesse vídeo

  https://youtu.be/Fx6djIGshwg

  Ou procure por "Professor em Casa - Felipe Cardoso" no YouTube =D

• Não fiquem muito presos às fórmulas, tentem ir pela lógica.

  Essa questão bastava ir testando as alternativas subtraindo com 606,4 (o ano de 2009).

  Pegando 632,3 - 606,4 vamos obter 25,9

  Daí é só multiplicar por 3 (pois vamos verificar se de 2006 pra 2009 o resultado é o mesmo), o que dá 77,7.

  Somando 528,7 + 77,7 nós temos 606,4.

• Questão resolvida no vídeo abaixo

  https://www.youtube.com/watch?v=-J1vqTeM1FQ

  Bons estudos!

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo (Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo nos últimos anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 606,4 bilhões de dólares, em 2009.

  2) Deve-se considerar que este aumento anual venha acontecendo de forma linear, formando uma progressão aritmética.

  Nesse sentido, frisa-se que a questão deseja saber qual será, em bilhões de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 2010.

  Resolvendo a questão

  Inicialmente, deve-se destacar que, pelos dados acima, formou-se uma PA em que o primeiro termo corresponde a 528,7 bilhões de dólares (2006) e o quarto termo corresponde a 606,4 bilhões de dólares (2009).

  Assim, para se descobrir o valor referente a 2010 (quinto termo), deve-se descobrir a razão (r) da PA em tela.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 528,7, A4 = 606,4 e n = 4.

  * Frisa-se que n é igual a 4, pois foi escolhido o quarto termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A4 = 528,7 + (4 - 1) * r

  606,4 = 528,7 + 3r

  3r = 606,4 - 528,7

  3r = 77,7

  r = 77,7/3

  r = 25,9 bilhões de dólares.

  Logo, a razão, em bilhões de dólares, da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 25,9.

  A partir dos resultados acima, tem-se a seguinte PA:

  2006 - 528,7 bilhões de dólares.

  2007 - 554,6 bilhões de dólares.

  2008 - 580,5 bilhões de dólares.

  2009 - 606,4 bilhões de dólares.

  2010 - 632,3 bilhões de dólares.

  ...

  Gabarito: letra "c".

• Resposta: alternativa C.

  Comentário no canal “Acervo Exatas - Questões de Concurso” no Youtube: 

  https://youtu.be/-J1vqTeM1FQ

Questão 160546

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: ANP
• Ano: 2008
• Provas: CESGRANRIO - 2008 - ANP - Técnico Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

O Rio de Janeiro assiste a uma acelerada expansão de empresas financeiras nos últimos 4 anos (...). De dezembro de 2003 a dezembro de 2007, o número de licenças concedidas pela Prefeitura para funcionamento de instituições financeiras passou de 2.162 para 3.906.

Jornal O Globo, 08 fev. 2008. (adaptado)

Considere que o número de licenças concedidas anualmente pela Prefeitura tenha aumentado linearmente, formando uma progressão aritmética. Sendo assim, quantas licenças foram concedidas em 2006?

• A. 3.034
• B. 3.255
• C. 3.325
• D. 3.470
• E. 3.570

Gabarito: D

Comentários

• a1 (ano de 2003) = 2162
  a5 (ano de 2007) = 3906
  
  
  a5 = a1 + 4r => 4r = a5 - a1 = 3906 - 2162 = 1744
  
  
  r = 1744/4 = 436
  
  
  para o ano de 2006 (a4) temos:
  a5 = a4 + r => a4 = a5 - r = 3906 - 436 = 3470
• ATENÇÃO ERRO NO ENUCIADO:
  
  LICENÇAS CONCEDIDAS NO ANO DE 2006 (EM 2006) = 436
  
  LICENÇAS CONCEDIDAS ATÉ O ANO DE 2006 (TODOS OS ANOS SOMADOS DESDE O COMEÇO ATÉ 2006) = 3470
  
  
  
  PARACE INSIGNIFICANTE MAS QUESTÕES COM ESSE TIPO DE ERRO SÃO PASSÍVEIS DE RECURSO E ANULAÇÃO
  
  FICA A DICA.
  ABS
• Ótima observação, Gabriel!
  
  Embora não haja uma alternativa que possa confundir com esse resultado, foi um erro passível de anulação sim.
  
  
  

• Fiz assim:

  2003 – 2162

  2004 

  2005¹ [média entre 2003 (2162) e 2007 (3906) – 3034]

  2006² - ? [média entre 2005 (3034) e 2007 (3906) – 3470]

  2007 – 3906

  ¹ 1º passo

  ² 2° passo 

  
  

• Solução: 3906 - 2162 = 1744

  1744 / 4 = 436 

  Período Anual de 0 a 4

  (0) 2003 - (1) 2004 - (2) 2005 - (3) 2006 - (4) 2007

  2162 + 436 + 436 + 436 + 436 

  2162 = 2598 = 3034 = (3470) = 3906 

  Espero ter ajudado na simplicidade outros colegas.

  Deus no abençoe!

• DEZ/2003 a DEZ/2007 = 4 anos e 1 mês, não?! No mínimo teria que dar a entender que as licenças concedidas em Dez/2003 já não estavam na contagem.

• Subtrai o valor total do valor inicial (3906-2162= 1744).

  Dividi o valor encontrado por 4 (1744/4=436)

  Subtrai o valor das alternativas do valor total(3906) até achar uma com o resultado 436.

  A resposta é D.

• 2003 = a1

  2004 = a2

  2005 = a3

  2006 = a4

  2007 = a5

  Razão =  (3906-2162)/4 = 436

  como ele quer a4 = a5 - r = 3470.

   

• Gabarito : D

  a3 = 2162
  a7 = 3906
  a6 = ?

   

  a7 = a3 + 4r
  3906 = 2162 + 4r
  1744 = 4r
  r = 1744/4
  r = 436

   

  a6 = a7 - r
  a6 = 3906 - 436
  a6 = 3470

   

  ou

   

  a6 = a3 + 3r
  a6 = 2162 + 3x436
  a6 = 2162 + 1308
  a6 = 3470

          

   

   

• Pessoas que contabilizaram de 2003 p/ 2007 n = 4, me add hahaha

  Puft! 2003, 2004, 2005, 2006, 2007 n = 5!!!
  
  
  An = A1 + (n - 1). r
  3.906 = 2.162 + (5-1).r
  3.906 - 2.162 = 4r
  r = 1.744/4
  r = 436
  
  
  3.906 - 436    =>   3470   
  (2007)                   (2006)

• 3906 - 2162 = 1744

   

  4 -- 1744

  1 -- x

  x = 436

   

  2162 + 436 = 2598 (2004)

  2598 + 436 = 3034 (2005)

  3034 + 436 = 3470 (2006)

• a1 = 2162

  a5 = 3906

  a4 = ?

  razão = ?

  
  

  a5 = a1 + 4*r

  3906 = 2162 + 4r

  r = 436

  
  

  a4 = a1 + 3r

  a4 = 2162 + 3*436

  a4 = 3470

  
  

  Alternativa D

• Por isso é que é bom resolver questões. Eu caio em um bocado pegadinha como essa. vou na maior ansiedade e contabilizo errado. excluí 2003 e acreditei na resposta que encontrei, errada! kkkk

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) O Rio de Janeiro assiste a uma acelerada expansão de empresas financeiras nos últimos 4 anos.

  2) De dezembro de 2003 a dezembro de 2007, o número de licenças concedidas pela Prefeitura para funcionamento de instituições financeiras passou de 2.162 para 3.906.

  3) Deve-se considerar que o número de licenças concedidas anualmente pela Prefeitura tenha aumentado linearmente, formando uma progressão aritmética.

  Por fim, frisa-se que a questão deseja saber quantas licenças foram concedidas em 2006.

  Resolvendo a questão

  Considerando que a Progressão Aritmética (PA) em tela começa em 2003 e termina em 2007, então é possível concluir que tal Progressão Aritmética terá 5 termos, sendo que o primeiro termo corresponde a 2.162 e o último termo corresponde a 3.906.

  Nesse sentido, para se descobrir os termos dessa Progressão Aritmética (PA), é necessário descobrir a razão (r) desta.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 2.162, A5 = 3.906 e n = 5.

  * Frisa-se que n é igual a 5, pois foi escolhido o quinto termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A5 = 2.162 + (5 - 1) * r

  3.906 = 2.162 + 4r

  3.906 - 2.162 = 4r

  4r = 1.744

  r = 1.744/4

  r = 436.

  Logo, a razão da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 436.

  Considerando as informações e os resultados encontrados acima, pode-se montar a seguinte Progressão Aritmética (PA):

  2003 - 2.162

  2004 - 2.598

  2005 - 3.034

  2006 - 3.470

  2007 - 3.906

  Logo, pode-se afirmar que foram concedidas 3.470 licenças em 2006.

  Gabarito: letra "d".

Questão 164071

• Banca: FCC
• Órgão: Banco do Brasil
• Ano: 2010
• Provas: FCC - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Progressão Aritmética - PA; Progressões

Segundo a Associação Brasileira de Franchising, o faturamento de franquias ligadas aos setores de saúde e bem estar quase dobrou de 2004 a 2009, pois neste período a receita total das empresas passou de 5 bilhões para 9,8 bilhões de reais. Se esse crescimento tivesse ocorrido de forma linear, a receita total das empresas desse setor, em bilhões de reais, teria sido de

• A. 5,34 em 2005.
  
• B. 6,92 em 2006.
  
• C. 7,44 em 2007.
  
• D. 8,22 em 2008.
  
• E. 8,46 em 2008.

Gabarito: B

Comentários

• Resposta :  Letra b)
  
  Período = 2009 - 2004 = 5 anos
  
  Crescimento do faturamento = ( 9,8 - 5 ) bilhões de reais = 4,8 bilhões de reais
  
  Crescimento anual = 4,8 / 5 = 0,96  bilhões de reais
  
  2005 = 1x0,96 + 5 = 5,96 bilhões
  2006 = 2x0,96 + 5 = 6,92 bilhões
  2007 = 3x0,96 + 5 = 7,88 bilhões
  2008 = 4x0,96 + 5 = 8,84 bilhões
  
  
  

• Eu fiz assim :

  dminui 9,8 - 5,0 = 4,8

  depois eu dividi 4,8 por 5 = 0,96

  depois multipliquei 0,96 por 2 ficou 1,96

  depois adicionei 5 a 1,96 = 6,92

   

  Resposta Certa Letra B

  Bons Estudos Pessoal !!

   

  Paulo.

• Para que se obtenha um crescimento linear é necessário que se obtenha uma função de 1° grau que represente a situação descrita:
  
  Função de 1° grau: y=ax+b;
  Na questão são relacionados os faturamentos de 5 e 9,8 bilhões das franquias ligadas aos setores de saúde em função dos seus respectivos anos: 2004  e 2009. Aplicando em função linear:
  
  em 2004: Y1= ax1 + b   que correspondem à:  5 =a*2004 + b (1);
  em 2009: Y2=ax2 + b que correspondem à: 9,8 = a*2009 + b (2);
  
  temos agora um sistema com duas equações e duas variáveis que resolvendo:
  
  Multiplica (1) por -1, obtém-se: -5 = -a2004 - b (3)
  somando-se as equações (2) e (3), obtém-se: 4,8 =  a5 o valor de "a" é: 0,96
  A única alternativa que se enquadra ao crescimento linear por ano de 0,96 Bilhões é:
  Letra "b" que em dois anos, de 2004 a 2006, passou de 5 bilhões para 6,92 bilhões; ou seja; 0,96 bilhões x 2 anos
  

• De acordo com o enunciado tem-se:

  2009 ---------- 9,8 bilhões

  2004 ---------- 5 bilhões
  
  

  Para que o crescimento seja linear, ano após ano a taxa de crescimento deve ser a mesma. Assim, considerando linear, acha-se o valor do crescimento anual da seguinte forma:

  (9,8 – 5)/(2009 – 2004) = 4,8 / 5 = 0,96 bilhões por ano
  
  

  Com o crescimento linear, tem-se:

  2004: 5 bilhões

  2005: 5,96 bilhões

  2006: 6,92 bilhões

  2007: 7,88 bilhões

  2008: 8,84 bilhões

  2009: 9,8 bilhões
  
  

  Resposta B
  

• Fiz assim:

  2004: 5 bilhões------------>   2009: 9,8 bilhões

  2009 - 2004 = 4,8 bilhões

  4,8 / 5 (anos) = 960 milhões

  Agora é só adicionar esses 960 milhões aos anos

  2005: 5 bilhões +960 milhões = 5.960 bilhões

  2006: 5.960 bilhões + 960 milhões = 6.920.000.000 bilhões

  etc

• 9,8 - 5 = 4,8

  
  

  5 -- 4,8

  1 -- x

  x = 0,96

  
  

  2005: 5 + 0,96 = 5,96

  2006: 5,96 + 0,96 = 6,92

• Solução em vídeo:

  https://youtu.be/oVyBHtRiIYU

• Questão resolvida no vídeo abaixo

  https://www.youtube.com/watch?v=5qZ8XcagxZk

  Bons estudos.

Questão 164074

• Banca: FCC
• Órgão: Banco do Brasil
• Ano: 2010
• Provas: FCC - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Progressões

Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar o 15o depósito, o total depositado por ela era

• A. R$ 4 700,00.
  
• B. R$ 4 800,00.
  
• C. R$ 4 900,00.
  
• D. R$ 5 000,00.
  
• E. R$ 5 100,00.

Gabarito: E

Comentários

• Resposta : Letra e:Trata-se de um problema de "Progressão Aritmética"Razão = R$ 20,0015° termo = 1° termo + R$ 20,00 x 14 = R$ 480,00Total depositado = n( Termo 0 + Termo 15 )/2Total depositado = 15( 200 + 480)/2 = 15 * 680/2 = 5100

• an=a1+(n-1)r

  an= 200+(15-1)20

  an= 200+14*20

  an=480

  Sn= (a1+an)/2*n

  Sn = (200+480)/2*15  =  5100,00

• Para enriquecer o aprendizado, a fórmula de Sn _____      Sn= (a1+an) . n
                                                                                                           _____________
                                                                                                                       2
  É isso, bons estudos a todos !!!!
  
• Após o primeiro depósito de R$ 200; foram realizados sempre depósitos acrescidos de R$ 20 em relação ao mês anterior = Esse enunciado está caracterizando tratar-se de uma Progressão Aritmética (P.A), pois o termo posterior da sequência é sempre um termo anterior somado a uma razão de valor fixo; desta forma:
  -Primeiro termo (a₁)= R$ 200,00;
  -razão(r)= 20,00;
  E deseja-se o valor acumulado após 15 depósitos, ou seja, o somatório até o 15º termo. Por tratar-se de uma P.A a fórmula da soma dos termos de uma P.A até o n-ésimo  termo é:  S_n =(a₁ + an) *n/2
  Mas antes é necessário descobrir-se o valor de an que no caso da questão é a15 ou o décimo quinto depósito;
  Utilizando a fórmula geral para os termos de uma P.A : an= a1+ (n-1)*r; para o caso: a15=200 + (14*20)=480
  
  Aplicando o valor de a15 na fórmula da soma : S15=(200+480)*15/2 = 5100 
  

• O candidato deve perceber que o valor dos depósitos trata-se de uma progressão aritmética (PA) crescente de razão 20.

  Com isso, para saber o total depositado ao ser realizado o 15° depósito, inicialmente utiliza-se a fórmula do termo geral da PA, a saber:

  a_n = a₁ + (n – 1) . r  ,onde

  a_n  é o n-ésimo termo;

  a₁ é o primeiro termo

  n é a posição do termo desejado

  r é a razão da PA

  a₁₅ = 200 + (15 – 1). 20 = 200 + 280 = 480
  
  

  Finalmente, utiliza-se a fórmula da soma dos n termos de uma PA, a saber:

  S_n = (a₁ + a_n ).n / 2

  S₁₅ = (200 + 480).15 / 2 = 10200/2 = 5100
  
  

  Resposta E
  

• a10 = a1 + 14.r

  a10 = 200 + 14.20

  a10 = 200 + 280

  a10 = 480

   

  Sn = (a1 + an) . n / 2

  Sn = (200 + 480) . 15 / 2

  Sn = 680 . 7,5

  Sn = 5100

• Segue a solução:

  https://youtu.be/A7dQj8dnkf8

• eu fiz na conta mesmo

• Questão resolvida no vídeo abaixo

  https://www.youtube.com/watch?v=cQUDLmKdKy4

  Bons estudos.

• a1= 200

  r=20

  n=15

  a15=?

  an= a1+(n-1).r

  a15= 200+(15-1).20

  a15= 200+14.20

  a15= 200+280

  a15= 480

  Deposito total!

  Sn=(a1+an).n

  2

  Sn= (200+480).15

  2

  Sn= 680.15

  2

  Sn= 10,200

  2

  Sn= 5,100

  Letra E

Questão 204259

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: EPE
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - EPE - Assistente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Na "Projeção da demanda de energia elétrica no Sistema Interligado Nacional (SIN) para o Plano Anual da Operação Energética (PEN 2010)", prevê-se um consumo de energia elétrica nas residências brasileiras de 103.272 GWh, em 2010, e de 126.425 GWh, em 2014. Considerando- se que essas projeções se confirmem e que o aumento anual no consumo de energia elétrica nas residências brasileiras, de 2010 a 2014, ocorra linearmente, formando uma progressão aritmética (PA), qual será, em GWh, a razão dessa PA?

• A. 2.315,30
• B. 4.630,60
• C. 5.788,25
• D. 7.717,67
• E. 8.691,65

Gabarito: C

Comentários

•  a1 = 103272

  a5 = 126425

  a5 = a1 + 4R

  126425 = 103272 + 4R

  4R = 23153

  R = 5788,25

• É preciso usar a fórmula do termo geral de uma P.A: a_n = a_1 + (n - 1) _x r
  Assim temos:
  a_{n =} 126.425
  a₁₌ 103.272
  n ₌ 5
  r₌ ?
  Substituindo os valores na fórmula teremos:
  126.425=103.272+(5-1)_xr
  126.425-103.272=4r
  23.153=4r
  r=23.153/4
  r=5.788,25
  Resposta: Item C
• muito simples a diferença entre 126.425 e 103.272 é igual a 23.153.
  
  Logo como se trata de razão de uma PA , basta dividir a dirença (23.153) pelo periodo considerado entre o 2010 e 2014 (4 anos).
  
  
  Sendo assim temos 23.153/4 = 5788,25!!!!!!!!!!!
  
  Áquila Dias.

• Temos como Primeiro Termo da PA o ano de 2010 que corresponde 103,272 , também temos como ultimo termo dessa PA o ano de 2014 que corresponde a 126,425. Temos 5 dados entre 2010 e 2014 portanto nossa PA tem 5 termos. Dispostos os dados, temos então a Fórmula geral de uma PA:

  an = a1 + ((n-1)*r) // substituindo

  
  126,425 = 103,272 + 4r 
  
  23,153 = 4r
  
  r = 5.788,25 //     Letra C
  
  Abraços,
  
  Cleber Peter.
• Tenha muito cuidado com a Cesgranrio na matemática, porque ela gosta de enganar muita gente, principalmente leigos em matemática.
  
  a pegadinha é 
  
  Vamos dizer que você conte 6 anos, ou conte 4 anos na P.A., observe os resultados respectivamente.
  
  => an = a1 + (6 - 1)r
  => 23 153/5 = 4 630,60  ----> Alternativa B
  
  => an = a1 + (4 - 1)r
  => 23 153/3 = 7 717, 67 -----> Alternativa D
  
  
  Essa banca é perigosa com sua matemática. Ela parece fazer isso quase em todas as suas perguntas de matemática. Então, sempre observe se há algo de errado nos cálculos. Sei que não temos tempo e acaba que marcamos logo no resultado que igualar com alternativas. 
  
  Valeu!
  
  
• Fácil!
  
  126.425 - 103.272 = 23.153
  
  23.153/4 = 5.788,25

• 126,424 - 103,272 = 23,153

  de 2010 para 2014 são 4 anos

  23/4 dá 5 e uns quebradinho, só marca a questão que tem 5

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) Na "Projeção da demanda de energia elétrica no Sistema Interligado Nacional (SIN) para o Plano Anual da Operação Energética (PEN 2010)", prevê-se um consumo de energia elétrica nas residências brasileiras de 103.272 GWh, em 2010, e de 126.425 GWh, em 2014.

  2) Deve-se considerar que essas projeções se confirmem e que o aumento anual no consumo de energia elétrica nas residências brasileiras, de 2010 a 2014, ocorra linearmente, formando uma progressão aritmética (PA).

  Por fim, frisa-se que a questão deseja saber qual será, em GWh, a razão dessa PA.

  Resolvendo a questão

  Considerando que a Progressão Aritmética (PA) em tela começa em 2010 e termina em 2014, então é possível concluir que tal Progressão Aritmética terá 5 termos, sendo que o primeiro termo corresponde a 103.272 GWh e o último termo corresponde a 126.425 GWh.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 103.272, A5 = 126.425 e n = 5.

  * Frisa-se que n é igual a 5, pois foi escolhido o quinto termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A5 = 103.272 + (5 - 1) * r

  126.425 = 103.272 + 4r

  126.425 - 103.272 = 4r

  4r = 23.153

  r = 23.153/4

  r = 5.788,25.

  Logo, a razão da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 5.788,25 GWh.

  Gabarito: letra "c".

Questão 215317

• Banca: FCC
• Órgão: AL-SP
• Ano: 2010
• Provas: FCC - 2010 - AL-SP - Agente Legislativo de Serviços Técnicos e Administrativos - Processamento de Dados
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A sequência de números inteiros (F₁, F₂, F₃...F_n-1, F_n , F_n+1...) cujos os termos são obtidos utilizando a lei de formação F₁= F₂= 1 e F_n = F_n-1 + F_{n -2}, para todo inteiro n ≥ 3, é chamada Sequência de Fibonacci - famoso matemático italiano do século XIII. Assim sendo, a soma do quinto, sétimo e décimo termos da Sequência de Fibonacci é igual a

• A. 73
• B. 69
• C. 67
• D. 63
• E. 81

Gabarito: A

Comentários

• O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a seqüência numérica abaixo:

  (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …).

  Essa seqüência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 e assim por diante. 

• Resposta LETRA A
  
  Sequencia de Fibonacci
  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .
  
  5º Elemento = 5
  7º Elemento = 13
  10º Elemento = 55
  
  5 + 13 + 55 = 73

• 1 + 1 = 2

  2 + 1 = 3

  3 + 2 = 5

  5 + 3 = 8

  8 + 5 = 13

  13 + 8 = 21

  21 + 13 = 34

  34 + 21 = 55

  55 + 34 = 89

  
  

  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

  
  

  5 + 13 + 55 = 73

• https://www.youtube.com/watch?v=dD-7-upfnOM
  

  Explicação pra quem ta perdido..

• Suponha que vc na hora da prova não sabia qual era a sequencia do tal ..  a questão te mostra:

  ela diz que F1=1, F2=1, F3=????

  diz também que Fn = Fn-1 + Fn-2 para n>=3 >>> legal , um termo geral para todo n>=3

  Testanto ele>>> F3 = F(3-1) +F(3-2) temos F3= F2+F1

  A partir disso F4=F3+F2  , F5=F4+F3  e assim vai... (1, 1, 2, 3, 5, ... ) o resto é papinha.. 

Questão 221863

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: BNDES
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - BNDES - Técnico Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A sequência numérica (6, 10, 14, ... , 274, 278, 282) tem 70 números, dos quais apenas os três primeiros e os três últimos estão representados. Qualquer número dessa sequência, excetuando-se o primeiro, é igual ao termo que o antecede mais 4. A soma desses 70 números é

• A.
• B. 10.080
• C. 13.560
• D. 17.840
• E. 20.160

Gabarito: B

Comentários

•  Soma = (a₁ + a_n)*n/2

  Sn = (6 + 282)*70/2 = 10080

  Alternativa b

• LETRA B  (P.A e SOMA DOS TERMOS )

  a₁=6         a₇₀=282         r=4     S_n= ?

  282=6+(n-1).4                               288.70/2 = 10.080 !

  282=6+4n-4

  280=4n

  n=70

• S=(a1+an/2) . n
  S=( 6+282/2). 70
  S= (288/2) . 70
  S= 144 . 70
  S= 10.080
• Tal como Gauss: 
  
  a1 = 6
  a70 = 282 
  
  a1+ a70 = a2 + a69 + ... = 288
  
  Logo, 288 x 35 (pares de números) = 10.080
  
  
• Como essa sequencia varia de 4 em 4, podemos concluir que é uma PA de razão +4
  
  A fórmula que eu uso para descobrir a soma de uma PA  é  SN= n ( a1+ an ) / 2
  Ainda mais nesse caso que temos o primeiro termo a1 e o ultimo termo an, onde n é o numero de termos dessa PA.
  
  Vamos substituir na formula
  
  SN= 70. ( 6 + 282 ) / 2     ---->    SN= 70. ( 288) / 2 ------>  SN= 20160 / 2 
  Soma dos termos dessa PA 10080
  
  LETRA B
  
  
• Bom dia!
  Alguém pode responder-me por que divide-se por 2?
  Grato.
• bom dia ... respondendo ao mario alves, é dividido por 2 porque faz parte da fórmula.
  
  Soma dos termos =  (a1 + an). N/2
                                         
  
  legenda: a1= primeiro termo;
                   an= ultimo termo;
                   N= total de numeros
  

• S70=(6+282)*70/2

  S70=10.080

  Gabarito: B

• AN=A1+(N-1).R                                               SN=(AN+A1).N/2

                                                                        S70=(6+282).70/2=      10.080    LETRA: B

  AN=A1+69R

  AN=6+69.4                           CREIA EM DEUS!

  AN=6+276

  AN=282

• SN=(6+282)X70

  SN= 288X70 DIVIDIDO POR 2

  SN=10080.

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) A sequência numérica (6, 10, 14, ... , 274, 278, 282) tem 70 números, dos quais apenas os três primeiros e os três últimos estão representados.

  2) Logo, tem-se uma Progressão Aritmética (PA), sendo que o primeiro termo e o último termo desta são os seguintes, respectivamente: 6 e 282.

  3) Qualquer número dessa sequência, excetuando-se o primeiro, é igual ao termo que o antecede mais 4. Logo, a razão (r) dessa Progressão Aritmética (PA) corresponde a 4.

  Nesse sentido, frisa-se que a questão deseja saber a soma desses 70 números dessa PA.

  Resolvendo a questão

  A fórmula referente à soma dos termos de uma Progressão Aritmética é a seguinte:

  Sn = ((A1 + An) * n)/2

  * No caso em tela o valor de A1 corresponde a “6” e A70 corresponde a “282”. Assim, tem-se o seguinte:

  Sn = ((A1 + An) * n)/2, sendo que A1 = 6, A70 = 282 e n = 70

  * O valor de “n” corresponde a “70”, pois será calculada a soma dos 70 termos da PA em tela.

  S70 = ((6 + 282) * 70)/2

  S70 = ((288) * 70)/2

  S70 = 20.160/2

  S70 = 10.080.

  Logo, a soma dos 70 números da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 10.080.

  Gabarito: letra "b".

Questão 243652

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Administrador
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica?

• A. - 9
• B. - 5
• C. - 1
• D. 1
• E. 9

Gabarito: A

Comentários

• Qual é o número ? vamos chamá-lo inicialmente de X.

  Então a PG será (1 + X, 5 + X, 7 + X)

  Sabendo que a razão da PG é a divisão de um termo pelo anterior, temos o seguinte: (7 + X)/(5 + X) = (5 + X)/(1 + X).

  Aplicando produto dos meios pelos extremos, encontraremos X = -9.

• 1+ (-9) = -8
  5 + (-9) = -4
  7 + (-9) = -2
  
  PG( -8, -4, -2)
  
  q= termo qualquer / termo anterior
  
  q= -4/-8 = 1/2;    -4/-2 = 1/2 ;   q= 1/2
  
  bons estudos!
  
  
• Vamo fazer a PG (1+x), (5+x), (7+x), a PG é um termo dividido pelo outro, fica assim:
  
  5+x = 7+x
  1+x   5+x     => (5+x)² = 7+x+7x+x²  => (agora aplicamos a regra quadrado do 1º+ 2 vezes o 1º vezes o segundo termo + o quadrado do segundo)
  
  => 5² +2*5*x+x² = 7+8x+x² => 10x-8x=7-25 => 2x = -18 => x = -9
  
  
  Bons Estudos
  

• nao entendi nada... mais fácil testar as alternativas

  A     -8    -4    -2   OK

  B     -4     0    já ferrou

  C     0   ferrou

  D    2     6     8     nao serve

  E    10     14    16   nao serve

   

  mais fácil impossivel

   

  outro jeito é chatoi:

  R ≠ 1 , X ≠ 0 (se nao nao é PG)

  (1+X) R = (5 + X)

  (5 + X) R = (10 + X)

  (1+X) Re2 = (10 + X)

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

• PG (1 + x), (5 + x), (7 + x)

  "O quadrado do termo do meio é igual a multiplicação do termo anterior com o termo sucessor"

  (5 + x)² = (1 + x) . (7 + x)

  25 + 10x + x² = 7 + x + 7x + x²

  x² - x² + 10x - 8x = 7 - 25

  10x - 8x = -18

  2x = -18

  x = -9

Questão 246847

• Banca: FCC
• Órgão: MPE-RS
• Ano: 2010
• Provas: FCC - 2010 - MPE-RS - Agente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Considere as progressões aritméticas:

P: (237, 231, 225, 219, ...) e Q: (4, 9, 14, 19, ...).

O menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento da sequência P também localizado na posição n é igual a

• A. 22.
• B. 23.
• C. 24.
• D. 25.
• E. 26.

Gabarito: B

Comentários

• DADOS:
  EM P, A RAZÃO É -6
  EM Q, A RAZÃO É 5
  MENOR VALOR DE Q PARA QUE Q SEJA MAIOR QUE P: ?
  
  INICIEI O CÁLCULO PELAS RESPOSTAS, PORTANTO,
  
  PARA P:                                 PARA Q:                                           
  A22 = A1+(N-1).R                A22 = A1+(N-1).R
  A22 = 237+(21).(-6)            A22 = 4+(21).5
  A22 = 111                             A22 = 109
  
  REFAZENDO A P.A. TEMOS:
        22º    23º   24º  25º   26º
  P( 111, 105,  99,   93,   87,...)
  Q(109, 114, 119, 124, 129,...)
  
  O MENOR VALOR DE Q PARA QUE SEJA MAIOR
  QUE O VALOR DE P É O 23ºTERMO (114).
• Lembrando que: an = a1 + (n - 1).r
  Do enunciado, sabemos que:
        Em P, r = -6
        Em Q, r = 5
  Daí, como a questão pede que an(Q) > an(P), então:
        4 + (n - 1).5 > 237 + (n - 1).(-6)
        4 + 5n - 5 > 237 - 6n + 6
        5n + 6n > 237 + 6 - 4 + 5
        11n > 244
        n > 22,1818...
  Como a questão quer o menor valor (inteiro) de "n" e como ele é maior que 22,1818..., então a resposta será 23.
• A sequência em P tem primeiro termo 237 e razão -6. Portanto, seu termo de ordem n é 237 - 6(n - 1).
  A sequência em Q tem primeiro termo 4 e razão 5. Portanto, seu termo de ordem n é 4 + 5(n - 1).
  
  Queremos saber o menor valore de n que satisfaz 4 + 5(n - 1) > 237 - 6(n - 1). Resolvendo:
  
  4 + 5(n - 1) > 237 - 6(n - 1)
  11(n - 1) > 233
  n - 1 > 21,1818...
  n > 22,1818...
  
  Como n é inteiro, o menor n que é maior que 22,1818... é 23.
  
  Resposta: b.
  
  Opus Pi.

• 4 + n.5 > 237 - n.6

  11n > 233

  n > 21,1

  n > 22

  n=21

  237 - 120 = 117

  4 + 100   = 104

  n=22

  117 - 6 = 111

  104 + 5 = 109

  n=23

  111 - 6 = 105

  109 + 5 = 114

  
  

• P: (237, 231, 225, 219, ...)

  Q: (4, 9, 14, 19, ...)

  
  

  an = a1 + (n - 1).r

  
  

  an de Q = 4(a1) + (n - 1).5(r)

  an de P = 237(a1) + (n - 1).(-6)

  
  

  an de Q > an de P

  4 + (n - 1).5 > 237 + (n - 1).(-6)

  4 + 5n - 5 > 237 - 6n + 6

  5n + 6n > 237 + 6 - 4 + 5

  11n > 244

  n > 22,1818...

  
  

  n = menor valor inteiro maior do que 22,1818... = 23

• Parabéns aos que conseguiram pelo menos entender o enunciado, porque ainda hoje estou boiando... Que "diabo" de questão é essa? 

• Gente, como eu não estava conseguindo, o enunciado pede o menor valor de n, eu escolhi o menor valor das opções.

  kkkk

Questão 253408

• Banca: FCC
• Órgão: TRF - 1ª REGIÃO
• Ano: 2007
• Provas: FCC - 2007 - TRF - 1ª REGIÃO - Técnico Judiciário - Área Administrativa; FCC - 2007 - TRF - 1ª REGIÃO - Técnico Judiciário - Segurança e Transporte
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões; Raciocínio Lógico

Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é

• A. 97
• B. 99
• C. 111
• D. 117
• E. 126

Gabarito: C

Comentários

• Os números de 1 a 9 possuem somente um algarismo; são, portanto, 9 números deste jeito, ao todo.
  Mas, os números de 10 a 99 possuem, cada qual, dois algarismos. Exemplo: o 10 é formado pelo algarismo 1 e pelo algorismo 0; e assim por diante. Portanto, são 90 números com 2 algarimsos cada, isto é, entre 10 e 99 são usados 180 algarimos para escrevê-los todos.
  Já os números de 100 a 999, têm três algarismos cada qual deles! Exemplo: o 100 é formado por um algarismo 1 e por dois algarismos 0; e assim por diante.
  -
  O problema diz no enunciado que foram usados 225 algarismos. Isso quer dizer que o número de páginas ultrapassou 99, já que, pela nossa contagem:
  Nºs de 1 algarismos: 9
  Nºs de 2 algarismos: 180
  Total parcial: 189
  225 - 189 = 36
  Mas cada nº entre 100 e 999 usa três algarismos cada, e como 36 = 12x3, deduz-se que 111 páginas foram numeradas!
• RESOLVENDO USANDO LOGICA  VEJA BEM SE FOI USADO 225 ALGARISMOS (ENTENDE-SE PAGINAS , CAPAS E CONTRA CAPA)- 225-03(02 paginas das capas e 01 pg. da contra-capa) =222 dividido por 02(cada pagina tem frente e verso ou seja 02 numeros)=111.
• Sr. Carlos
  
  Respeite o pensamento dos outros. A menina contribui de alguma forma com o site. Contribua com conteúdos adequados.
  
  Abraço.
• Resolução ;
  Paginas 1----9 = 9 algarismos
  10-----99= 180 algarismos
  Então a pagina ate o momento de 99.
  para concluir vc ainda tem 225 – (180 + 9)= 36 algarismos
  A partir do numero 100 vc terá 3 algarismos cada numero, então faltam 36 algarismos que dividindo por 3 vc terá ainda 12 paginas
  Paginação: 99 + 12 = 111 paginas .
  
  ALTERNATIVA C
• O problema diz no enunciado que foram usados 225 algarismos. 
  
  Nºs de 1 a 9 temos 9 algarismos = 9 pgs
  Nºs de 10 a 99 temos 2 algarismos = 180 : 2 = 90 pags
  225 - 189 = 36 que corresponde ao número restante de algarismos  
  Nºs de 100 a 999 temos 3 algarismos =  36 : 3  = 12 pags 
  Então somaremos os números de pags 9 + 90 + 12 = 111 pags

• De 01 até 99 utilizamos 189 algarismos.
  
  x é a quantidade de algarismos utilizados. Aprendi a seguinte fórmula (só pode usar com valor do x até 2889):
  
  y = (x - 189)/3      e no final aplica      y + 99
  
  y = (225 - 189)/3     y = 36/3   y = 12
  
  y + 99        12 + 99  = 111  
  
  Resposta: C

• Eu fiz por P.A., usando a fórmula do termo geral.
  A_p= A_k+(p-k).r
  
  De A₁ até A₉ são 9 algarismos
  
  De A₁₀ até A₉₉, sabemos que em cada um, são usados 2 algarismos, logo a razão é 2, e o A₁₀ consideramos como 2 também
  
  A₉₉ = 2+(99-10).2
  A₉₉ = 180
  
  A partir daí, serão usados 3 algarismos, logo a razão é 3 e A₁₀₀ também é 3
  225 - 189 = 36
  Queremos descobrir o p de A_p
  A_p = A₁₀₀+(p-100)3
  36 = 3+(p-100)3
  33=3p-300
  p=333/3
  p=111 páginas
  
  
• Unidades(1 ao 9) = (9 -1) + 1= 9 Paginas de 1 algarismo = 9 algarismos
  Dezenas(10 ao 99)= (99-10) +1= 90 Paginas de 2 algarismo= 180 algarismos.
  Dados da questão total de 255 algarismos = 255 - (180 + 9) = 36 Algarismos de 3 digitos.LOGO 36/3= 12 Paginas com 3 algarismos.
  
  9 +90 + 12= 111 Paginas.
  
• Olá!
  
  Gente, pra quem tem facilidade em decorar, segue a formula para resolver essas questoões de paginas/algarismos!
  P= A+108 / 3, onde P é o número de páginas e A o de Algarismo
  
  Assim, nesta questão temos: P= 225+108 / 3 
  P= 333 / 3 =111  
  
  

• 225 pgs.

  Obs. pgs signfica paginas.

  capa inicia como número 1

  contra capa seguirá a sequencia com o número 2 e assim por diante.

  225 pgs - 2 pgs = 223/2 = 111,5. Foi dividido por 2 , porque em cada pagina a mesma será enumerada em ambos os lados exeto a CAPA e a CONTRA CAPA temos 111,5 será arredondado para 111pgs.  

   

• Não cometam o mesmo erro que eu: confundi PÁGINA com FOLHA, pois cada folha tem 2 páginas. Então vejamos:

   

  Da página 1 a 9, temos 9 algarismos.

  Da página 10 a 99, temos 90 números de 2 algarismos = 90*2 = 180 algarismos.

  Até aqui temos 9+180 = 189 algarismos ------ Para fechar os 225 algarismos, será 225-189=36. Então faltam 36 algarismos.

  Assim...

  9 algarismos (são números com apenas 1 algarismo) = 9 páginas

  180 algarismos/2 (pois são números com 2 algarismos) = 90 páginas

  36 algarismos/3 (pois são números com 3 algarismos) = 12 páginas.

  TOTAL DE PÁGINAS = 9+90+12 = 111 páginas.

  "Que Deus nos ilumine sempre!"

• se é apartir da 1, tira um. se não conta capa e contra capa tira 2. fica 222/2=111

  gg

Questão 257578

• Banca: FCC
• Órgão: AL-SP
• Ano: 2010
• Provas: FCC - 2010 - AL-SP - Agente Legislativo de Serviços Técnicos e Administrativos
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A sequência de números inteiros (F₁, F₂, F₃, ..., F_n-1, F_n, F_n+1,  ...),  cujos termos são obtidos utilizando a lei de fornação  F₁ = F₂ = 1 e F_n = F_n-1 + F_n-2 ,  para inteiro  n>3 , é chamada Sequência de Fibonacci - famoso matemático italiano do século XIII. Assim sendo, a soma do quinto, sétimo e décimo termos da Sequência de Fibonacci é igual a

• A. 73
• B. 69
• C. 67
• D. 63
• E. 81

Gabarito: A

Comentários

• O algoritmo recursivo que define a sequência de Fibonacci aplica-se, na prática, conforme a regra sugere: começa-se a série com 0 e 1; a seguir, obtém-se o próximo número de Fibonacci somando-se os dois anteriores e, assim, sucessiva e infinitamente. Os primeiros números de Fibonacci, para n = 0, 1,…, são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…
  Para responder à questão, ignora-se o 0. Então, o quinto termo é o 5; o sétimo, o 13; e o décimo, o 55. Seu somatório, portanto, é 5 + 13 + 55 = 73. A letra "a" é a resposta. 
• Falando a linguagem mais simples posível, a sequência de Fibonacci se constitui da seguinte forma: o termo seguinte a N é igual a N+seu antecessor , por exemplo...
  
  N=2
  seu antecessor=1
  N+seu antecessor=2 + 1= 3
  termo seguinte a N = 3
  
  então sua sequência fica assim -->  {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...}
  
  Agora, basta identifica qual é o quinto, o sétimo e o décimo termos da sequência fibonacci..
  
                                                              {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...}
  
                                                                             5+13+55 = 73
  
  Alternativa A.

• A sequencia de Fibonacci inicia-se em "0 e 1", sendo portanto este par considerado o primeiro termo, os termos seguintes são dados pelas expressão Fn = Fn-1 + Fn-2 (ou seja o próximo número será resultado da soma dos dois anteriores) que resultará em {"0 e 1"; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; ...}, assim o quinto termo será o "5" o sétimo o "13" e o décimo o "55", a soma deles resultará em "73".

Questão 259246

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico Ambiental Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Comercialização Logística Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Contabilidade; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de enfermagem do trabalho; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Exploração de Petróleo I - Geodésia; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Exploração de Petróleo I - Geologia; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Logística de Transporte Júnior - Controle; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Logística de Transporte Júnior - Operação; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Manutenção Júnior - Caldeiraria; CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Manutenção Júnior - Elétrica; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Técnico de Manutenção
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Certo cometa, descoberto em 1760, foi novamente visível da Terra por poucos dias nos anos de 1773, 1786, 1799, etc., tendo mantido sempre essa regularidade. Esse cometa será novamente visível no ano de

• A. 2016
• B. 2017
• C. 2018
• D. 2019
• E. 2020

Gabarito: E

Comentários

• OBSERVANDO QUE NÃO É DADO O VALOR DE n, analisei da seguinte forma:
  Sendo a₁= 1760 e indo  para as opções de respostas basta abater de todos esses valores e verificar em qual delas  é multiplo de 13 pois a razâo é 13.
  Sendo assim após ter analizado todas as  as acertivas, cheguei a seguinte conclusão:  
  2020-1760=  260
  n=260/13=20 , fiz esse calculo com as demais possibilidades de respostas e em nem uma tive um valor abatendo o a₁ que fosse um  multiplo de 13.
  Para conferir basta tirar a prova:   an= a1+nr = 1760+ 20*13=
  =1760+260=2020.
  Recomendo que a titulo de exercicios veriquem as demais opções.
  Espero ter contribuido.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   

• Lembrando a Jozy que, na verdade, o a1 informado é 1760 e o resultado seria 2007... +13 = 2020.
  Só mesmo para complementar.
• 
  Os números 1760, 1773, 1786, 1799 fazem uma progressão aritmética. A razão é13.
  Veja que 2020 = 1760 + 20x13.
  
  A alternativa é E.
• Fiz da seguinte forma:
  
  Peguei um ano próximo aos mostrados nas alternativas: ano 2.000
  
  2.000-1.760= 240 aí dividi 240/13  achando 18 inteiros e uns quebrados
  
  multipliquei 18*13 = 234 + 1.760 = 1994 ( ou seja, em 1.994 o fenômeno aconteceu) depois fui somando 13 até achar um valor que tivesse nas alternativas
  
  1.994 + 13 + 13 = 2020
• fica fácil quando achei a razão 13, sem ficar testando nas alternativas pensei em 13 vezes 10 = 130 e multipliquei por 2 = 260.
  Agora é só somar ao primeiro termo 1760 + 260 = 2020
• Como descobriram o valor de N ?
  Não entendi pq é 20
• EU FIZ DIFERENTE DE TODOS,ACHEI A RAZÃO 13 DIMINUINDO a2-a1=r  E DEPOIS FUI SOMANDO 1799+13;ATÉ CHEGAR A 2020,NÃO CONSEGUI PELA FÓRMULA JÁ QUE NÃO FOI INFORMADO NO PROBLEMA O NÚMERO DE TERMOS.
• Enteressante como há várias possibilidades de resolução. Porém, temos de lembrar que o tempo que você perde em uma questão é crucial em qualquer concurso. Infelizmente para muitos e felizmente para poucos nem todos têm facilidade para enxergar a solução mais rápida para questões como essa (eu sou uma delas). Procurei fazer da seguinte maneira:
  
  1º passo: encontrei a razão diminuido um termo sucessor qualquer por seu antecedente. No caso:
  r = 1786 -1779 = 13
  
  2º passo: subtraí a primeira opção de resposta (letra a) pelo último antecessor dado (1799). Fiz isso porque notei que as opções de resposta também seguem uma P.A. de 2016 a 2020 com r=1.
  2016 - 1799 = 217
  
  3º passo: dividi 217 por 13, o que me deu um resultado 16 com resto 9
  217/13 = 16 (9)
  
  4º passo: somei ao resto o quanto eu precisava para chegar a 13.Logo, obtive o resultado 4.
  
  5º e último passo: Logo, sem precisar repetir esse procedimento nas demais opções, somei 4 a 2016 e cheguei ao resultado 2020, conforme o gabarito.
  
  É lógico que explicado passo a passo  fica bem devagar, mas na pratica fica um pouco mais rápido. Bem, essa foi a maneira mais rápida que EU pude fazer. Não significa que tenha sido a melhor, o que é bem provável. Mas acredito que tenha contribuido com o aprendizado dos colegas.
  
  Bons estudos, pessoal!!
  
• Bao tarde a todos: Ainda não entendi como foi que vocês chegarão a esse A20 e no N = 20, se algum poder me esplicar fico muito grato.
  
• Temos 1760,1773,1786,1799...
  
  r = 1773 - 1760 = 13
  
  Ok, agora pegamos os anos que temos nas respostas e fazemos:
  
  ANO - 1760 / 13
  
  EX: 2020 - 1760 = 260
  260 / 13 = 20
  
  Foi o unico ano que deu uma resposta inteira, então ele nos pede qual ano podemos ver o cometa novamente (inteiro)? Então 2020 :D
  Uma forma diferente mais que funcionou!
  haha
  
  Valeu!
  
  
• sendo r = 13
  
  1760/13 o resto é igual a 5.
  
  2020/13 o resto também é igual a 5.
  
  e) 2020
• Eu fiz da seguinte forma:
  se todos os resultados apontam para o ano de 2000 então eu terei que descobrir no minimo o ano mais proximo de 2000 que o cometa vai aparecer,então eu fiz :           a1=1773 - 2000 = 227  para saber quantos anos se passaram
  
   
                                                      Como se passaram 227 anos até o ano de 2000 e nesses anos o cometa apareceu de 13 em 13 anos ,então eu dividi 227 anos por 13 que vai dar 17 e sobra 6 ------- esses seis são seis anos que não completaram os 13,ou seja voce deve subtrair esses 6 anos de 2000 que vai dar o ano de 1994 ,então é como se o ano de 1994 correspondesse a  a17(a17 = 1994) 
  
  portanto é só somar 1994 + 13 = 2007 ( a18 = 2007) ............   2007 + 13 = 2020 ( a20= 20020)
  
  
  
  
  
  Fiz uma bagunça,vamos ver se voces conseguem entender...rsrs
• Tempo em prova vale ouro, sejamos práticos.
  
  De cara, já vemos que a soma dos elementos de cada ano (1760, 1773, 1786 e 1799) pode ser dividida por 2, portanto todos os conseguintes também terão de ter a mesma característica, desta forma já descartamos as alternativas a, b e c.
  
  A partir daí achamos a razão subtraindo qualquer ano pelo anterior (1773-1760=13) e, aplicando a fórmula em uma das alternativas restantes, chegaremos à resposta.
  
  Aplicando na alternativa d:
  
  an = a1 + (n-1) . r
  2019 = 1760 + (n-1) . 13
  2019 - 1760 = 13n - 13
  259 = 13n - 13
  259 - 13 = 13n
  246 = 13n
  n= 18,92
  
  Como o resultado deu quebrado, não pode ser essa resposta, então só nos resta a alternativa E. 
  

• 1812, 1825, 1838, 1851, 1864, 1877, 1890, 1903, 1916, 1929, 1942, 1955, 1968, 1981, 1994, 2007, 2020

• E se fosse uma prova da Cespe-unb que não tivessem as alternativas? Como solucionariam?

  
  

  
  

• O raciocínio mais fácil que encontrei foi: temos como valor de R=13 e A1=1760, aplicaremos a FORMULA DO TERMO GERAL (An=A1+ (n-1).R para que possamos encontrar quantas vezes ele passará. Mas iremos para deduções. As vezes que ele passará dará obrigatoriamente um valor inteiro, visto que o R=13, então o valor de vezes nao pode ser um valor ''quebrado''. Outro ponto a se observar é que o valor de quantas vezes que ele passará não poderá ser ''quebrado'' pois todos os anos são inteiros, e caso o valor da quantidade de vezes que ele passaria fosse ''quebrado'' o ano não seria inteiro.

  
  

  Bem, vamos la:

  Tendo A1=1760 e R=13, aplicando na FORMULA DO TERMO GERAL temos?

  An = A1 + (n-1).R >> usaremos como teste o 2020, então:

  2020 = 1760 + (n-1).13 >> 13n = 273 >> n=21

  
  

  Para tirar a prova real que nenhuma outra resposta dará inteiro:

  Usaremos agora outra alternativa... usaremos a data de 2019, então:

  2019 = 1760 + (n-1).13 >> 13n = 272 >> n=20,9230...

• Se o cometa passa de 13 em 13 anos
  

  Pra ele passar 10x se vão 130 anos, logo 20 x= 260

  1760+260=2020
  

• a1:1760......an:?.......n:5..... r:13... e a formula é an:a1+(n-1)r.... e o unico resultado possivel é 1812.... 

• Alternativas entre 2010 e 2020. Ano da prova: 2011. a1 = 1760
  2011 - 1760 = 251 anos. Na PA, esses 251 anos aparecem n vezes de acordo com a razão da PA.
  1760 , 1773 , 1786 , 1799 - PA de r=13
  251 / 13 = 19,? - arredondando para cima: n=20. Se a20 estiver abaixo de 2010, é só somar 13; se estiver acima de 2020, é só diminuir 13.
  an = a1 + (n-1) r
  a20 = 1760 + (20-1) . 13
  a20 = 1760 + 247
  a20 = 2007
  a21 = 2007 + 13 = 2020 (E)

• se multiplicarmos :
  

  13 x 17 = 221

  1799 + 221 = 2.020

  Letra E .
  

  
  

• Eu prefiro fazer assim:

  Primeiro pegamos um ano próximo desses da alternativa.. pode ser 2010

  E subtraímos pelo valor inicial 2010-1760=250

  Como a razão é 13, vamos dividir.

  250/13=19,

  Agora faço aplico o termo geral no A19, os decimais não me interessam.

  A19=a1+18.r

  A19=1760+18.13

  A19=1994

  Percebemos então que o cometa vai passar em 1994, agora ficou fácil!

  1994+13=2007 - Este é o A20

  2007+13=2020 - Este é o A21.

  Bons estudos!

• Do modo mais direto que achei:

   

  a1=1773                        R= a2 - a1                                      a20 = a1 + 19.R

  a2=1786                        R= 1786 - 1773 = 13                      a20 = 1773 + 19 . 13

                                                                                               a20 = 1773 + 247

                                                                                               a20 = 2020                            GABARITO  (E)

• Fiz de 13 em 13 anos e foi mais rápido do que pensei!

• O cometa aparece de 13 em 13 anos. Todos os anos do enunciado(1773,1786,1799) são da forma , ou seja, quando divididos por 13 deixam resto 5. Agora só falta achar um ano nas alternativas com essa mesma característica. No caso a resposta certa é a letra 

• E 2020

• e-

  pa.

  ___________________________________

  an= a1+(n-1)r

  an=?

  a1=1760

  r=13

  ___________________________________

  n= n° de vezes. para saber, faz-se:

  2011 - 1773= 251

  //2011 é o ano da questao

  251/13= 19.

  n=19.

  ___________________________________

  an=1760+(19-1)r

  an=1760+234

  an=1994

  os proximos anos serao 2007 & 2020

• Gab: E

  OBS: SEMPRE COMECEM A FAZER PELA ÚLTIMA ALTERNATIVA. FOI ISSO QUE EU FIZ, MAS PARA FINS DIDÁTICO

  Eu fiz os cálculos usando as alternativas da questão

  1° P.A An = a1 + (n-1). R

  a1= 1760

  R= 13

  Pegando a alternativa A

  2016 = 1760 + ( n - 1) . 13

  2016 = 1760 + 13n-13

  2016= 1747 + 13n ********** Vai ser a base para outros cálculos

  13n= 269

  n = 20,69..... Número quebrado, não é a resposta

  //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

  13n+ 1747 = 2017

  n = 20,76..... Número quebrado

  ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

  13n + 1747 = 2018

  n= 20,84 ..............Número quebrado

  //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

  13n + 1747 = 2019

  n= 20,92 ....................Número quebrado

  /////////////////////////////////////////////////////////////////////////

  13n + 1747 = 2020

  n= 21 ( Resposta ) --- único número das alternativas que dava para dividir por 13 que é a razão da P.A

• a1 = 1760

  r = 13

  Testando com 2019

  2019 - 1760 = 259 > teria que se somar 1760 a 259, então divide-se pelo valor da razão (13) e vê quantas razões daria:

  259/ 13 = 19,5 > não tem como ser 19,5 razões pois deve ser um valor inteiro

  Testando com 2020

  2020 - 1760 = 260 > teria que somar 260 a 1760, novamente dividir pela razão para ver quantas daria:

  260/ 13 = 20 (é 1760 + 20 razões, ou seja, estará no a21):

  an = a1 + (n-1) * 3

  a21 = 1760 + 20 * 13

  a21 = 1760 + 260

  a21 = 2020

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) Certo cometa, descoberto em 1760, foi novamente visível da Terra por poucos dias nos anos de 1773, 1786, 1799, etc., tendo mantido sempre essa regularidade.

  2) A partir da informação acima, pode-se concluir que se formou uma Progressão Aritmética (PA) cujo primeiro termo é 1760. Além disso, conclui-se também que a razão dessa PA corresponde a 13.

  Por fim, frisa-se que a questão deseja saber quando esse cometa será novamente visível, levando em consideração as alternativas apresentadas.

  Resolvendo a questão

  Considerando as informações acima, pode-se montar a seguinte Progressão Aritmética (PA):

  1760, 1773, 1786, 1799, 1812, 1825, 1838, 1851, 1864, 1877, 1890, 1903, 1916, 1929, 1942, 1955, 1968, 1981, 1994, 2007, 2020, 2033, …

  Logo, o cometa será novamente visível, por exemplo, no ano de 2020. Assim, somente a alternativa “e” se encontra correta.

  Gabarito: letra "e".

Questão 261895

• Banca: INTEGRI
• Órgão: Prefeitura de Votorantim - SP
• Ano: 2010
• Provas: INTEGRI - 2010 - Prefeitura de Votorantim - SP - Médico cardiologista
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Progressão Aritmética - PA; Progressões

A média aritmética do conjunto numérico {2, 3,4} é :

• A. 3,5
• B. 3
• C. 4
• D. 5

Gabarito: B

Comentários

• Os números estão em progressão aritmética, e há uma quantidade ímpar de termos, 
  nessa situação a média coincide com a mediana, que o termo do meio em ordem crescente ou decrescente.
• 2 + 3 + 4 = 9 
  
  9/ por 3 = 3
  
  Por que 9 é dividido por 3? 
  
  Porque 3 representa o número de elementos do conjunto. Assim, temos uma regra:
  
  A média  é feita pelo somatório dos elementos dividido pelo número de elementos do conjunto. 

• Média aritmética de dois ou mais termos é o quociente do resultado da divisão da soma dos números dados pela quantidade de números somados.

      No nosso caso , somemos  : 2 + 3 + 4 e dividimos por 3  , cujo resultado será : 3
  
  observe o que foi feito, somamos os tres números e dividimos pela quantidade de números.
   

• Para calcular a média aritmética simples somamos os números relacionados ao problema e dividimos o total obtido pela quantidade de numeros que foram somados.
  resolvendo a questão:
  2+3+4 = 9
  9:3 = 3
  
  
  Resposta: 3 letra b
• Estou com dúvida nessa questão. KKKKKKK
• Média Aritmética =     x+y+z         
                                       ----------- 
                                           3 => n° da quantidade presente no numerador (neste exemplo 3)
  
  
  Resolvendo a Questão:       2+3+4
                                                 -------------  =      9/3 = 3
                                                       3            
  
  RESPOSTA : LETRA B 

• essa é uma daquelas que você lê umas 5 vezes procurando a casca de banana e não acha. kkkkkkkkkkk

Questão 263878

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Administrador Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Petróleo Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Geólogo Júnior
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Plana; Progressões

Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um deles com base medindo 1cm e tais que o primeiro tem altura 1m e, a partir do segundo, a altura de cada retângulo mede um décimo da altura do anterior.
Seja S_n a soma das áreas dos n primeiros retângulos dessa sequência, expressa em cm² . Pode-se afirmar que

• A. S₃ = 110
• B. S₇ < 111
• C. existe n natural tal que S_n é um número irracional
• D. existe n natural tal que S_n = 111,1111111
• E. S_n < 111,01 para todo natural não nulo n

Gabarito: D

Comentários

• 
  
  Como a base é fixa, o que está em PG é somente a altura.
  
  
  Área1 = 1cm x 100cm = 100cm2  , Área2 = 1cm x 10cm = 10cm2, área3 = 1cm x1cm = 1cm2 ....
  
  Reparem que;
  
  Sinf = a1/1-q 
  
  a1 = 100cm
  
  q = 1/10
  
  logo,
  
  Sn = 100/(1-1/10) = 1000/9 =  111,1111111
  
  Resp. Letra D
  
  
• A base para todos vale 1cm
  
  Lembrando que cada retângulo mede um décimo da altura anterior, ficamos:
  
  A₁ = 1cm x 100 cm = 100cm²
  A₂ = 1cm x 10 cm = 10cm²
  A₃ = 1cm x 1cm = 1cm²
  
  Sendo, S_n = a1 / (1-q)
  Onde:  a₁: primeiro elemento = 100cm²
               q: razão = 1/10
  
  Temos:
  S_n = 100 / (1 - (1/10))
  
  S_n = 1000 / 9
  
  S_n = 111,111
  
  Alternativa D
  
  
• A soma das áreas Sn é dada por uma P, mas podemos calcular os primeiros termos diretamente:  S1=100, S2=100+10=110, S3=110+1=111, S4=111+0.1=111.1, etc. Daqui  vemos claramente que A,B e E estão incorretas, e que para n=10 temos  S10=111,1111111.
  Como n é um natural, vemos que D está correta.
  
  (D) existe n natural tal que Sn = 111,1111111 (Resposta Correta)
• Infinito é um numero natural, entao?

• Lucas P.

  
  

  Infinito não é número, apesar de estar relacionado aos números. Se você tratar o infinito como um número, você fundamentalmente quebra o trabalho que faz a aritmética.

  
  

  Interessante sobre o infinito é que quando você adiciona ou subtrai um número a partir dele, o infinito permanece. Ex.: ∞ + 1 = ∞

  
  

  Para saber mais: http://www.universoracionalista.org/infinito-nao-e-um-numero/

  
  

  
  

Questão 285475

• Banca: FGV
• Órgão: CODESP-SP
• Ano: 2010
• Provas: FGV - 2010 - CODESP-SP - Técnico - Serviços Portuários - Administrativo - Tipo 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Considere a progressão aritmética: 5, 12, 19, 26, 33, … O algarismo das unidades do 1000º (milésimo) termo dessa progressão é

• A. 1.
• B. 4.
• C. 5.
• D. 7.
• E. 8.

Gabarito: E

Comentários

• Questão FDP, a gente erra nela por uma bobeira absurda, hahahahah. Gente, pra resolvê-la, não se esqueça dos conceitos que a tia da segunda série ensinou: unidade, dezena, centena etc.

   

  Resolvendo a questão:

  5+(1000-1)*7 -> 5+999*7 -> 5+6993 -> 6998. A unidade é 8, a dezena é 9, a centena é 9 e a unidade de milhar é 0 6. Portanto, a letra E é a alternativa certa.

• 5, 12, 19, 26, 33 --> R=7

  a1000= a1+(n-1).r

  a1000= 5 + (1000 - 1).7

  a1000 = 5 + 7000 - 7

  a1000 = 6998

                                                           unidade  dezena  centena   milhar

  O algarismo das unidades do 1000º           6          9           9           8

• A1000=5+99.7

  A1000 =5 +693

  A1000 =698

  O ALGARISMO DA UNIDADE É 8

  DA DEZENA É 9 

  E DA CENTENA É 6

• Nem precisa fazer a conta toda.

  A1000: 5 + 999x7

  9x7 = 63

  Vc vai subir 6 pra seguir a conta, mas não precisa, pois é no 3 q vai somar o 5...

  Logo: 3+5=8

  Economizando tempo pras questões mais cabeludas, kkkk

• carai q fdp de questão, ela joga essa de unidade kkkkkk

  a1+r999= 6698

  ALGARISMOS

  unidade= 8

  dezena = 9

  centena =6

  milhar= 6

Questão 315979

• Banca: FCC
• Órgão: Banco do Brasil
• Ano: 2011
• Provas: FCC - 2011 - Banco do Brasil - Escriturário - Ed. 02
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões; Raciocínio Lógico

Considere que os termos da sequência seguinte foram sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...)
O décimo termo dessa sequência é

• A. 1537.
• B. 1929.
• C. 1945.
• D. 2047.
• E. 2319.

Gabarito: D

Comentários

•  A cada número, a soma é multiplicada por 2 (+4... + 8... + 16...)
  
    3 + 4 =  7 +8=  15 +16=  31+32=  63+64= 127 +128=  255 +256=  511+512=  1023 +1024=  2047 => 10° termo da sequência.
  
  LETRA D 
• A sequência acima ocorre da seguinte forma: o dobro do número anterior + 1
  3 + 3  = 6
  6 + 1 =  7  (2º número)
  .
  7 + 7 = 14
  14 + 1 = 15  (3º número)
  .
  15 + 15 = 30
  30 + 1 = 31 (4º número)
  .
  31 + 31 = 62
  62 + 1 = 63 (5º número)
  .
  63 + 63 = 126
  126 + 1 = 127 (6º número)
  .
  127 + 127 = 254
  254 + 1 = 255 (7º número)
  .
  255 + 255 = 510
  510 + 1 = 511 (8º número)
  .
  511 + 511 = 1022
  1022 + 1 = 1.023 (9º número)
  .
  1.023 + 1.023 = 2.046
  2.046 + 1 = 2.047 (10º número)
• INTERESSANTE A QUESTÃO.
  
  OBSERVEMOS QUE A QUESTÃO QUER O 10º NÚMERO
  
  A QUESTÃO NOS FORNECE ATÉ O 7º NÚMERO. VEJAMOS:
  
  
  3 - 7 - 15 - 31 - 63 - 127 - 255 
  
  3  + 2²(4) = 7;    7 + 2³(8) = 15  
  
  o segundo número  somei com o 2² e o terceiro número somei com 2³ e assim por diante até chegar no décimo número que irei somar com 2 elevado a 10
  
  observe que  é 3 +4=7 e 7 +8=15 e 15+ 16=31 e 31+32=63 e 63 +64=127 e 127 + 128=255
  
  
  pela análise, se o 10º número será um número somado com  2  elevado a 10  que é justamento um número menor em apenas uma unidade que 2 elevado a 10 
  
  
  
  cálculo: 2 elevado a 10 =  1024, pela análise será somado com um número menor em uma unidade, ou seja, 1023
  
  
  
  1024 + 1023= 2047
• Cheguei no resultado com um raciocínio mais simples,acredito.
  
  Primeiro observamos qual a razão desta sequencia. Neste caso, vi como:
  
  nro . 2 + 1 = nro seguinte.
  
  Vejam
  3 .2+1= 7 .2+1=  15  .2+1= 31.2+1= 6 3.2+1= 127.2+1= 255.2+1= 511.2+1= 1023.2+1=2047...
  
  Alternativa correta d)
  
  Não sou muito boa com fórmulas, por isso, achei interessante fazer dessa forma e é aplicável nesta questão, pois a sequência já preestabelece os sete primeiros termos, basta calcular os 3 seguintes.
  
  Bons Estudos!!
  

• Raciocinei da seguinte forma:

  7-3=4
  15-7=8 (dobro de 4)
  31-15=16 (dobro de 8)
  63-31=32 (dobro de 16)
   ... e assim sucessivamente. Ou seja, basta realizar a subtração do número posterior pelo numero anterior, para saber que o resultado é sempre o dobro do resultado anteriormente encontrado...
  É meio confuso de explicar, mas meu raciocínio faz sentido. Resposta: 2047

• nao tive tempo p estudar formulas entao a minha logica foi o dobro mais 1 fis essa soma tres vzs. resposta 2047

• 3 x 2 + 1 = 7

  7 x 2 + 1 = 15

  15 x 2 + 1 = 31

  31 x 2 + 1 = 63

  63 x 2 + 1 = 127

  127 x 2 + 1 = 255

  255 x 2 + 1 = 511

  511 x 2 + 1 = 1023

  1023 x 2 + 1 = 2047

  
  

  3 , 7 , 15 , 31 , 63 , 127 , 255 , 511 , 1023 , 2047

• A fórmula para se achar o n-ésimo termo é : 2^(n+1) -1 = 2^(10+1) -1 = 2^11-1=2048-1=2047

• 3+3=6+1= 7,

  7+7=14+1=15;

  15+15= 30+1=31;

  31+31=62+1=63;

  63+63=126+1=127

  127+127= 254+1= 255

  255+255= 510+1=511

  511+511= 1022+1= 1023

  1023+1023= 2046+1= 2047

• Questão interessante, com muitas soluções possíveis.

  Interpretei como sendo uma P.A. de 2ª ordem, sendo que ao invés de ser "P.A. de P.A.", é uma "P.A. de P.G.".

  O cálculo aqui parece grande, principalmente por conta dos símbolos de potencialização e fração que no pc deve-se usar, mas no papel fica rapidinho.

  Na sequência principal, os termos são:

  A = (3, 7, 15, 31, 63, 127...)

  Na sequência das diferenças desses termos da sequência principal, tem-se:

  B = (4, 8, 16, 32, 64 ...)

  Na principal, a partir do 2º termo, a fórmula pode ser lida (dentre outras maneiras) como:

  An = A1 + Sb(n-1)

  Ou seja:

  A2 = A1 + Sb(2-1) = A1 + Sb(1) = 3 + 4 = 7

  A3 = A2 + Sb(3-1) = A1 + Sb(2) = 3 + (4+8) = 3 + 12 = 15

  E assim sucessivamente.

  Para não usar uma fórmula que dependa do termo anterior (já que em questões que peçam o 30º termo isso seria um problema), basta achar também a fórmula de Sb(n).

  Já que a sequência B é uma P.G. (pois b3/b2 = b2/b1), primeiro, achar a razão q, e depois a fórmula da soma.

  q = b2/b1 =  8/4 = 2 (ou b3/b2 = 16/8 = 2)

  Sbn = {b1*[1-(q^n)]}/(1-q)

  ----------

  Pronto. Se a questão pede o 10º termo da sequência principal, a resolução pode ser:

  A10 = A1 + Sb(10-1) = A1 + Sb(9)

  Primeiro, calcular Sb(9):

  Sb(9) = {b1*[1-(q^9)]}/(1-q)

  b1 é 4 e q = 2, então:

  Sb(9) = {4*[1-(2^9)]}/(1-2) = {4*[1-(2^9)]}/-1 = (-4)*[1-(2^9)] = (-4)*(1)+(-4)*[-(2^9)] = -4+[+(4*2^9)] = -4 + [(2^2)*(2^9)] = -4 + [2^(2+9)] = -4 + (2^11)

  Levando p/ fórmula de A:

  A10 = A1 + Sb(9)

  Como A1 = 3 e Sb(9) = -4+(2^11), então:

  A10 = 3 + [-4+(2^11)] = 3 - 4 + (2^11) = -1 + (2^11)

  Como 2^10=1024, 2^11 = 1024*2 = 2048

  Então:

  A10 = -1 + 2048 = 2047

  Resposta: D

• Oiiii!

  Fórmula da sequência: [2^(n+1)] -1

  [2^(10+1)]-1 =2048 - 1 = 2047

  Pronto, vamos que vamos, boa sorte pra vcs!

• Tem uma solução no vídeo:

  https://www.youtube.com/watch?v=SF0NL367Exs

• an = 2.an-1 + 1

  a10=2.a9+1

  a9=2a8+1

  a8=2a7+1

• Questão resolvida no vídeo abaixo

  https://www.youtube.com/watch?v=sZsmA2jZmOc

  Bons estudos.

• Sem enrolação e de fácil compreensão

  x2+1 é o padrão da sequencia, ou seja:

  3x2=6 + 1 = 7

  7x2=14 + 1 =15

  Seguindo essa lógica o resultado é evidente

  Gab D

Questão 331813

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: MPS
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - MPS - Área de Atuação – Administrativa
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Três números reais estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação x² - 2x -  8 = 0. Nesse caso, é correto afirmar que

o produto dos termos dessa progressão é um número real positivo.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: E

Comentários

• x2 - 2x - 8
  
  Δ = b² - 4. a . c                         
  Δ= - 2² - 4. 1 . (-8)
  Δ= 4 + 32
  Δ= 36

  
  x = – (-2)  ± √36
              2.1
  
  x = 2 ± 6 
          2
  
  x¹ = 2+6 = 8/2 = 4
  x² = 2-6 = -4/2 = -2
  
  Sequência da PA com razão 3 ---> ( -2, 1 , 4)
  Produto dos termos: -2 x 1 x  4 = -8 (negativo)
  
  Eu eu achando que não usuaria bascara nessa vida! : / heheh

• Não precisa usar bascara p achar as raízes. Usa soma e produto.
  
  x2 - 2x - 8
  
   -2   +  4   = 2
  
   -2  x  4   = - 8

• Will, acredito que esse -2 não possa ser o a1 e possa ser o a2, por exemplo,(pois a questão fala que a raiz são dois termos da PA e não fala quais são os termos.) então o produto daria um número inteiro positivo. Logo não temos como saber e a alternativa estaria errada, meu ponto de vista.

• Wernesson nascimento, vou ter que discordar pois, a questão fala que a razão é 3 então pelos resultados encontrados da equação de 2 grau temos x`e x'' = (-2 e 4) onde (a1= -2, a2= 1 e a3= 4), para achar o produto dos termos basta multiplicar os termos encontrados ou seja -2.1.4 = -8 ,logo, nao é um número inteiro positivo como afirma a questão, tornando-a errada.

• produto = c/a

  fica assim= -8/1= -8

• soma e produto

  X^2-2x-8=0

  4+(-2)=2

  4.(-2) = -8

  ou resolve por bascara

  so que ia demorar mais

  METODO MPP

  pmal 2021

Questão 331816

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: MPS
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - MPS - Área de Atuação – Administrativa
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Três números reais estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação x² - 2x -  8 = 0. Nesse caso, é correto afirmar que

a soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: E

Comentários

• x2 - 2x - 8
  
  Δ = b² - 4. a . c                         
  Δ= - 2² - 4. 1 . (-8)
  Δ= 4 + 32
  Δ= 36

  
  x = – (-2)  ± √36
              2.1
  
  x = 2 ± 6 
          2
  
  x¹ = 2+6 = 8/2 = 4
  x² = 2-6 = -4/2 = -2
  
  Sequência da PA com razão 3 ---> ( -2, 1 , 4)
  Soma dos termos: -2 + 1 +  4 = 3 (inferior 4)

• x² - 2x - 8 = 0

  Método da soma e produto.

  Soma: -b/a = 2;

  Produto: c/a = -8;

  4 + -2 = -2

  4 * -2 = 8

  Raízes: 4 e -2

  PA com razão 3:

  PA = (-2, 1, 4)

  Somatório: 3, portanto, gabarito errado.

• ERRADO

  Resposta:

  Ache as raízes da equação:

  x² - 2x - 8 = 0

  por Bhaskara:

  - (-2) ± √(2²-4.1.(-8)) ÷ 2.1

  (2 ± √36) ÷ 2

  (2 ± 6) ÷ 2

  (2+6)/2 = 4

  (2-6)/2 = -2

  Raízes: 4 e -2

  se a razão da PA é 3, sabemos que há um termo no meio entre 4 e -2

  portanto a sequência deve ser:

  -2, 1, 4

  A soma dos termos dessa PA:

  Sn=n.(a₁+an) / 2

  S₃=3.(-2+4)/2

  S₃ = 6/2

  S₃ = 3

• Qual número que multiplicado da 8?

  1 x 8 = 8

  2 x 4 = 8

  Desses apresentados, Qual número que somado da -2?

  2 - 4 = -2.

  Temos já o X' e o X'';

  Uma P.A. de Razão 3, com 3 opções, só montar.

  -2, , 4, .

  Como a razão é 3 crescente, -2 + 3 = 1. 1 + 3 = 4.

  Nossa PA se revela: -2, 1, 4.

  Somando ela: -2+1+4 = 3;

  Inferior a 4.

• O que eu não entendi é como 2 termos dessa PA de razão 3 são raízes da equação, as raízes são: -2 e 6

  essa PA seria (-2,1,4...) aí já acabaria os 3 termos, se tivesse mais um termo ainda assim não teria o "6" (-2,1,4,7)

• Três números estão em PA de razão 3. Dois deles são as raízes da equação:  x2 - 2x - 8 = 0 (ax² +bx +c)

  Posso achar as raízes por "Báscara" ou pela soma e produto.

  Soma e produto: (na soma iguala o b e inverte o sinal) (no produto iguala ao próprio c)

  a= 1 x' = ___ + ____ = 2 (b com sinal inverso)

  b = -2 x'' = ____x ____ = -8 (o próprio c)

  c = - 8

  Quais números que somados e multiplicados correspondem: 2 e -8?? => -2 e 4 (raízes)

  Logo, nossa PA será (-2,1,4) e a soma = -2+1+4= 3

Questão 346657

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PM-ES
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - PM-ES - Soldado da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Considerando que os tempos de serviço, em anos, de 3 servidores
públicos estejam em progressão geométrica e tenham média
aritmética igual a 7 anos, e sabendo que a média geométrica entre
o menor e o maior tempo de serviço é 6 anos, julgue os itens
seguintes.

Se os tempos de serviço estiverem em ordem crescente, a razão da progressão geométrica será inferior a 2,5.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Gab: CERTO

   

  Dados:
  3 Servidores
  PG com: (1) - M.Art. = 7 e (2) M.Geo (do maior e do menor valor) = 6

   

  Ideia: Vou calcular os valores da progressão geométrica e vou testar o resultado com a média geométrica: se for igual a 6, então a questão está errada (pois diz que é inferior a 2,5, e não igual); se for superior a 6, a questão está certa (pois para ser igual a 6, precisa de uma razão menor que 2,5).

   

  Resolução:
  A, B, C ; B = 7 --> A, 7, C 
  A, 7, C = X; X*2,5; X*(2,5)^2 --> Igualando o termo B (que é igual a 7) temos:
  X*2,5 = 7
  X = 7/2,5
  X = 2,8 --> Agora vamos montar a P.G. --> (2,8 ; 7 ; 17,5)

   

  Ideia: Para saber se a questão está correta com essa PG, vamos calcular a média geométrica do maior e menor termo da PG. Temos:

   

  RaizQuad(17,5*2,8) = RaizQuad(49) = 7, logo: A questão está CORRETA, pois para a média geométrica ser igual a 6, a razão tem de ser menor que 2,5. OU SEJA, A RAZÃO DA PG É INFERIOR A 2,5 PARA SATISFAZER AS CONDIÇÕES TRAZIDAS NO ENUNCIADO DA QUESTÃO.

  
   

• 2,5 x 2.5 = 6,25

  então para dar média 6, logo a Razão deve ser menor.

  ou

  média 6 x 2,5 = 15

  tempo de serviço do servidor A

  tempo de serviço do servidor B = 6

  tempo de serviço do servidor C = 15

  usa propriedade para saber a razão

  a2(C) / a1 (B) = q

  15 / 6 = 2,5

  certo também, já que igual não é inferior.

• Razão é igual a 2

Questão 346660

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PM-ES
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - PM-ES - Soldado da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considerando que os tempos de serviço, em anos, de 3 servidores
públicos estejam em progressão geométrica e tenham média
aritmética igual a 7 anos, e sabendo que a média geométrica entre
o menor e o maior tempo de serviço é 6 anos, julgue os itens
seguintes.

O maior tempo de serviço é superior a 10 anos.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Temos a seguinte sequência: ( x/q, x, x.q)

  onde: q é a razão da P.G. e x é o tempo de serviço do segundo servidor

  A questão diz que a média aritmética do tempo de serviço dos três servidores é igual a 7anos, então:

  (x/q+x+x.q)/3=7

  Logo: x/q+x+x.q=21 (I) Equação

  O enunciado também fala que: "a média geométrica entre o menor e o maior tempo de serviço é 6 anos"

  Ele afirma com isto que x=6, pois se fizermos a média geométrica da sequência dada (x/q (menor), x, x.q (maior)) obteremos o valor de x.

  Substituindo x=6 na equação (I):

  6/q+6+6.q=21

  6/q+6.q=21-6

  6/q+6.q=15 ( o mmc aqui será q)

  6+6q^2=15q( dividindo tudo por 3)

  2+2q^2=5q (equação simplificada)

  2q^2-5q+2=0( Equação completa do 2°grau) Aqui vamos encontrar a razão da P.G

  Delta= (-5)^2-4.2.2

  Delta=25-16

  Delta=9

  q=2 ou q=1/2 Substituindo na sequência:

  para q= 2

  (x/q, x, x.q)

  (6/2, 6, 6.2)

  (3, 6, 12)

  para q= 1/2

  (6/1/2, 6, 6.1/2)

  (12, 6, 3)

  Analisando a sequência, vemos que o maior tempo de serviço(12anos)  é superior a 10 anos.

  Então a questão está correta.

  Fé!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

   

   

   

   

   

   

• Parabéns Marcos Paulo pela excelente explicação

   

  Só para somar, vou colocar a definição de média geométrica que eu peguei no site wikipedia:

   

  "Na matemática, a média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros. Indica a tendência central ou o valor típico de um conjunto de números usando o produto dos seus valores (diferente da média aritmética, que usa a soma dos valores). A média geométrica é definida como n-ésima raiz (onde n é a quantidade de termos) da multiplicação dos termos."

   

  Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica

• A questão exige o conhecimento dos conceitos de média aritmética, média geométrica e de propriedades de progressões geométricas.

  Vamos considerar que o tempo de serviço dos 3 servidores são, respectivamente, iguais a S1, S2 e S3.

  A média geométrica entre S1 e S3 é 6. Portanto, a raiz quadrada da multiplicação S1 x S3 é igual a 6. Assim, S1 x S3 = 36.

  Quando temos uma PG de 3 termos, o quadrado do termo central é igual à multiplicação dos outros 2. Portanto, S2² = S1 x S3. Vimos acima que o resultado dessa multiplicação é 36. Assim, S2² = 36 --> S2 = 6.

  Achamos o valor de S2, agora vamos achar S1 e S3.

  Como S2 é 6, S1 será igual a 6 dividido pela razão da PG e S3 será igual a 6 multiplicado pela razão da PG (chamamos a razão da PG de "q"). Assim:

  S1 = 6/q ; S2 = 6q

  Sabemos que a média aritmética entre os 3 termos será 7, portanto:

  (S1 + S2 + S3)/3 = 7

  Vamos representar essa equação por meio da outra notação que encontramos:

  (6/q + 6 + 6q)/3 = 7

  Desenvolvendo essa equação, cairá em uma equação do 2º grau. Resolvendo a equação, chegamos nas raízes 2 e 1/2.

  Podemos facilmente verificar que só a raiz 2 atende ao enunciado da questão.

  Assim, S1 = 6/2 --> S1 = 3 ; S2 = 6x2 --> S2 = 12

  Portanto, a PG é (3, 6, 12).

Questão 346696

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PM-ES
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - PM-ES - Soldado da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos,
correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que
os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão
geométrica com soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4
estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma
igual a 24, julgue os itens a seguir.

A soma a₂ + a₃ + a₄   é igual a 28.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Bem, de acordo com o que está aí...

  Tem-se que 5 indivíduos têm idades, em anos, correspondentes aos números inteiros a1, a2, a3, a4 e a5. 
  É informado que: 
  
  a) a1, a2 e a5 estão em PG, com soma = 26. 
  e 
  b) a1, a3 e a4 estão em PA, com razão = 6 e soma = 24. 
  
  Vamos resolver uma por uma. Vamos logo para a questão do item "b" que está mais fácil. Assim, temos que 3 termos estão em PA (a1, a3 e a4), cuja razão é 6 e cuja soma é 24. 
  Vamos chamar esses três termos assim: 
  1º termo = a1 
  2º termo = a1+6 
  3º termo = a1+2*6 = a1+12 
  Como a soma é igual a 24, então teremos que: 
  a1 + a1+6 + a1+12 = 24 
  3a1 + 18 = 24 
  3a1 = 24-18 
  3a1 = 6 
  a1 = 6/3 
  a1 = 2 <-----Já temos o valor de a1, ou seja, já temos o valor do primeiro termo. 
  Nesse caso, na PA, os três termos são: 
  1º termo = a1 = 2 ------------------------> 2 
  2º termo = a1+6 = 2+6 = 8 ------------> 8 
  3º termo = a1+12 = 2+12 = 14------> 14 
  Logo, essa PA é (2; 8; 14) 
  
  Agora, vamos à questão do item "a". 
  Vamos denominar esses três termos assim: 
  1º termo = a1 = 2 <----Veja que, conforme vimos na questão anterior, o primeiro termo é 2. 
  2º termo = 2q 
  3º termo = 2q² 
  Como a soma é igual a 26, então: 
  
  2 + 2q + 2q² = 26 
  2q + 2q² = 26 -2 
  2q + 2q² = 24 -------dividindo tudo por 2 e ordenando, temos: 
  q² + q = 12 
  q² + q - 12 = 0 
  As raízes dessa equação são: 
  
  q' = 3 
  q'' = -4 
  Como não nos interessa a raiz negativa, já que se trata de idades (logo,positivas) entáo ficamos apenas com a raiz positiva e igual a: 
  q = 3. 
  Para q = 3, teremos os seguintes números para a PG. 
  
  1º termo = a1 = 2 ---------------------------> 2 
  2º termo = a1q = 2*3 = 6 -----------------> 6 
  3º termo = a1q² = 2*3² = 2*9 = 18 ----> 18 
  Assim a PG é: (2; 6; 18). 
  
  Agora, vamos a cada número específico: 
  
  a1 = 2 
  a2 = (veja que o a2 está na PG e o 2º termo da PG = 6). Então: 
  a2 = 6 
  a3 = (veja que o a3 está na PA e o 2º termo da PA = 8). Logo: 
  a3 = 8 
  a4 = (veja que o a4 está na PA e o 3º termo da PA = 14). Assim: 
  a4 = 14 
  a5 = (veja que o a5 está na PG e o 3º termo da PG = 18). Então: 
  a5 = 18 
  
  Logo, os 5 números são: 2; 6; 8; 14; e 18. <----Pronto. Essa é a resposta. 

  A2 - 6

  A3 - 8

  A4 - 14

  LOGO - 6+ 8+14 = 28

  QUESTÃO CORRETA

• SEQUÊNCIA DADA: a1, a2, a3,a4, a5

   

  PA >>> a1, a3, a4  r = 6
  a1+a3+a4 = 24 (dado da questão)
  De acordo uma das propriedades da PA, podemos dizer:
  a1 = a3+6
  a4 = a3-6
  Portanto: a3+6+a3+a3-6 = 24 > 3a3=24 > a3=8
  Se a3 = 8, a sequência será a seguinte: 2,8,14
  
  PG>>>> a1,a2,a5 q = ?
  a1+a2+a5 = 26 (dado da questão) 
  Como a1 é o mesmo da sequência anterior, e de acordo com a seguinte propriedade da PG:
  a1 = a2/q >> a2 = 2*q
  a5 = a2*q >> a5 = 2*q*q = 2q²
  Portanto: 2+2q+2q²=26 >> 2q²+2q-24=0 >> q²+q+12=0 (função do 2º grau que resolvendo chegamos as raízes -4 e 3, mas usaremos 3 porque a questão diz que os números não podem ser negativos).

  Por isso a razão da PG é igual a 3. Sendo assim, a sequência será: 2, 6 , 18
  
  JUNTANDO AS SEQUÊNCIAS FICA: 2, 6, 8, 14, 18. MAS ELE QUER A SOMA DE A2+A3+A4 = 6+8+14 = 28

   

Questão 346699

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PM-ES
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - PM-ES - Soldado da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos,
correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que
os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão
geométrica com soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4
estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma
igual a 24, julgue os itens a seguir.

A razão da progressão formada pelos números a₁, a₂,  e   a₅  é um número fracionário não inteiro.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: E

Comentários

• SEQUÊNCIA DADA: a1, a2, a3,a4, a5

   

  PA >>> a1, a3, a4  r = 6
  a1+a3+a4 = 24 (dado da questão)
  De acordo uma das propriedades da PA, podemos dizer:
  a1 = a3+6
  a4 = a3-6
  Portanto: a3+6+a3+a3-6 = 24 > 3a3=24 > a3=8
  Se a3 = 8, a sequência será a seguinte: 2,8,14
  
  PG>>>> a1,a2,a5 q = ?
  a1+a2+a5 = 26 (dado da questão) 
  Como a1 é o mesmo da sequência anterior, e de acordo com a seguinte propriedade da PG:
  a1 = a2/q >> a2 = 2*q
  a5 = a2*q >> a5 = 2*q*q = 2q²
  Portanto: 2+2q+2q²=26 >> 2q²+2q-24=0 >> q²+q+12=0 (função do 2º grau que resolvendo chegamos as raízes -4 e 3, mas usaremos 3 porque a questão diz que os números não podem ser negativos).

  Por isso a razão da PG é igual a 3. Sendo assim, a sequência será: 2, 6 , 18
  
   

Questão 346702

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PM-ES
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - PM-ES - Soldado da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos,
correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que
os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão
geométrica com soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4
estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma
igual a 24, julgue os itens a seguir.

O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Tem-se que 5 indivíduos têm idades, em anos, correspondentes aos números inteiros a1, a2, a3, a4 e a5. 
  É informado que: 
  
  a) a1, a2 e a5 estão em PG, com soma = 26. 
  e 
  b) a1, a3 e a4 estão em PA, com razão = 6 e soma = 24. 
  
  Vamos resolver uma por uma. Vamos logo para a questão do item "b" que está mais fácil. Assim, temos que 3 termos estão em PA (a1, a3 e a4), cuja razão é 6 e cuja soma é 24. 
  Vamos chamar esses três termos assim: 
  1º termo = a1 
  2º termo = a1+6 
  3º termo = a1+2*6 = a1+12 
  Como a soma é igual a 24, então teremos que: 
  a1 + a1+6 + a1+12 = 24 
  3a1 + 18 = 24 
  3a1 = 24-18 
  3a1 = 6 
  a1 = 6/3 
  a1 = 2 <-----Já temos o valor de a1, ou seja, já temos o valor do primeiro termo. 
  Nesse caso, na PA, os três termos são: 
  1º termo = a1 = 2 ------------------------> 2 
  2º termo = a1+6 = 2+6 = 8 ------------> 8 
  3º termo = a1+12 = 2+12 = 14------> 14 
  Logo, essa PA é (2; 8; 14) 
  
  Agora, vamos à questão do item "a". 
  Vamos denominar esses três termos assim: 
  1º termo = a1 = 2 <----Veja que, conforme vimos na questão anterior, o primeiro termo é 2. 
  2º termo = 2q 
  3º termo = 2q² 
  Como a soma é igual a 26, então: 
  
  2 + 2q + 2q² = 26 
  2q + 2q² = 26 -2 
  2q + 2q² = 24 -------dividindo tudo por 2 e ordenando, temos: 
  q² + q = 12 
  q² + q - 12 = 0 
  As raízes dessa equação são: 
  
  q' = 3 
  q'' = -4 
  Como não nos interessa a raiz negativa, já que se trata de idades (logo,positivas) entáo ficamos apenas com a raiz positiva e igual a: 
  q = 3. 
  Para q = 3, teremos os seguintes números para a PG. 
  
  1º termo = a1 = 2 ---------------------------> 2 
  2º termo = a1q = 2*3 = 6 -----------------> 6 
  3º termo = a1q² = 2*3² = 2*9 = 18 ----> 18 
  Assim a PG é: (2; 6; 18). 
  
  Agora, vamos a cada número específico: 
  
  a1 = 2 
  a2 = (veja que o a2 está na PG e o 2º termo da PG = 6). Então: 
  a2 = 6 
  a3 = (veja que o a3 está na PA e o 2º termo da PA = 8). Logo: 
  a3 = 8 
  a4 = (veja que o a4 está na PA e o 3º termo da PA = 14). Assim: 
  a4 = 14 
  a5 = (veja que o a5 está na PG e o 3º termo da PG = 18). Então: 
  a5 = 18 
  
  Logo, os 5 números são: 2; 6; 8; 14; e 18. <----Pronto. Essa é a resposta. 

  MAIS NOVO - 2 ANOS (MENOR QUE 3 ANOS)

  LOGO QUESTÃO CORRETA. 

• PA >>> a1, a3, a4  r = 6
  a1+a3+a4 = 24 (dado da questão)
  De acordo uma das propriedades da PA, podemos dizer:
  a1 = a3+6
  a4 = a3-6
  Portanto: a3+6+a3+a3-6 = 24 > 3a3=24 > a3=8
  Se a3 = 8, a sequência será a seguinte: 2,8,14
  
  PG>>>> a1,a2,a5 q = ?
  a1+a2+a5 = 26 (dado da questão) 
  Como a1 é o mesmo da sequência anterior, e de acordo com a seguinte propriedade da PG:
  a1 = a2/q >> a2 = 2*q
  a5 = a2*q >> a5 = 2*q*q = 2q²
  Portanto: 2+2q+2q²=26 >> 2q²+2q-24=0 >> q²+q+12=0 (função do 2º grau que resolvendo chegamos as raízes -4 e 3, mas usaremos 3 porque a questão diz que os números não podem ser negativos).

  Por isso a razão da PG é igual a 3. Sendo assim, a sequência será: 2, 6 , 18
  
  JUNTANDO AS SEQUÊNCIAS FICA: 2, 6, 8, 14, 18.  PORTANTO, MENOR IDADE É IGUAL A 2 ANOS.

Questão 346705

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PM-ES
• Ano: 2010
• Provas: CESPE - 2010 - PM-ES - Soldado da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos,
correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que
os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão
geométrica com soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4
estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de razão 6 e soma
igual a 24, julgue os itens a seguir.

A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: E

Comentários

• Tem-se que 5 indivíduos têm idades, em anos, correspondentes aos números inteiros a1, a2, a3, a4 e a5. 
  É informado que: 
  
  a) a1, a2 e a5 estão em PG, com soma = 26. 
  e 
  b) a1, a3 e a4 estão em PA, com razão = 6 e soma = 24. 
  
  Vamos resolver uma por uma. Vamos logo para a questão do item "b" que está mais fácil. Assim, temos que 3 termos estão em PA (a1, a3 e a4), cuja razão é 6 e cuja soma é 24. 
  Vamos chamar esses três termos assim: 
  1º termo = a1 
  2º termo = a1+6 
  3º termo = a1+2*6 = a1+12 
  Como a soma é igual a 24, então teremos que: 
  a1 + a1+6 + a1+12 = 24 
  3a1 + 18 = 24 
  3a1 = 24-18 
  3a1 = 6 
  a1 = 6/3 
  a1 = 2 <-----Já temos o valor de a1, ou seja, já temos o valor do primeiro termo. 
  Nesse caso, na PA, os três termos são: 
  1º termo = a1 = 2 ------------------------> 2 
  2º termo = a1+6 = 2+6 = 8 ------------> 8 
  3º termo = a1+12 = 2+12 = 14------> 14 
  Logo, essa PA é (2; 8; 14) 
  
  Agora, vamos à questão do item "a". 
  Vamos denominar esses três termos assim: 
  1º termo = a1 = 2 <----Veja que, conforme vimos na questão anterior, o primeiro termo é 2. 
  2º termo = 2q 
  3º termo = 2q² 
  Como a soma é igual a 26, então: 
  
  2 + 2q + 2q² = 26 
  2q + 2q² = 26 -2 
  2q + 2q² = 24 -------dividindo tudo por 2 e ordenando, temos: 
  q² + q = 12 
  q² + q - 12 = 0 
  As raízes dessa equação são: 
  
  q' = 3 
  q'' = -4 
  Como não nos interessa a raiz negativa, já que se trata de idades (logo,positivas) entáo ficamos apenas com a raiz positiva e igual a: 
  q = 3. 
  Para q = 3, teremos os seguintes números para a PG. 
  
  1º termo = a1 = 2 ---------------------------> 2 
  2º termo = a1q = 2*3 = 6 -----------------> 6 
  3º termo = a1q² = 2*3² = 2*9 = 18 ----> 18 
  Assim a PG é: (2; 6; 18). 
  
  Agora, vamos a cada número específico: 
  
  a1 = 2 
  a2 = (veja que o a2 está na PG e o 2º termo da PG = 6). Então: 
  a2 = 6 
  a3 = (veja que o a3 está na PA e o 2º termo da PA = 8). Logo: 
  a3 = 8 
  a4 = (veja que o a4 está na PA e o 3º termo da PA = 14). Assim: 
  a4 = 14 
  a5 = (veja que o a5 está na PG e o 3º termo da PG = 18). Então: 
  a5 = 18 
  
  Logo, os 5 números são: 2; 6; 8; 14; e 18. <----Pronto. Essa é a resposta. 

   

  MAIS VELHO - 18 ANOS

• SEQUÊNCIA DADA: a1, a2, a3,a4, a5

   

  PA >>> a1, a3, a4  r = 6
  a1+a3+a4 = 24 (dado da questão)
  De acordo uma das propriedades da PA, podemos dizer:
  a1 = a3+6
  a4 = a3-6
  Portanto: a3+6+a3+a3-6 = 24 > 3a3=24 > a3=8
  Se a3 = 8, a sequência será a seguinte: 2,8,14
  
  PG>>>> a1,a2,a5 q = ?
  a1+a2+a5 = 26 (dado da questão) 
  Como a1 é o mesmo da sequência anterior, e de acordo com a seguinte propriedade da PG:
  a1 = a2/q >> a2 = 2*q
  a5 = a2*q >> a5 = 2*q*q = 2q²
  Portanto: 2+2q+2q²=26 >> 2q²+2q-24=0 >> q²+q+12=0 (função do 2º grau que resolvendo chegamos as raízes -4 e 3, mas usaremos 3 porque a questão diz que os números não podem ser negativos).

  Por isso a razão da PG é igual a 3. Sendo assim, a sequência será: 2, 6 , 18
  
  JUNTANDO AS SEQUÊNCIAS FICA: 2, 6, 8, 14, 18. PORTANTO, IDADE MÁXIMA 18 ANOS.

Questão 347224

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - BR Distribuidora - Técnico de Contabilidade Júnior
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Progressões

A produção de álcool do Estado de São Paulo vem aumen- tando ano a ano. Enquanto que, em 2004, foram produzi- dos 7.734.000 m3 , a produção de 2009 chegou a 16.635.000 m3. Considerando que o aumento anual, de 2004 a 2009, tenha sido linear, formando uma progressão aritmética, qual foi, em m3, a produção de 2005?

• A. 9.514.200
• B. 9.612.400
• C. 9.724.400
• D. 9.796.200
• E. 9.812.600

Gabarito: A

Comentários

• LETRA A
  
  2004= 7734
  2009= 16635
  
  16635 - 7734 = 8901
  
  De 2004 a 2009 passaram-se 5 anos, portanto:
  
     8901 
  -----------  =  = 1780,2 ao ano
      5
  
  7734 (2004) + 1780,20 (aumento a cada ano) = 9514,2 
  
  
• Precisamos encontrar a razão da P.A. para isso vamos usar o Termo Geral
  
  a₆ = a₁ + (n - 1). r
  16635000 = 7734000 + (6 - 1).r
  16635000 - 7734000 = 5r
  5r = 8901000
  r = 1780200
  
  o termo a₂ corresponde ao ano 2005
  
  a₂ = a₁ + r
  a₂ = 7734000 + 1780200
  a₂ = 9514200
  
  
  
  
  
  

• Sabendo que de 2004 a 2009 tem- se um intervalo de 5 anos,podemos dizer que:
  
  se em 5 anos(2004- 2009) foi produzido 8901 em 1 ano será produzido X:
  5 = 8901
  1= X
  Fazendo a regra de três temos:
  5X = 8901
  X = 8901 / 5
  X = 1780,20 ( Valor da produção durante 01 ano)
  Somando esse valor de produção ao de 2004 temos:
  7734 + 1780,20 = 9514,2
   

  Correta a Alternativa A
   

• Vamos lá pessoal!!
  
  Resolução:
  
  2004=    7.734.000 m³
  2009 = 16.635.000 m³
  
        2009                2004
  16.635.000 - 7.734.000 = 8.891.000 / 5 = 1.780,20
  
  7.734.000+1.780,20 = 9.514.200  (alternativa A)
• Para utilizar a fórmula:
  a1 = 2004; a6 = 2009

  a1 = 7.734.000 
  a6 = 16.635.000
  an = a1 + (n-1)r
  16.635.000 = 7.734.000 + (5 - 1) . r
  16.635.000 - 7.734.000 = 4r
  r = 8.901.000 / 5
  r = 1.780.200
  ......
  a2 = 2005
  a2 = a1 + r
  a2 = 7.734.000 + 1.780.200
  a2 = 9.514.200 (A)
  

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) A produção de álcool do Estado de São Paulo vem aumentando ano a ano. Enquanto que, em 2004, foram produzidos 7.734.000 m³, a produção de 2009 chegou a 16.635.000 m³.

  2) Deve-se considerar que o aumento anual, de 2004 a 2009, tenha sido linear, formando uma Progressão Aritmética (PA).

  Por fim, frisa-se que a questão deseja saber qual foi, em m³, a produção de 2005.

  Resolvendo a questão

  Considerando que a Progressão Aritmética (PA) em tela começa em 2004 e termina em 2009, então é possível concluir que tal Progressão Aritmética terá 6 termos, sendo que o primeiro termo corresponde a 7.734.000 m³ e o último termo corresponde a 16.635.000 m³.

  Nesse sentido, para se descobrir os termos dessa Progressão Aritmética (PA), é necessário descobrir a razão (r) desta.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 7.734.000, A6 = 16.635.000 e n = 6.

  * Frisa-se que n é igual a 6, pois foi escolhido o sexto termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A6 = 7.734.000 + (6 - 1) * r

  16.635.000 = 7.734.000 + 5r

  5r = 16.635.000 - 7.734.000

  5r = 8.901.000

  r = 8.901.000/5

  r = 1.780.200.

  Logo, a razão da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 1.780.200.

  Considerando as informações e os resultados encontrados acima, pode-se montar a seguinte Progressão Aritmética (PA):

  2004 - 7.734.000 m³

  2005 - 9.514.200 m³

  2006 - 11.294.400 m³

  2007 - 13.074.600 m³

  2008 - 14.854.800 m³

  2009 - 16.635.000 m³

  Gabarito: letra "a".

Questão 354211

• Banca: CONSULPLAN
• Órgão: Prefeitura de Campo Verde - MT
• Ano: 2010
• Provas: CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Auxiliar de Laboratório; CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Oficial Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Sabe-se que o 7º termo de uma progressão geométrica de razão 4 é igual a 144. Qual é a soma dos dois menores números inteiros dessa sequência?

• A. 45
• B. 42
• C. 33
• D. 48
• E. 52

Gabarito: A

Comentários

• Bem, asra ir dividindo o 144 pela razão ae chegará ao 36 e 9, depoi só números quebrados. E somando-os encontraremos o 45.

• Resolução em video: https://www.youtube.com/watch?v=qmSK6uFi42s

Questão 357358

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - BR Distribuidora - Técnico de Administração e Controle Júnior; CESGRANRIO - 2010 - BR Distribuidora - Técnico de Manutenção Júnior
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A produção de álcool do Estado de São Paulo vem aumentando ano a ano. Enquanto que, em 2004, foram produzidos 7.734.000 m³ , a produção de 2009 chegou a 16.635.000 m³. Considerando que o aumento anual, de 2004 a 2009, tenha sido linear, formando uma progressão aritmética, qual foi, em m³, a produção de 2005?

• A. 9.514.200
• B. 9.612.400
• C. 9.724.400
• D. 9.796.200
• E. 9.812.600

Gabarito: A

Comentários

• Se a1 = 7734,000 
  a2 = a1 + r 
  a3 = a1 + 2 r 
  logo a6 = a1+ 5 r , então 16635=7734 + 5 r 
  5 r = 16635-7734 
  5 r = 8901 
  r = 8901/5 
  r = 1780,20 
  então 2005 = a2 que é 7734 + 1780,20= 9514,20 letra a

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) A produção de álcool do Estado de São Paulo vem aumentando ano a ano. Enquanto que, em 2004, foram produzidos 7.734.000 m³, a produção de 2009 chegou a 16.635.000 m³.

  2) Deve-se considerar que o aumento anual, de 2004 a 2009, tenha sido linear, formando uma Progressão Aritmética (PA).

  Por fim, frisa-se que a questão deseja saber qual foi, em m³, a produção de 2005.

  Resolvendo a questão

  Considerando que a Progressão Aritmética (PA) em tela começa em 2004 e termina em 2009, então é possível concluir que tal Progressão Aritmética terá 6 termos, sendo que o primeiro termo corresponde a 7.734.000 m3 e o último termo corresponde a 16.635.000 m³.

  Nesse sentido, para se descobrir os termos dessa Progressão Aritmética (PA), é necessário descobrir a razão (r) desta.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 7.734.000, A6 = 16.635.000 e n = 6.

  * Frisa-se que n é igual a 6, pois foi escolhido o sexto termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A6 = 7.734.000 + (6 - 1) * r

  16.635.000 = 7.734.000 + 5r

  5r = 16.635.000 - 7.734.000

  5r = 8.901.000

  r = 8.901.000/5

  r = 1.780.200.

  Logo, a razão da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 1.780.200.

  Considerando as informações e os resultados encontrados acima, pode-se montar a seguinte Progressão Aritmética (PA):

  2004 - 7.734.000 m³

  2005 - 9.514.200 m³

  2006 - 11.294.400 m³

  2007 - 13.074.600 m³

  2008 - 14.854.800 m³

  2009 - 16.635.000 m³

  Gabarito: letra "a".

Questão 359821

• Banca: CETAP
• Órgão: DETRAN-RR
• Ano: 2010
• Provas: CETAP - 2010 - DETRAN-RR - Técnico Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

A Secretaria de Saúde de uma cidade iniciou um projeto que visa aumentar o número de atendimentos nos seus Postos de Saúde. Se o planejamento é de que o número de consultas dobre a cada ano, daqui a quanto tempo este número passará a ser 10 vezes o número de atendimentos realizados atualmente? (Use log2=0,30)

• A. 10 anos
• B. 3 anos e 8 meses
• C. 4 anos e 2 meses
• D. 3 anos e 4 meses
• E. 6 anos

Gabarito: D

Comentários

• Não creio que esteja 100% certa.

  Mas dei um número de consultas 10

  e fui multiplicando até chegar perto de 10x o número de consultas (10)=100

  
  

  10x2=20

  20x2=40

  40x2=80

  
  

  só aí já teria 3 anos...

  
  

  O resto foi dedução...

• As quantidades atendidas por ano formam uma PG.

  Seja x o número de atendimentos realizados atualmente.

  • Em 1 ano, o número vale 2^1x. o dobro do valor anterior.
  • Em 2 anos, o número vale 2^2x .
  • Em 3 anos, o número vale 2^3x
  • Em 4 anos, o número vale 2^4x 

  Assim sucessivamente.

  Em n anos, o número vale 2^n × x, e essa quantidade deve corresponder a 10 vezes o número atual:

  2^n × x = 10 × x

  Simplificamos a equação: 

  2^n=10 

  Aplicamos o logaritmo nos dois lados da igualdade:

  log⁡(2^n)=log⁡(10)

  Quando o logaritmando é uma potência, o seu expoente "cai", multiplicando o logaritmo: 

  n×log⁡(2)=log⁡(10)

  Temos que log(2)=0,3 e sabemos que log(10)=1

  0,3n=1

   Isolamos n: 

  n=1/0,3=10/3

  n=9+1/3

  n=9/3+1/3

  n=3+1/3 anos.

  Como 1 ano corresponde a 12 meses, então 1/3 ano corresponde a 1/3×12=4 meses:

  n=3 anos + 4 meses.

  Gab: Letra D

  Que doideira, meu!

Questão 360502

• Banca: FEPESE
• Órgão: UDESC
• Ano: 2010
• Provas: FEPESE - 2010 - UDESC - Técnico de Informática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A soma dos possíveis valores de x para que (x² – 2, x, –1) forme uma progressão aritmética é:

• A. -2
• B. -1
• C. 0
• D. 1
• E. 2

Gabarito: E

Comentários

• WTF ALGUEM ?

   

• x = 3 ( 7, 3, -1)  PA = -4

  x = -1 (-1, -1, -1)  PA = +0

  Soma dos valores de x: 3 + (-1) = 2

• Nao entendi essa questão.. Alguem p explicar? 

• Se (x²-2, x, -1) formam uma PA, escrevemos então:

  x-(x²-2) = -1-(x)

  x-x²-2 = -1-x

  -x²+x-21+x = 0

  -x²2x-1 = 0 (multiplicando por -1)

  x²-2x1 = 0

   

  Ao resolver a equação de segundo grau obtemos:

  x'= 1

  x''= 1

   

  Ele pede a soma dos possíveis valores de x então:

  1+1 = 2

   

  A resposta é 2!

• Isabela, poderias postar a resolução da equação de segundo grau?

• Em uma progressão aritmética, você soma uma constante a cada termo da progressão para obter o valor do termo seguinte. Assim se chamarmos nossa constante de "a", temos:

  Somando-se "a" ao primeiro termo: (x²-2)+a=x

  Somando-se "a" ao segundo termo: x+a = 1      ; Desta equação simples, tiramos o valor de "a": a= -1-x

  Substituido o valor de "a" na primeira equação:      x² - 2 - 1 - x = x  ou  x² - 2x -3 = 0 --> Equação do 2o. grau com raízes x1=3 e x2=-1

  Resolução da Equação do 2o. grau:      x = (-b +- raiz(b²-4ac)) / 2a     ;    x = (2 +- raiz(4+12))/2    ;    x = (2 +- raiz(16))/2 = (2+-4)2

  x1 = (2+4)/2 = 3 

  x2 = (2-4)/2 = -1

  Soma das raízes= 3 + (-1) = 3-1 = 2

• PA (a, b, c, ...) => (b - a) = (c - b) = ...

  EXEMPLO:

  PA (1, 2, 3, 4, 5, ...) => (2 - 1) = (3 - 2) = (4 - 3) = ...

• resolvendo pela formula da P.A de ordem impar, teremos: a2=a1+a3/2

  substituindo na formula, temos:x=x^2-2 + (-1)/2

  x=x^2-2-1/2

  o dois passa multiplicando o x, ai fica: 2x=x^2-3

  x^2-2x-3=0

  equaçao do 2 grau: delta=16

  x'=3;x''=-1

  x'-x''=2

  gabarito=2 letra E

Questão 366784

• Banca: NCE-UFRJ
• Órgão: UFRJ
• Ano: 2009
• Provas: NCE-UFRJ - 2009 - UFRJ - Assistente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Funções; Logaritmos; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Nessa questão considere log 2≅0,301 e log 1,05≅0,021. Uma aplicação financeira cresce de acordo com uma Progressão Geométrica de razão 1,05 ao ano. Iniciando uma aplicação com 10 mil reais e não mais realizando operações de depósito e retirada, o número de anos que levará para que esse valor dobre está entre:

• A. 13 e 17;
• B. 18 e 22;
• C. 23 e 27;
• D. 28 e 32;
• E. 33 e 37.

Gabarito: A

Comentários

• PG ----> a1 = 10, an = 20, q = 1,05
  
  an = a1*q^(n - 1)
  
  20 = 10*1,05^(n - 1)
  
  2 = 1,05^(n - 1) ---- Aplicando log:
  
  log2 = log[1,05^(n - 1)
  
  log2 = (n - 1)*log1,05
  
  n - 1 = log2/log1,05
  
  n - 1 = 0,301/0,021
  
  n - 1 ~= 14,3
  
  n ~= 15,3 anos ----> Alternativa A

  fonte: http://pir2.forumeiros.com/t7345-log-em-matematica-financeira-2

• GABARITO: alternativa a.

  
  

  log 2 ≅ 0,301 e log 1,05 ≅ 0,021
  q = 1,05

  a1 = 10.000

  an = 20.000

  para n > m, an = am x qn-m

  20.000 = 10.000 . 1,05^^(n - 1)

  2 = 1,05^^(n - 1)

  log 2 = log 1,05^^(n - 1)

  log 2 = (n - 1) . log 1,05

  0,301 = (n - 1) . 0,021

  n ≅ 15,333...

  
  

• já que é uma aplicação em função do tempo da pra utilizar os juros compostos=> m=c.(1+i)^t

  20000=10000.(1+0.05)^t

  2=1,05^t

  log2=t.log1,05 , calcula e corre pro abraço

   

• Uma aplicação de juros compostos.

  Aumentar 5% significa multiplicar por um 1,05. (É necessário ter o conhecimento básico de porcentagem).

  M= C. (1+i) ^ n

  20.000= 10.000. (1,05) ^ n (passa o 10 mil para o outro lado dividindo).

  2= 1,05 ^ n

  Log 2= Log 1,05 ^ n

  0,301= n . 0,021

  n= 14, 33...

  Gabarito Letra a.

Questão 367711

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: EPE
• Ano: 2009
• Provas: CESGRANRIO - 2009 - EPE - Assistente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Uma seqüência de números é tal que seus 4 primeiros termos são:

T₁ = 5

T₂ = 13

T₃ = 24
 
T₄ = 38

Observa-se que:

13 = 5 + 8
24 = 5 + 8 + 11
38 = 5 + 8 + 11 + 14

Conclui-se, então, que o 30º  termo ( T₃₀ )  dessa seqüência é

• A. 1.380
• B. 1.455
• C. 1.500
• D. 1.545
• E. 2.910

Gabarito: B

Comentários

• Conforme percebemos pelo enunciado da questão:

  a1 = 5

  n = 30

  r = 3

  Logo, an = a1 + (n -1) x r 

  an = 5 + 29 X 3

  an = 5 + 87

  an = 92

  Mas, a questão quer a soma dos termos e não o último termo, então:

  Sn = (a1 + an) x n/ 2

  Sn = (5+92) x 30/ 2

  Sn = 97 x 15

  Sn = 1455

• PA de segunda ordem: (5, 13, 24, 38..., a30) fazendo a2-a1, a3-a2, a4-a3 temos a PA de primeira ordem (8, 11, 14,...) com razão =3 , com 29 termos.

  O termo geral da PA de segunda ordem é  an=a1+(S(n-1))   >>> S(n-1) é a soma dos 29 termos da PA de primeira ordem.

  S(n-1)= [(a1+a29)/2]*n

  a1=8

  a29=8+28.3

  a29=92

  S(n-1) = [(8+92)/2]*29

  S(n-1)=1450

  Voltando para o termo geral da PA de segunda ordem a30=5+1450 >>> 1455 (B)

• não entendi como voce achou a razao 3

• Percebe-se uma relação do número de termos de razão 3 com a posição do termo 'a', por exemplo:

  a3 = 3 termos de razão 3 = soma desses 3 termos de razão 3 = 24

  a4 = 4 termos de razão 3 = soma desses 4 termos de razão 3 = 38

  a5 = 5 termos de razão 4 = soma desses 5 termos de razão 3 = 55

  .

  .

  .

  Dessa forma, a30 = 30 termos de razão 3, no qual a soma deles dará o nosso número:

  1 - Achar o a30:

  an = a1 + (n-1) . r

  a30 = 5 + 29 . 3 (razão) = 92

  2 - Calcular a soma dos 30 termos iniciados em 5 e terminados em 92:

  Sn = ((a1 + an) . n) : 2

  Sn = ((5 + 92 . 30) : 2 = 1455

  Gaba: Letra B

• Fórmula da soma (para se chegar direto ao termo):

  Sn = n * [ 5 + 1,5 (n-1) ] ----------> Específica a esta série.

  A partir desta fórmula se chega a qualquer valor de Sn, só testarem substituindo por 30 e se chegará à resposta.

• Onde que a questão ta pedindo a soma dos termos??? Ela pede apenas o 30° termo e não a soma...

  Fiz diferente:

  1° achei a razão no a4, a3 e a2 por meio da formula An = A1 + (n-1)r

  chega que r2 = 8; r3 = 9,5; e r4 = 11.

  Observe que em cada razão aumentou 1,5

  Daí temos que rn = (n.1,5 + a1); pode testar com os valores dados.

  2° calcular o 30° termo:

  A30 = A1 + (30-1).(30.1,5 + A1)

  A30 = 5 + (30-1).(30.1,5 + 5)

  A30 = 1455

  Desta forma, a Sn daria outro valor, uma vez que o termo 30 já é 1455 e tem gente colocando que a soma de todos é 1455.

Questão 470485

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Transpetro
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Economista Júnior
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Uma sequência é formada de tal modo que o seu primeiro termo é 20 e seu vigésimo termo é 11. Além disso, a partir do terceiro termo, cada termo é igual à média aritmética de todos os termos que o antecedem.
Determine o segundo termo dessa sequência.

• A. 2
• B. 11
• C. 15,5
• D. 20
• E. 31

Gabarito: A

Comentários

• Seq = t1,t2,t3,....,t20.
  
  t1 = 20
  t20 = 11
  
  t1
  t2
  t3 = [t1+t2]/2 -> t1+t2 = 2t3
  t4 = [t3+t2+t1]/3 = [t3+2t3]/3 = t3
  t5 = [t4+t3+t2+t1]/4 = [t3+t3+2t3]/4 = t3
  .
  .
  t20 = t3
  
  Como t20 = 11, logo t3 = 11.
  
  Sabe-se que t1+t2 = 2t3 e, tambem, que t1 = 20 e t3 = 11. Daí que:
  
  20+t2 = 2.11
  20+t2 = 22
  t2 = 2
  
  

• Questão resolvida no vídeo abaixo.

  https://www.youtube.com/watch?v=D_zgHCIaVHQ&t=13s

  Bons estudos.

Questão 486421

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: BNDES
• Ano: 2008
• Provas: CESGRANRIO - 2008 - BNDES - Técnico Administrativo - Inglês
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Uma seqüência de números (a1 , a2 , a3 ,...) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão S_n = 3n² + n. O valor do 51o termo é

• A. 300
• B. 301
• C. 302
• D. 303
• E. 304

Gabarito: E

Comentários

• Imaginemos uma soma dessa sequência até o sexto termo, por exemplo:
  
  
  
  Certo? Da mesma maneira, a soma dos cinco primeiros termos será:
  
  
  
  Agora, se eu quiser o sexto termo apenas, você concorda que eu posso fazer:
  
  
  
  Então, para calcularmos o 51° termo, basta fazer:
  
  
  LOGO; A soma dos 50 primeiros termos será:
  Sn=3n²+n
  S50=3(50)²+50
  S50=7550
  A soma dos 51 primeiros termos será?
  S51=3(51)²+51
  s51=7854
  
  Fazendo a diferença teremos a resposta!
  S51-S50=a51
  7854-7550=a51
  304=a51
  
  até mais!
  ;)
• Há algum problema na visualização da fórmula dada no enunciado ou deveria adivinhar  que o "2" depois do "n" é uma potência mesmo??
  
  "Sn = 3n2 + n"
• Uma outra maneira de resolver a questão.
  
  Iremos admitir:
  a₁ = a₁
  a₂ = a₁ + r
  a₃ = a₁ +2r
  S_n = 3n² + n
  
  S_{3 =} (a₁ + a₃) 3 / 2
  
  Substituindo S_n pela fómula dada: 3n²+n, temos:
  
  3.(3)²+3 = (a₁ + a₃).3 / 2
  
  Substituindo a₃ por a₁+ 2r, teremos:
  
  30 = (a₁ + a₁ + 2r)3 / 2
  
  60 = (2a₁ +2r)3
  
  20 = 2a₁ + 2r
  
  Dividindo toda a expressão por 2:
  
  10 = a₁ + r
  
  Definimos no início da resolução que a₁ + r = a_2, portanto
  
  a₂ = 10
  
  Resolvendo novamente a expressão S_n = (a₁ + a_n) n / 2 e substituindo n por 2:
  
  S₂ = (a₁ + a2) 2 /2
  
  Substituindo S₂ pela expressão dada, 3n²+n:
  
  3(2)² + 2 = (a₁ + a₂) 2 / 2
  
  14 = a₁ + 10
  
  a1 = 4
  
  Substituindo a₁ e a₂  em a₂ = a₁ + r
  
  10 = 4 + r
  
  r = 6
  
  Utilizando a fórmula a_n= a₁ + ( n-1)r
  
  a₅₁ = 4 + (50)6
  a₅₁ = 4 + 300
  
  a₅₁ = 304  
  LETRA: E

• A resposta é a letra E.... o enunciado está errado. a formula é? S= 3n² + n.

  Ai resolve-se seguindo esse raciocínio:

  
  

  Q51 = S51 - S50.... ai você chegará ao resultado facil facil.

• Dados

  3n² + n

  Encontrar

  A Soma do 51º termo ( não é  o resultado e sim o valor somado para obter a 51º sequencia ).

  Conhecer

  Progressão aritmética

  Solução

  Achar a 50º e 51º sequencia e subtrair os valores.

  3.50² + 50 = 7550

  3.51² + 51 = 7854

  Soma do 51º  termo = 7854 - 7550 = 304

  Resposta

  304

  
  

• S50 = 3(50)² + 50

  S50 = 3(2500) + 50

  S50 = 7500 + 50

  S50 = 7550

  
  

  S51 = 3(51)² + 51

  S51 = 3(2601) + 51

  S51 = 7803 + 51

  S51 = 7854

  
  

  7854 - 7550 = 304

• Pra descobrir a razão, pode pegar o primeiro e segundo termo, ficam mais simples as contas.

   

  Sn=3n²+n
  S1=3(1)²+1
  S1=4  -----> soma do primeiro termo sozinho é igual a A1

   

  Sn=3n²+n
  S2=3(2)²+2
  S2=14

   

  Razão:

  S2=A1+A2
  14=4+A2
  A2=10

   

  Razão = A2-A1 = 10-4 = 6

   

  A51=A1+50R
  A51=4+50.6
  A51=304 ----> Resposta

• Excelente comentário Igor

• Uma das formas de se fazer:

  S1 acha o valor do 1º termo (a1), já que não há ninguém anterior a ele para ser somado

  S2 acha a soma de a2 + a1

  Sn = 3 * n² + n

  S1 = 3 * 1² + 1

  S1 = 3 + 1

  S1 = 4

  então, a1 = 4

  S2 = 3 *2² + 2

  S2 = 3 * 4 + 2

  S2 = 14

  S2 significa que somamos o a1 (4) + a2, e o resultado deu 14, então:

  a1 + a2 = 14

  4 + a2 = 14

  a2 = 14 - 4

  a2 = 10

  Para achar a razão de uma P.A diminuímos um termo ao seu anterior:

  a2 - a1 = r

  10 - 4 = r

  r = 6

  Agora sim podemos usar o T.G para achar o a51:

  an = a1 + (n-1) * r

  a51 = 4 + 50 * 6

  a51 = 4 + 300

  a51 = 304

  GABARITO (E)

Questão 492478

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2008
• Provas: CESGRANRIO - 2008 - BR Distribuidora - Técnico de Administração e Controle Júnior
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x empates, y derrotas e z vitórias. Se x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2, quantos jogos esse time venceu?

• A. 5
• B. 6
• C. 7
• D. 8
• E. 9

Gabarito: C

Comentários

• Num total de 15 partidas temos, Empates X, Derrotas Y, Vitorias Z

  Em P.A. n = a quantidade de letras ,etc existentes... ou seja n=3 e razao 2 (dado no exercicio)
  

  x=3 , y 3+2= 5 , z 5+2 = 7

  A vitoria = partidas vencidas Z
  

  Resposta letra C
  

• 15 partidas (x, y, z)

  Razão: 2
  

  P.A. => an = a1+(n-1)*r
  

  
  

  y = x + (2-1)*2

  y = x + 2

  
  

  z = x + (3-1)*2

  z = x + 4  

  
  

  x + y + z = 15

  x + (x+2) + (x+4) = 15

  3x = 15 - 6

  x = 3

  
  

  Agora é só substituir:

  y = x + 2 => 5

  z = x + 4 => 7 (nº de VITÓRIAS)

  
  

  
  

• X= a1                                   logo temos que X+Y+Z= 15    e  r = 2  substituindo na equação temos que 

  Y =a2 =( a1+r)                                     a1+(a1+r)+(a1+2r)=15

  Z= a3=(a1+2r)                                       a1+(a1+2)+(a1+(2.2))=15

                                                              3a1+6=15   3a1=9    a1=9/3  a1 = 3   como Z é o número de vitórias e Z= a1+2r   Z= 3+(2.2)   Z= 7

• X+Y+Z=15

  X=X
  Y=X+2
  Z=Y+2 .:. SUBSTITUINDO Y .:. Z=(X+2)+2

  X+Y+Z=15 .:. SUBSTITUINDO Y E Z 
  X+(X+2)+(X+2+2)=15
  3X=9
  X=3

  Z=X+2+2 .:. SUBSTITUINDO X
  Z=3+2+2
  Z=7

• 3 + 2 = 5

  5 + 2 = 7

   

  3 empates, 5 derrotas e 7 vitórias

• Fiz testando as alternativas, já que só temos três termos na PA e sabemos que a razão é 2 e o total de partida foram 15

  Sendo assim a soma dos três termos dessa PA tem que dá 15

  
  

  Testando as alternativas

  a) Se z for 5, y vai ser 3 e x vai ser 1 - somando dá 9, então não é nossa resposta

  b) Se z for 6, y vai ser 4 e x vai ser 2 - somando dá 12, também não é nossa resposta

  c) Se z for 7, y vai ser 5 e x vai ser 2 - somando dá 15, pronto achamos o gabarito

• a1 + a2 + a3 = 15

  Questão fala que razão é igual a 2

  OBS:

  a2= a1+ r

  a3= a1+ 2r

  a1+ ( a1+r ) + (a1+ 2r) =15

  a1+ ( a1+2 ) + (a1+ 2.2) =15

  3a1 + 2 + 4 = 15

  3a1 = 15 -2-4

  3a1 = 9

  a1=9/3

  a1=3

  a1 + a2 + a3 = 15 ---->>>>> 3+(3+2)+(3+4)=15

  a1: x empates, a2: y derrotas e a3: z vitória

  a3=7

  **RESPOSTA C**

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) Em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x empates, y derrotas e z vitórias.

  2) Sabe-se que x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2.

  Por fim, frisa-se que a questão deseja saber quantos jogos esse time venceu, ou seja, qual é o valor de z.

  Resolvendo a questão

  Inicialmente, deve-se destacar que, por se tratar de uma Progressão Aritmética (PA) de razão 2, sendo que “x”, “y” e “z” são os termos dessa PA, então esta pode ser representada da seguinte forma: x, x + 2 e x + 4.

  Logo, pode-se concluir que y é igual a x + 2 e que z é igual a x + 4.

  Considerando que, em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x empates, y derrotas e z vitórias, que x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2 e que y é igual a x + 2 e que z é igual a x + 4, então é possível representar tais informações por meio da seguinte equação:

  x + x + 2 + x + 4 = 15

  3x + 6 = 15

  3x = 15 - 6

  3x = 9

  x = 9/3

  x = 3.

  Sabendo que o valor de “x” é igual a “3”, então, pode-se afirmar o seguinte:

  y = x + 2 = 3 + 2 = 5.

  z = x + 4 = 3 + 4 = 7.

  Logo, o citado time venceu 7 jogos, já que o valor de “z” é igual a 7.

  Gabarito: letra "c".

Questão 496900

• Banca: FCC
• Órgão: TRF - 5ª REGIÃO
• Ano: 2008
• Provas: FCC - 2008 - TRF - 5ª REGIÃO - Técnico Judiciário - Área Administrativa
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Um lote de 9 000 disquetes foi colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de forma que o número de disquetes colocados em cada uma correspondia a 1⁄ ₃ da quantidade colocada na anterior. O número de disquetes colocados na

• A. primeira foi 4 075.
• B. segunda foi 2 025.
• C. terceira foi 850.
• D. quarta foi 500.
• E. quarta foi 255.

Gabarito: B

Comentários

• 
   
  1&frasl;3   ou 1/3
  Supondo que a caixa 1 contenha 27 disquetes.
  A caixa 2 terá 9 pois é um terço do número de disquetes da anterior.
  A terceira caixa terá  3 .
  A quarta: 1 disquete.
  Somando: 27 + 9 +3 + 1 = 40
  Pela  proporcionalidade 9000/ 40 = 225
  Então os supostos números    serão todos multiplicados por 225
  Voltando
  Caixa 1 = 225 x27 = 6075
  Caixa 2 = 225 x 9 = 2025
  Caixa 3 =  225 x 3 = 675
  Caixa 4 =  225 x 1 = 225
  
  
  
  resposta: b
  
  
  
  
  bons estudos!
• São 4 caixas, vamoschamá-las de A,B,C e D então A+B+C+D=9000;
  cada caixa terá 1/3 da anterior (se atribuirmos a A o valor X (A=x) teremos;
  A = X;
  I- B= 1/3A = 1/3X (um terço de A); 
  II-C= 1/3B (substituindo I em II) 1/3* 1/3 = 1/9x          lembre-se que B é  um terço de A
  III-D= 1/3C (substituindo III em II) 1/9 * 1/3 = 1/27x
  substituindo em A+B+C+D=9000 temos;
  X +1/3X+1/9X+1/27X = 9000;
  realizando as operaçoes temos;
  40X = 243000
  X = 6075
  como B =  1/3X temos:
  B = 1/3(6075) = 2025
  alernativa B
  
• Na suposição, pode ser qualquer número né? Não, necessariamente, o número 27?
• 1º caixa = x
  2ª caixa= 1/3 x
  3ª caixa=1/3.1/3 x=1/9x
  4ª caixa= 1/3.1/9x= 1/27
  
  LOGO:
  x+1/3x+1/9x+1/27x=9000
  Tira o mmc que será igual a 6075
  
  ENTÃO:
  1ª caixa= 6075
  2ª ciaxa=1/3 de x = 2025
  3ª caixa =1/3 de x (anterior)= 675
  4ª caixa=1/3 de x (anterior)=225 LETRA  B
   
  
  

• Considerando n o número de disquetes colocados na 1ª caixa, tem-se:

  
  

  1ª caixa: n

  2ª caixa: (⅓)n

  3ª caixa: ⅓ [(⅓)n]

  4ª caixa: ⅓ { ⅓[(⅓)n]

  
  

  As quatro caixa somadas equivalem à 9000 disquetes. Assim,

  n + (⅓)n + ⅓ [(⅓)n] + ⅓ { ⅓[(⅓)n] = 9000

  n + n/3 + n/9 + n/27 = 9000

  
  

  Multiplicando-se todos os termos por 27, com a finalidade excluir o denominador, tem-se:

  27n + 9n + 3n + n = 243000

  40n = 243000

  n = 6075, que é o número de disquetes da 1ª caixa.

  2ª caixa: (⅓)n = 2025

  3ª caixa: ⅓ [(⅓)n] = 675

  4ª caixa: ⅓ { ⅓[(⅓)n] = 225

  
  

    Analisando as opções, verifica-se que a correta encontra-se na letra B.

  
  

  (Resposta B)

  
  

• C1 = x

  C2 = x/3

  C3 = 1/3 . x/3 = x/9

  C4 = 1/3 . x/9 = x/27

  
  

  x + x/3 + x/9 + x/27 = 9000

  27x + 9x + 3x + x = 243000

  40x = 243000

  x = 6075

  
  

  C1 = 6075

  C2 = 6075/3 = 2025

  C3 = 2025/3 = 675

  C4 = 675/3 = 225

• Em caso de muita dúvida, resolva testando as alternativas. Foi assim que resolvi

   

  a) Se na primeira caixa estivesse 4075, na segunda teria 1358 (valor aproximado), porque seria 4075/3, no terceiro teria 452 dividindo por 3 novamente e por fim na quarta caixa teria 150. Somando esses valores= 4075 + 1358 + 452 + 150 = 6035 (valor aproximado). Logo, não pode ser essa alternativa porque todas juntas tem que dar 9000!!!

   

   b) Seguindo o mesmo raciocínio, temos se na segunda é 2025 o primeiro é 2025 x3= 6075, o terceiro é 2025/3=675 e o último 675/3= 225. Somando todos, temos 2025+6075+675+225= 9000 que é a resposta correta! :)

Questão 515827

• Banca: Exército
• Órgão: EsPCEx
• Ano: 2010
• Provas: Exército - 2010 - EsPCEx - Cadete do Exército - 2° Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira é

• A. 480
• B. 511
• C. 512
• D. 1023
• E. 1024

Gabarito: C

Comentários

• O menino preencheu até a 9º casa porque quando ele chegou na décima ja nao tinha mais grãos.
  
  numero de casas           1   2   3   4    5     6    7       8       9        10
  quantidade de grãos     2   4   8   16  32  64  128  256   512                      
  
  sempre ir multiplicando por 2 logo quando ele chegou na 9º casa tinha a quantidade de 512 grãos. Se o problema falasse que ele conseguiu preencher ate a 10ª casa logo ele estaria com 1024 grãos.

• Negativo ele completou a 10 casa, tanto que ele colocou 1 grão na primeira, "... até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa.."

  Ele não preencheu a nona e acabaram-se os grãos ele preencheu a décima casa e acabaram-se os grãos, a primeira casa é "inclusive"
  

• A nona casa são 511 graõs e a décima começa no 512 então no mínimo ele começou a décima casa  !

• soma finita de pg(sg=a1(q^n-1)/q-1)

   

  1(2^9-1)/2-1=2^9-1=511

   

  porem ele preencheu um pouco da 10ª, logo no minimo ele tem 512

• questãozinha filha da p***

• Perceba que o padrão com que o menino coloca os grãos forma a seguinte P.G:

  (1, 2, 4, ..., a9), com a1 = 1 e q = 2

  Vamos contar apenas até a9 pois, segundo o texto, o menino não chegou a completar a 10ª casa.

  Encontrando a9:

  a9 = 1.2^8

  a9 = 256

  Somemos a quantidade total de grãos usando a Soma Finita da P.G:

  Sn = a1. [(q^n) -1]/ (q -1)

  S9 = 1.[(2^9) - 1]/1

  S9 = 511

  Portanto, ao completar a 9ª casa, o menino já havia colocado 511 grão.

  Como começou a preencher a 10ª e parou no meio do caminho, a quantidade total mínima de grãos é 512.

  Alternativa CHARLIE!

  BRASIL!

• Cai na pegadinha kkkkkkkk

Questão 516517

• Banca: Exército
• Órgão: EsPCEx
• Ano: 2007
• Provas: Exército - 2007 - EsPCEx - Cadete do Exército - 1º Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

O valor de x que satisfaz a equação  x + ^2x⁄₃ + ^4x⁄₉ + ^8x⁄₂₇ + ... = 243 , em que o primeiro membro é uma P.G. infinita, é

• A. 27
• B. 30
• C. 60
• D. 81
• E. 90

Gabarito: D

Comentários

• OBS : x + 2x⁄3 + 4x⁄9 + 8x⁄27 + ... (Isso tudo é 1 só membro da equação)

  O primeiro membro da equação é uma PG infinita. Ou seja, x + 2x⁄3 + 4x⁄9 + 8x⁄27 + ... é uma PG infinita.

  Formula da Soma dos termos de uma PG infinita = a1 / 1 - q     >>>>    x / 1 - 2/3   (2/3 é a razão)

  Então, x / 1/3 = 3x . E 3x = 243 >>  x = 243 / 3 = 81  LETRA D

• Resolução : https://www.youtube.com/watch?v=kUeAtTH1y9Y

• Soma dos infinitos termos de uma PG = a1 / (1-r)

  Desenvolvendo temos que:

  3x = 243

  x=81

  Questão bem intuitiva para quem estudou bem o assunto.

Questão 528358

• Banca: Exército
• Órgão: EsFCEx
• Ano: 2009
• Provas: EsFCEx - 2009 - EsFCEx - Oficial - Magistério Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

O valor de a na equação y³ - 52y² + ay - 1728 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica é:

• A. 468
• B. 494
• C. 536
• D. 624
• E. 736

Gabarito: D

Comentários

• Raízes estão em PG, então temos:

  (x/q, x, x.q)

  O produto das raízes:

  P= x/q.x.x.q

  P: x3

  -d/a= x3

  1728= x3

  x=12 (RAÍZ DA EQUAÇÃO)

  Substituindo a raíz na equação, temos:

  12^3 - 52.12 + 12a + - 1728= 0

  a= 624

Questão 562870

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Todos os Cargos - Nível Médio - Conhecimentos Básicos
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

O movimento de passageiros nos aeroportos brasileiros vem aumentando ano a ano. No Rio de Janeiro, por exemplo, chegou a 14,9 milhões de passageiros em 2009, 4,5 milhões a mais do que em 2004. Supondo-se que o aumento anual no número de passageiros nos aeroportos cariocas, de 2004 a 2009, tenha-se dado em progressão aritmética, qual foi, em milhões de passageiros, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007?

• A. 14,4
• B. 13,8
• C. 13,1
• D. 12,8
• E. 12,1

Gabarito: C

Comentários

• a1=14,9-4,5=10,4 --> 2004
  a2=? -->2005
  a3=?-->2006
  a4=?-->2007
  a5=?-->2008
  a6=14,9-->2009
  
  Progressão Aritimética = P.A.
  
  Formula - An=Ak+(n-k)*q
  
  Primeiro devemos achar a razão (q) da PA
  Então a formula fica:
  
  A6=A1+(6-1)*q
  14,9=10,4+5q  ------------> Resolvendo q=0,9
  
  Após achar a razão (q) da PA, devemos achar o  valor de A4 já que este corresponde ao ano de 2007.
  
  A4=A1+(4-1)*0,9
  A4=10,4+2,7
  A4=13,1
  
  Letra "C"
• Considerando o ano de 2004 como a1, temos:
  a1 = 14,9 - 4,5 = 10,4
  
  Consequentemente:
  a6 = 14,9 (ano de 2009)
  a4 equivale ao ano de 2007 (pergunta da questão)
  
  Usando a fórmula da P.A., temos:
  an = a1 + (n-1)r
  
  a6 = a1 + 5r
  14,9 = 10,4 + 5r
  5r = 14,9 - 10,4
  5r = 4,5
  r = 0,9
  
  Com isso:
  a4 = a1 + 3r
  a4 = 10,4 + 3(0,9)
  a4 = 13,1 (alternativa C)
• O movimento de passageiros nos aeroportos brasileiros vem aumentando ano a ano. No Rio de Janeiro, por exemplo, chegou a 14,9 milhões de passageiros em 2009, 4,5 milhões a mais do que em 2004. Supondo-se que o aumento anual no número de passageiros nos aeroportos cariocas, de 2004 a 2009, tenha-se dado em progressão aritmética, qual foi, em milhões de passageiros, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007?
  
   Sabemos que, desde 2004 à 2009, decorreu 5 anos.
   E que dentro desses 5 anos, ocorreu uma progressão aritmética, igual  a 4,5milhões. Se dividimos, os 4,5/5, saberemos que ocorreu um aumento de 0,9 milhões por ano.
   Isto é, 4,5/5=0,9 milhões por ano.
  no entanto, de 2007, pra 2009, tem a decorrência de 2 anos, ou seja,  2 x 0,9 = 1,8 milhões.
   Já sabemos, que a progressão de 2007 a 2009 é igual a 1,8 milhões.
  
   AGORA PARA RESOLVER, BASTA  FAZER UMA SIMPLES SUBTRAÇÃO, COM O TOTAL DE PASSAGEIROS EM 2009,SUBTRAINDO, PELA DECORRÊNCIA DE DOIS ANOS, PARA DESCOBRIR  O MOVIMENTO NOS AEROPORTOS EM 2007.
  
  VAMOS  LÁ  14,9
                        -1,8
                      -------------
                          13,1
• Incrivel como pessoas conseguem COMPLICAR AS COISAS e como outros no caso do Cleiton conseguem SIMPLIFICAR.
  Vlw Cleiton, obrigado.      abs Pimenta
• Os colegas acima não estão complicando, é que esta questão é relativamente fácil e dá para resolver de cabeça (sem usar PA), mas é importante saber resolver por PA, pois há questões que é impossível resolver de cabeça, por isso, mesmo nas mais simples é bom usar o conceito matemático correto para treinar.
• QUESTÃO DE PA.
  
  DADOS ;
  
  A QUESTÃO AFIRMA QUE :  EM 2009 TINHA 14,9 MILHÕES DE PASSAGEIROS E 4,5 MILHÕES A MAIS QUE EM 2004.
    EM 2004 TINHA  14,9 - 4,5 = 10,4 MILHÕES EM 2004.
  
  
  2004     2005    2006    2007    2008    2009 
  10,4      11,3      12,2     13,10   14,00    14,90
  
  RESOLUÇÃO
  
  AN= 14,9                                                                A1= 10,4                            
  N=  6 - SÃO OS ANOS DE 2004 A 2009 
  R = ?   
   
   AN=AN + ( N - 1 ) x R                                                14,9 = 10,4 + ( 6-1 ) x R
  14,9 = 10,4 + 5R
  14,9 - 10,4 = 5R                                                   
  5R = 4,5                    
  R= 4,5/5                                                                   R= 0,9 MILHÕES DE PASSAGEIROS                                                
   ENTÃO SOMA 0,9 A CADA TERMO E VAI DAR O VALOR DE CADA ANO.                                                                                                                    
                                                                                                                      
  
   

• Bem, procuro entender a questão e utilizar as fórmulas para memorizá-las quando não puder resolver o problema de cabeça.

  se a1 - 2004, a6 - 2009 e a4 - 2007

  a6 = 14.900.000 = 4.550.00 + a1

  logo: a1 = 14.900.000 - 4.500.000

           a1 = 10.400.000

  Para descobrir a razão dessa PA:

  an = a1 + (n - 1) r

  14.900.000 = 10.400.000 + (6-1) r
  

  4.500.000 = 5r

  r = 900.000

  .....

  a4 = ?

  a4 = 10.400.000 + 3 * 900.000

  a4 = 10.400.000 + 2.700.000

  a4 = 13.100.000 (C)

  
  

• 14,9 - 4,5 = 10,4 (2004)

  4,5 : 5 = 0,9 (Razão)

   

  Entre 2004 e 2007: 3 anos

   

  0,9 x 3 = 2,7

  10,4 + 2,7 = 13,1

• De 2004 à 2009 dá uma PA de 6 termos

  
  

  então temos:

  
  

  a1 = 2004, a2 = 2005, a3 = 2006, a4 = 2007, a5 = 2008, a6 = 2009

  A questão diz que em 2009 é igual a 14,9 milhões, então:

  a6 = 14,9 milhões

  A questão diz também que 2009 foi 4,5 milhões a mais que 2004, sendo assim 2004 foi 10,4

  Então:

  a1 = 10,4

  Sabemos que a PA tem 6 termos, então n = 6

  
  

  A questão quer saber a quantidade de passageiros de 2007, que no caso é o a4

  Primeiro precisamos descobrir a razão

  
  

  a6 = a1 + 5r

  14,9 = 10,4 +5r

  14,9 - 10,4 = 5r

  r = 0,9

  
  

  Agora basta substituir na formula geral da PA para descobrir o a4

  
  

  a4 = a1 + 3r

  a4 = 10,4 + 3*0,9

  a4 = 13,1

  
  

  Alternativa C

  
  

  
  

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) O movimento de passageiros nos aeroportos brasileiros vem aumentando ano a ano.

  2) No Rio de Janeiro, por exemplo, chegou a 14,9 milhões de passageiros em 2009, 4,5 milhões a mais do que em 2004.

  3) A partir da informação “2” acima, já que, em 2009, o movimento de passageiros chegou a 14,9 milhões de passageiros, sendo que tal valor é 4,5 milhões a mais do que o movimento em 2004, então, pode-se afirmar que o movimento de passageiros, em 2004, correspondeu a 10,4 milhões (14,9 - 4,5).

  4) Deve-se considerar que o aumento anual no número de passageiros nos aeroportos cariocas, de 2004 a 2009, tenha-se dado em progressão aritmética.

  Por fim, frisa-se que a questão deseja saber qual foi, em milhões de passageiros, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007.

  Resolvendo a questão

  Considerando que a Progressão Aritmética (PA) em tela começa em 2004 e termina em 2009, então é possível concluir que tal Progressão Aritmética terá 6 termos, sendo que o primeiro termo corresponde a 10,4 milhões e o último termo corresponde a 14,9 milhões.

  Nesse sentido, para se descobrir os termos dessa Progressão Aritmética (PA), é necessário descobrir a razão (r) desta.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 10,4 milhões, A6 = 14,9 milhões e n = 6.

  * Frisa-se que n é igual a 6, pois foi escolhido o sexto termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A6 = 10,4 + (6 - 1) * r

  14,9 = 10,4 + 5r

  5r = 14,9 - 10,4

  5r = 4,5

  r = 4,5/5

  r = 0,9 milhões.

  r = 900.000.

  Logo, a razão da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 900.000.

  Considerando as informações e os resultados encontrados acima, pode-se montar a seguinte Progressão Aritmética (PA):

  2004 - 10,4 milhões

  2005 - 11,3 milhões

  2006 - 12,2 milhões

  2007 - 13,1 milhões

  2008 - 14 milhões

  2009 - 14,9 milhões

  Gabarito: letra "c".

Questão 562900

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Todos os Cargos - Nível Médio - Conhecimentos Básicos
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Porcentagem; Progressão Geométrica - PG; Progressões

A Europa (...) é o único continente onde a população vem diminuindo. Segundo o Fundo de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 2010.
Disponível em: www.pt.wikipedia.org

Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população europeia correspondesse a P habitantes, a população de 2010 corresponderia a

• A. P • (0,9999) ⁵
• B. P • (0,999) ⁵
• C. P • (0,909) ⁵
• D. P • (0,99) ⁵
• E. P • (0,90) ⁵

Gabarito: B

Comentários

• Lembrando que 0,1% = 0,1/100 = 0,001, temos:
  2005 = P
  2006 = P - (0,001).P = (0,999).P
  ......
  
  Uma PG, em que:
  a1 = P
  q = (0,999).P/P = 0,999
  n = 6
  an = ??
  
  an = a1.q^(n-1)
  an = P.(0,999)^(6-1)
  an = P.(0,999)^5
  
  Alternativa (B).
  
  fonte. http://www.soensino.com.br/foruns/viewtopic.php?f=5&t=14137
• A solução do colega Sidney Dias é ótima. Isso porque ele usa PG, o que está certíssimo.
  Mas se lembrarmos que na matemática financeira trabalhamos com taxas, podemos fazer um paralelo entre os dados deste problema com uma operação de desconto por fora em juros compostos.
  Ressalto que juros compostos utilizam fórmulas de PG. Ou seja, é quase como se fizéssemos por PG.
  Observe que é uma operação de desconto composto por fora, pois há um descréscimo do valor atual, e o valor futuro (nominal) é o que queremos descobrir, já considerando esse descréscimo.
  Nesse caso, o valor nominal (futuro) é a população da Europa em 2010. A fórmula do desconto por fora é
  N = A x (1-i)^n ou
  N=A(1-i)ⁿ
  N -> Valor nominal;
  A -> Valor atual;
  x -> Operação de multiplicação;
  i -> Taxa (dada em alguma unidade de porcentagem em relação ao tempo);
  ^ -> Operação de exponenciação;
  n -> Período durante o qual a taxa incidirá (deve estar na mesma unidade da taxa: dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre, ano, biênio etc).
  Tomemos:
  * a taxa como sendo i = 0,1% ao ano. Se realizarmos a operação de divisão por 100, temos i = 0,1 / 100, dando i = 0,001 (guarde esse valor);
  * o valor atual como sendo P (população da Europa em 2005), portanto, A = P (guarde esse valor);
  * n = 5, pois de 2005 a 2010 contamos 5 anos; faça 2010 - 2005 = 5 (guarde esse valor);
  Resumo:
  * i = 0,001
  * A = P
  * n = 5
  * N = A x (1- i)ⁿ
  * Lembre-se que queremos descobrir o valor de N.
  Portanto:
  N = P x (1 - 0,001)⁵
  N = P x (0,999)⁵
  Resposta: A população da Europa em 2010 será, em relação à de 2005, P * (0,999)⁵. [Letra B]

• a1 = P
  q = (0,999).P/P = 0,999
  n = 6
  an = ????
  
  an = a1.q^(n-1)
  an = P.(0,999)^(6-1) 
  an = P.(0,999)^5
  
  Alternativa B

Questão 572647

• Banca: Marinha
• Órgão: ESCOLA NAVAL
• Ano: 2009
• Provas: Marinha - 2009 - ESCOLA NAVAL - Aspirante - 1º Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Um paralelepípedo retângulo tem dimensões x, y e z expressas em unidades de comprimento e nesta ordem, formam uma P.G de razão 2 . Sabendo que a área total do paralelepípedo mede 252 unidades de área, qual o ângulo formado pelos vetores u = (x-2, y-2,z-4) e W = (3, -2,1) ?

• A. arc cos √14 
                      42
  
  
  
• B. arc sen 5√14 
                      126
  
  
• C. arc tg 2√5
  
  
• D. arc tg - 5√5
  
  
• E. arc sec √14 
                       3
  
  
  
  

Gabarito: A

Comentários

• (x,y,z) = (x, 2x, 4x)

  Área de um paralelepípedo = 252 = 2 (xy + xz + yz)

  xy + xz +yz = 126

  2x² + 4x² + 8x² = 126

  x² = 9

  x = +/- 3 (como estamos falando de unidade de comprimento, só o +3 é resposta)

  x= 3 ; y= 6 ; z= 12

  u = ( 1 , 4 , 8 )

  O produto vetorial entre dois vetores (u . v) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = |u| . |v| . cos ângulo

  3 - 8 + 8 = √ 81 . √14 . cos ângulo

  cos ângulo = 1 / 3 √14 = √14 / 42

  ângulo = arc cos √14 / 42

Questão 572656

• Banca: Marinha
• Órgão: ESCOLA NAVAL
• Ano: 2009
• Provas: Marinha - 2009 - ESCOLA NAVAL - Aspirante - 1º Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Polinômios; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considere X₁,  X₂   e   X₃   ∈   ℜ  raízes da equação 64x³-56x²+ 14x-1= 0.
Sabendo que X₁, X₂ e X₃ são termos consecutivos de uma P. G e estão em ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressão sen [ (X₁ + X₂) π ] + tg [ (4X₁ X₃)π ] vale

• A. 0
  
  
• B.  √2 
       2
  
  
• C.  2 - √2 
            2
  
• D. 1
  
  
• E.  2 + √2 
            2
  
  

Gabarito: E

Comentários

• Não usei as propriedades da PG para descobrir os valores, mas vou colocar a resolução abaixo

  Primeiramente chutei o número 1 e 2 para tentar reduzir o grau do polinômio, mas não consegui, então, como ele disse que os números eram decrescentes, utilizei 1/2.

  | 64 | - 56 | 14 | - 1

  1/2 | 64 | 32 - 56 = -24 | -12+14 = 2 | 0

  Novo polinômio --> 64 x² - 24 x + 2 = 0

  32 x² - 12 x +2 = 0

  Fazendo báskara encontrei as outras raízes = 1/4 e 1/8

  Como ele dizia que estão em ordem decrescente ---> x1= 1/2 ; x2 = 1/4 ; x3 = 1/8

  Logo,

  x1 + x2 = 3/4

  4 x1 . x3 = 1/4

  Aplicando na fórmula pedida ---> sen 135º + tg 45º = √2/2 + 1 = √2 + 2 com tudo sobre 2

Questão 573094

• Banca: Marinha
• Órgão: ESCOLA NAVAL
• Ano: 2010
• Provas: Marinha - 2010 - ESCOLA NAVAL - Aspirante - 1º Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Uma progressão geométrica infinita tem o 4° termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do produto de seus 10 primeiros termos vale 10 - 15 log₅ 2. se S é a soma desta progressão, então o valor de log₂ S é

• A. 2+ 3 log₂ 5
• B. 2 + log₂ 5
• C. 4+ log₂  5
• D. 1+ 2 log₂ 5
• E. 4+ 2 log₂  5

Gabarito: C

Comentários

• Primeiramente, a soma de uma PG infinita se dá pela fórmula: a1 / 1 - q

  Precisamos achar o a1 e a razão!

  an = ap . q ^n-p ------> a1 = a4 . q^-3

  Se colocarmos todos os fatores em função de a4 e realizarmos o produto, obteremos a4^10 . q^15

  Sendo assim, log na base 5 do produto = log na base 5 de 5^10 . q^15

  Podemos dividir esse log em uma soma de log na base 5 de 5^10 e log na base 5 de q^15

  Isso fica 10 + log na base 5 de q^15 = 10 + log na base 5 de 2^-15

  Corta-se os 10 e os log na base 5 --> q^-15 = 2^-15

  q = 1/2

  Substituímos na equação do a1 --> a1 = 5 . 2³ = 40

  Substituímos na soma infinita ---> S = 40 / 1 - 0,5 = 80

  Log na base 2 de 80 = log na base dois de 2^4 + log na base 2 de 5 = 4 + log na base 2 de 5

Questão 582013

• Banca: NUCEPE
• Órgão: SEDUC-PI
• Ano: 2009
• Provas: NUCEPE - 2009 - SEDUC-PI - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:

• A. 140
• B. 105
• C. 50
• D. 25
• E. 0

Gabarito: E

Comentários

• https://brainly.com.br/tarefa/4910012

• so essa conta ja leva todo horario da prova.

  Sn = (a1 + an).n/2

  S10 = (a1 + an).10/2

  50 = (a1 + an).5 ⇒ (a1 + an) = 10 ⇒ (a1 + a1 + 9r) = 10 ⇒ 2a1 + 9r = 10

   

  S20 = (a1 + an).20/2

  50 = (a1 + an).10 ⇒ (a1 + an) = 5 ⇒ (a1 + a1 + 19r) = 5 ⇒ 2a1 + 19r = 5

  2a1 + 9r = 10 (x -1)

  2a1 + 19r = 5 

  -2a1 - 9r = -10

   2a1 + 19r = 5

  ---------------------- + 

  10r = -5 ⇒ r = -5/10 ⇒ r = -1/2

  Substituindo r = -1/2 em uma das equações: 2a1 + 19.(-1/2) = 5

  2a1 - 19/2 = 5

  2a1 = 5 + 19/2

  2a1 = (10 + 19)/2

  2a1 = 29/2

  a1 = 29/4

  a30 = a1 + (n-1).r

  a30 = 29/4 + (29-1).(-1/2)

  a30 = 29/4 -1/2(29) 

  a30 = 29/4 - 29/2

  a30 = (29 - 58)/4 = -29/4

  S30 = (a1 + an).30/2

  S30 = (29/4 -29/4).15

  S30 = 0.15

  S30 = 0

  Resposta: 0

• Sn = (an + a1).n/2 e an = a1 + (n - 1).r, Logo... Sn = (2a1 + (n - 1).r).n/2

  S10 = S20, Logo... (2a1 + 9r).10/2 = (2a1 + 19r).20/2, Então, temos... 2a1 + 29r = 0

  S30 = (2a1 + 29r).30/2, como sabemos que 2a1 + 29r = 0, então S30 = 0.

Questão 583156

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2006
• Provas: CESGRANRIO - 2006 - Petrobras - Analista de Transporte Marítimo Júnior
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Na representação gráfica de um problema matemático, houve a necessidade do cálculo da projeção vertical de um vetor unitário, cujo ângulo com o eixo de referência foi obtido através da soma infinita de uma progressão geométrica. O valor desejado, expresso por sen (p/6 + 2p/15 + 8p/75 + ...), vale:

• A. +1/2
• B. +(2)^½ / 2
• C. +(3)^½ / 2
• D. -1/2
• E. -(3) 1/2 / 2

Gabarito: A

Questão 587893

• Banca: FDC
• Órgão: CREMERJ
• Ano: 2011
• Provas: FDC - 2011 - CREMERJ - Agente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Os salários de Ana, Bruno e Carlos formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se Ana recebe R$ 872,00 por mês e Carlos R$ 1.250,00, Bruno tem o seguinte salário:

• A. R$ 1.143,00
• B. R$ 1.092,00
• C. R$ 1.061,00
• D. R$ 995,00
• E. R$ 984,00

Gabarito: C

Comentários

• ANA = A                    A = 872,00

  BRUNO = B              B = ?

  CARLOS = C           CARLOS = 1.250,00

  PA ( A, B, C )

  B = (872 + 1250) / 2

  B = 1.061,00

   

• Só usar a formula do termo geral de uma P.A.

  An=a1+(n-1).r

  No caso o

  A1= 872

  A3= 1.250

  Porém como a questão não da a razão devemos calcular:

  Substituindo os valores.

  1250=872+(3-1).r

  378=2r

  r=189

  Agora usando a formula novamente:

  A2=872+(2-1).189

  A2=1.061

  Letra C

Questão 607876

• Banca: COPEVE-UFAL
• Órgão: Prefeitura de Rio Largo - AL
• Ano: 2010
• Provas: COPEVE-UFAL - 2010 - Prefeitura de Rio Largo - AL - Assistente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

O quinto termo de uma progressão geométrica é -81.   Se a razão dessa progressão geométrica é q = 3, então a soma dos seis primeiros termos dessa progressão geométrica é:

• A. -464.
• B. -384.
• C. -264.
• D. -364.
• E. -664.

Gabarito: D

Comentários

• RESPOSTA D

  -243 (6º termo) x3

  -81 (5º termo)

  -27 (4º termo) /3

  -9 (3º termo) /3

  -3 (2ª termo) /3

  -1 (1º termo) /3

  =-364 SOMA

  Se a razão dessa progressão geométrica é q = 3

  PS: NÃO LEMBRO DAS FORMULA KKKK

  #sefaz.al2019 #ufal2019 

• a pessoa estuda P.G pra copeve #ufal2019 , e percebe que ela só cobrou esse assunto uma única vez, 9 anos atrás...

  enfim, sobre a questão:

  o 5° termo é -81 e a razão é 3, então o 4° termo é -27, o 3° termo é -9, o 2° termo é -3, e o 1° termo é -1.

  e pra completar o 6° termo é -243

  pra descobrir os outros termos é só achar os números que multiplicados por 3 dá o número seguinte, pois a razão pressupõe que os números vão multiplicando por 3.

  nesse caso a sequencia ficou: (-1, -3, -9, -27, -81, -243)

  somando todos e conservando o sinal negativo = -364

  Gabarito letra D

• Como o quinto da PG é -81, e a razão q = 3, facilmente se vê que o primeiro elemento é - 1.

  Jogando na fórmula do somatório para PG: Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q-1)

  Sn = (1 * (3^6 - 1)) / (3-1) = 728 / 2 = 364

  Neste caso, é mais rápido resolver tudo somando no braço mesmo.

  "Se alguém quer vir após mim, renegue-se a si mesmo, tome cada dia a sua cruz e siga-Me." São Lucas IX

Questão 608812

• Banca: CONSULPLAN
• Órgão: SDS-SC
• Ano: 2008
• Provas: CONSULPLAN - 2008 - SDS-SC - Técnico de Informática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Progressão Aritmética - PA; Progressões; Raciocínio Lógico; Sistemas de Numeração e Operações Fundamentais

Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilômetro 3 e outro no quilômetro 88.
Entre eles, serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Qual marco quilômetro dessa estrada não receberá um telefone?

• A. 18
• B. 58
• C. 73
• D. 25
• E. 43

Gabarito: D

Comentários

• Questão sem muita dificuldade. Na figura abaixo, T(n) = telefone no marco "n"
  
  T(3)_______________________________________________________________T(18)
  
  
  Como vão ser instalados mais 16 telefones, teremos, então, 17 intervalos entre 3 e 88, sendo que cada um mede (88-3)/17 = 5km. Logo, o primeiro dos 16 telefones será instalado no marco 3+5=8, o segundo, no marco 13, o terceiro, no marco 18, o quarto no marco 23, o quinto no marco 28 e assim sucessivamente. Logo, das alternativas dadas, no marco 25 não haverá telefone.
  
  Que Deus nos Abençoe!!!!
  
  
• Complementando a linha de raciocínio, partimos do princípio que adicionando 5km ao primeiro marco e fazendo sucessivamente esta operação, observaremos que os marcos serão final 3 ou 8. Logo conclui-se acertadamente que a resposta é o marco 25.

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação, à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilômetro 3 e outro no quilômetro 88.

  2) Entre eles, serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância.

  3) A partir das informações acima, pode-se concluir que o quilômetro 3 é o primeiro termo de uma PA, sendo que o quilômetro 88 é o décimo oitavo termo desta, já que, após o primeiro termo, haverá mais 16 termos.

  Nesse sentido, frisa-se que a questão deseja saber, dentre as alternativas, qual marco quilômetro dessa estrada não receberá um telefone.

  Resolvendo a questão

  Inicialmente, deve-se descobrir a razão (r) da PA em tela, para que sejam encontrados os termos desta.

  A fórmula referente ao Termo Geral de uma Progressão Aritmética (PA) é a seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r.

  Com relação à fórmula acima, vale destacar o seguinte:

  - “A1“ representa o primeiro termo da Progressão Aritmética.

  - “r” representa a razão da Progressão Aritmética.

  - “n” representa o número do termo escolhido da Progressão Aritmética.

  Tendo em vista as explanações e a fórmula acima, tem-se o seguinte:

  An = A1 + (n - 1) * r, sendo que A1 = 3 A18 = 88 e n = 18.

  * Frisa-se que n é igual a 18, pois foi escolhido o décimo oitavo termo da Progressão Aritmética, como referência, para aplicação da fórmula.

  A18 = 3 + (18 - 1) * r

  88 = 3 + 17r

  17r = 88 - 3

  17r = 85

  r = 85/17

  r = 5.

  Logo, a razão da Progressão Aritmética (PA) em tela corresponde a 5.

  A partir dos resultados acima, tem-se a seguinte PA:

  3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83 e 88.

  Logo, dentre as alternativas, apenas o marco 25 quilômetro dessa estrada não receberá um telefone.

  Gabarito: letra "d".

Questão 620842

• Banca: CONSULPLAN
• Órgão: Correios
• Ano: 2008
• Provas: CONSULPLAN - 2008 - Correios - Agente de Correios - Atendente Comercial
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões; Raciocínio Lógico

Qual é o décimo termo da seqüência 17, 18, 20, 23, 27...?

• A. 45
• B. 62
• C. 38
• D. 72
• E. 53

Gabarito: B

Comentários

• vamos lá:

       sequência:17 ⁺¹,18⁺²,20⁺³,23⁺⁴,27⁺⁵,32⁺⁶,38⁺⁷,45⁺⁸,53⁺⁹,62

        décimo termo é 62

• Temos a sequência: 17,18,20,23,27,...
  
  A sequência é formada com intervalos crescentes: 1,2,3,4,5,... até o 10º termo.
  
  Onde a1 = 17, somando 1 será a2; a2 = 18 somando 2 será a3  e assim sucessivemente.
  
  Os intervalos da sequência formam uma PA de razão r=1. Uma sequência de 10 termos terá: (10-1) = 9 (ou seja, 9 intervalos), Portanto, a PA terá 9 termos.
  
  Pela soma da PA temos:
  
  S = (a₁ + a_n) n 
                2
                         
  S = (1 + 9).9    = 45
               2 
  
  Logo, o décimo termo da seuqência será: 17 + S => 17 + 45 = 62
  
  
  Letra B
  
  
  
• A PA que o colega se refere é a sequencia numérica dos acréscimos = 1,2,3,4..

• Está questão não é uma Progressão Aritmética (PA), pois a PA é uma sequencia de razão (r) que é um valor fixo.
  
  Exemplo: (1, 3, 5, 7, ...) razão é 2. Ouseja, para ser PA somamos o termo anterior pela razão 2. (1, 1+2=3, 3+2=5, 5+2=7, ....)
  
  Logo, a questão é uma sequencia numérica, mas não se trata de PA, pois não possui razão.

• Progressão Aritmética de Segunda Ordem
  
  Como os colegas já comentaram, esta questão exige poucos elementos, então daria para chegar ao resultado como fizeram, mas se a questão pedisse, por exemplo, a posição (A₁₂₃)?
  
  Vejamos:
  
  _{A1=17
  A2}=17+(1)
  _A3=17+(1+2)
  _A4=17+(1+2+3)
  _A5=17+(1+2+3+4)
   
  Percebam que da forma como os descrevi eles formam uma nova PA com razão constante que vamos apelidar seus elementos de (a1, a2, a3...an), logo poderemos decifrar o último elemento "An", que será conhecido pela fórmula da soma desses elementos mais o primeiro elemento(17):
  
  An=17+(a1+an)n/2
  
  an=último elemento da PA criada apartir dos dados da questão;
  
  a1=1(valor do primeiro elemento)
  
  n=é o número de elementos que a questão gostaria de saber, então resolvendo a fórmula:
  
  A10=17+(1+9)9/2, 
  
  observem que utilizei o 9(nove) porque temos que descontar o primeiro elemento(17)
  
  A10=17+45=62
  
  Até!

• 
  

  De acordo com o enunciado verifica-se que a sequência é uma Progressão Aritmética de Segunda Ordem pois a diferença entre cada par de termos formam entre si uma progressão aritmética, a saber:

  
  

  ( 17,  18,  20,  23,  27,  ...)  sequência inicial

    +1  +2  +3  +4    PA de razão 1

    +1  +1  +1 

  
  

  Os termos da PA de 2ª ordem são:

  a1 = 17  a2 = 18  a3 = 20  ...

  
  

  Deve-se então encontrar a 10 .

  Reescrevendo os termos , tem-se:

  a1 = 17

  a2 = 17 + (1)

  a3 = 17 + (1 + 2)

  a4 = 17 + (1 + 2 + 3)

  ....

  an = 17 + ( 1 +2 + 3 + 4 + ... + n-1)  

  (Note que a sequência entre parênteses é uma soma de PA 1ª Ordem)

  
  

  Finalizando,

  a10 = 17 + (1+2 + 3 + 4 + ... + 9) = 17 + [ (1+9) x 9/2 ] = 17 + 45 = 62

  
  

  RESPOSTA: (B)

  
  

  
  

• {17, 18, 20, 23...} não é uma progressão, mas o números pelos quais é somado sim, é uma PA de razão 1.
  Ou seja 17 (1° termo) + 1 = 18, 18 (2° termo) + 2 = 20, 20 (3° termo) + 3 = 23 (4° termo)...
  Veja que o número somado a cada termo segue uma PA de razão 1, como eu disse anteriormente.

  Sendo a1 = 1 e a9 = 9, a soma desses termos Sn = (a1 + an)n/2 será 45. Somando esses 45 ao primeiro termo da sequência, 17, teremos o 10° termo da sequência: 62.

• 17,18,20,23,27,32,38,45,53,62

  DÉCIMO TERMO=62

• A soma está crescente 17(+1), =18(+2) = 20(+3)..... o décimo termo é 62.

Questão 620860

• Banca: CONSULPLAN
• Órgão: Correios
• Ano: 2008
• Provas: CONSULPLAN - 2008 - Correios - Agente de Correios - Atendente Comercial
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Virgínia escreveu os 5 primeiros termos de uma seqüência cujo termo geral é dado por a_n = 3 – 2n + 2n² , para n ? IN tal que n = 1. Podemos afirmar que a soma dos primeiros 5 números dessa seqüência é igual a:

• A. 90
• B. 95
• C. 85
• D. 75
• E. 65

Gabarito: B

Comentários

• 
  an =  3 – 2n + 2n²
   a₁ =   3 – 2.1 + 2.1² = 3 – 2 + 2 = 3
   a₂    =  3 – 2.2 + 2.2² = 3 – 4 + 8 = 7
   a₃    =  3 – 2.3 + 2.3² = 3 – 6 + 18 = 15
   a₄     =  3 – 2.4 + 2.4² = 3 – 8 + 32 =  27
   a₅     =  3  - 2.5  +2.5² = 3 – 10 + 50 = 43
   
   soma = 3 + 7 + 15 + 27 + 43 = 95
  
  
  
  
  alternativa: b
• O único jeito de chegar ao resultado é achando todos os 5 membros, um a cada um mesmo? E depois somando-se todos eles?
• Se an = 3 - 2n + 2n² pode ser apresentado como an = 3 + (n-1).2n, que se parece com o termo geral da PA an = a1 + (n-1).r, porque não consigo calcular a soma dos 5 primeiros termos utilizando a fórmula Sn = (a1 + an).n/2 ?

• an = 3 - 2n + 2n²

   

  a1 = 3 - 2.1 + 2.1² = 3 - 2 + 2 = 3
  a2 = 3 - 2.2 + 2.2² = 3 - 4 + 8 = 7
  a3 = 3 - 2.3 + 2.3² = 3 - 6 + 18 = 15
  a4 = 3 - 2.4 + 2.4² = 3 - 8 + 32 = 27
  a5 = 3 - 2.5 + 2.5² = 3 - 10 + 50 = 43
   

  3 + 7 + 15 + 27 + 43 = 95

Questão 635440

• Banca: CEPERJ
• Órgão: SEDUC-RJ
• Ano: 2011
• Provas: CEPERJ - 2011 - SEDUC-RJ - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Em uma progressão geométrica, o segundo termo é 27^–2 , o terceiro termo é 9⁴ , e o quarto termo é 3ⁿ . O valor de n é:

• A. 22
• B. 20
• C. 18
• D. 16
• E. 24

Gabarito: A

Comentários

• Primeiro vamos deixar tudo na base 3
  
  a2 = 27 -2
  a2 = 33.(-2)
  a2 = 3- 6
  _______________
  
  a3 = 94
  a3 = 32.4
  a3 = 38
  _______________
  
  Agora vamos definir a razão da PG, para isso basta dividir terceiro termo pelo segundo termo:
  
  q = a3 =  38  = 38 - (-6) = 314 Eis a razão
         a2    3 -6
  
  O quarto termo pode ser definido como;
  
  a4 = a3.q
  
  A questão nos diz que o quarto termo tem valor igual a 3n , ou seja;
  
  a3.q = 3n
  38.314 = 3n
  38+14 = 3n
  3n = 322
  n = 22
  
• a2= 33(-2) = 3-6
  a3=3(2)4 = 38 - o 94 foi fatorado .
  a4 = 3n
  
  a4/a3 = a3/a2 substituindo os valores acima.
  
  3n/38 = 38/3-6
  
  regra de três
  
  3n x 3-6 = 38 x 38 (base iguais somam-se os expoente)
  
  
  
  
  n-6 = 8+8 =>  n= 16+6 => n=22  - letra A
• Fiz de outra forma. 
  Para saber a razão, basta dividir o 3º termo pelo 2º.9^4 / 27^-2 = 3^8 / 3^-6 ------- Agora é só fazer a propriedade das potências de mesma base = 3^14. Para achar o 4º termo é só multiplicar o 3º termo por 3^14. Ou seja, 3^8 x 3^14 = 3^22Portanto o n é 22.
  

• Reforçar os estudos sobre as propriedades da potenciação. Seguindo.... sem parar.

• 27-² = 3³ -² = 3^¬6

  9^4 = 3^2x4 = 3^8

  3^n

  -6 , 8 , n . de -6 para 8 = 14 de 8 para n tbm 14, logo n = 22

• a3/a2 = a2/a1

  3^n / 9^4 = 9^4 / 27^ -2

  mudandça de bases

  3^n / 3^8 = 3^8 / 3^ -6

  na divião com bases iguais, conserva a base e subtrai expoentes.

  3^(n-8) = 3^8+6

  n-8 = 14  → n=22

• Como é uma PG, para encontrarmos a razão "q" podemos fazer: a3/a2 , ok? 
  
  Sendo assim: a3 = 9^4, isso é a mesma coisa que escrevermos: a3 = 3^8 
  e o a2 = 27^-2, isso é a mesma coisa que escrevermos a2 = 3^-6 
  
  a3/a2 = 3^8/3^-6 
  
  Propriedade de potenciação: Divisão de bases iguais: subtrai os expoentes. 
  8 - (-6) = 14 
  
  Logo a razão "q" vale: 3^14. 
  
  Só que ele quer o a4, correto? 
  
  a3.q = a4, certo? 
  
  3^8.3^14 = a4 
  
  Propriedade da potenciação: Multiplicação de bases iguais: mantém a base e soma os expoentes. 
  3^22 
  
  logo, n = 22, ou seja, alternativa A.
   

• O terror desta questão é apenas a coversão dos termos para a base 3

   

Questão 637390

• Banca: CONSULPLAN
• Órgão: Prefeitura de Campo Verde - MT
• Ano: 2010
• Provas: CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Atendente de Farmácia; CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Fiscal Municipal; CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Técnico de Informática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Qual é a soma dos termos da sequência (x - 2, 3x - 10, 10 + x, 5x + 2), para que a mesma seja uma progressão geométrica crescente?

• A. 52
• B. 60
• C. 40
• D. 48
• E. 64

Gabarito: B

Comentários

• Há uma relação entre os termos, bastante útil na resolução de problemas de PG
  
  a₂   =    a₃
  a₁         a₂
  
  Onde;
  
  a₁ =  x - 2
  a₂ = 3x - 10
  a₃ = 10 +x
  
  Então temos;
  
  3x - 10 =   10 + x
     x - 2        3x -10
  
  (3x - 10)(3x - 10) = (x - 2)(10 + x)
  9x² - 60x + 100 = 10x +x² - 20 -2x
  8x² - 68x + 120 = 0
  2x² - 17x + 30 = 0    forma simplificada
  
  Δ = b² - 4ac
  Δ = (- 17)² - 4.2.30
  Δ = 289 - 240
  Δ = 49
  √Δ = 7
  
  x´=  - (- 17) + 7 = 17 + 7 = 24 = 6
              2(2)               4          4
  
  x´´ = - ( -17) - 7 = 17 - 7 = 10  = 5   não convém
                2(2)             4          4      2
  
  
  a₁ =  x - 2  = 6 - 2 = 4
  a₂ = 3x - 10  =  3(6) - 10 = 8
  a₃ = 10 + x  = 10 + 6 = 16
  a₄ =  5x + 2 = 5(6) + 2 = 32
  
  Soma = 4 + 8 + 16 + 32 = 60
•  Há uma relação entre os termos, bastante útil na resolução de problemas de PG
  
  a₂   =    a₃
  a₁         a₂
  
  Onde;
  
  a₁ =  x - 2
  a₂ = 3x - 10
  a₃ = 10 +x
  
  Então temos;
  
  3x - 10 =   10 + x
     x - 2        3x -10
  
  (3x - 10)(3x - 10) = (x - 2)(10 + x)
  9x² - 60x + 100 = 10x +x² - 20 -2x
  8x² - 68x + 120 = 0
  2x² - 17x + 30 = 0    forma simplificada
  
  Δ = b² - 4ac
  Δ = (- 17)² - 4.2.30
  Δ = 289 - 240
  Δ = 49
  √Δ = 7
  
  x´=  - (- 17) + 7 = 17 + 7 = 24 = 6
              2(2)               4          4
  
  x´´ = - ( -17) - 7 = 17 - 7 = 10  = 5   não convém
                2(2)             4          4      2
  
  
  a₁ =  x - 2  = 6 - 2 = 4
  a₂ = 3x - 10  =  3(6) - 10 = 8
  a₃ = 10 + x  = 10 + 6 = 16
  a₄ =  5x + 2 = 5(6) + 2 = 32
  
  Soma = 4 + 8 + 16 + 32 = 60
•  Além dessa relação que o colega mencionou, podemos aplicar a propriedade dos termos equidistantes dos extremos de uma PG finita, onde se diz: o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos, transferindo para linguagem matemática fica:
  
  Pg (a1, a2, a3, a4) => a1 x a4 = a2 x a3 . Exemplo: Pg (1, 2 , 4, 8) 1 x 8 = 2 x 4
  
  então aplicando na questao fica: (x - 2 ) . ( 5x + 2) = (3x - 10) . (10 + x)
  
  Resolvendo a equação encontraremos x = 6.
• Muito obrigado pela boa vontade em explicar! Ajudou muito.
• Encontrei duas raízes válidas para o x.... 6 e 8. Onde eu errei?
• Lucas, voce nao errou.
  
  Por se tratar de uma equacao de segundo grau, voce sempre achará duas raízes. Porém, nesse caso, só um daria uma P.G.
  
  Se tu observar, só o 6 torna aquelas equaçoes uma P.G. O 8 não.
  
  Voce está correto.
  
  Fique tranquilo.
  
  Boa sorte! 

• Não dá tempo de resolver uma questão dessa dependendo da prova. Tempo médio: 3 minutos por questão... tem que ser ninja ou deixar estrategicamente para o final com chute ou resolvendo se der....

  Equação do segundo grau... chute.

Questão 641482

• Banca: UNEMAT
• Órgão: SEFAZ- MT
• Ano: 2008
• Provas: UNEMAT - 2008 - SEFAZ- MT - Agente de Tributos - Estaduais
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões; Raciocínio Lógico

Em um teste, um candidato deve responder 15 perguntas. A primeira pergunta vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos, a terceira vale 4 pontos, a quarta vale 8 pontos e assim sucessivamente, dobrando sempre. O candidato responde a todas as perguntas e ganha os pontos correspondentes às perguntas que acertou, mesmo que erre algumas. Se o candidato obteve 2.729 pontos, quantas perguntas ele acertou?

• A. 8
• B. 10
• C. 12
• D. 6
• E. 5

Gabarito: D

Comentários

•  d)  6
  
  O valor das questoes sao na base 2 e estao em progressao geometrica. Destarte, basta converter 2729 para binario, o que gera:
  
  101010101001

  1 = questoes corretas.
  

• 12     2729 - 2048 = 681 

   10    681 - 512 = 169 

   8     169 - 128 = 41

   6     41 - 32 = 9

   4      9 - 8 = 1 

   1      1 - 1 = 0

  Acertou as questões 12, 10, 8, 6, 4 e 1, totalizando 2729 pontos.

  1 1

   2 2 

   3 4 

   4 8 

   5 16

   6 32 

   7 64 

   8 128 

   9 256 

   10 512 

   11 1024 

   12 2048 

   13 4096 

   14 8192 

   15 16384
  

• Basta somar o resultado do nr binário de 2729, pois estão na base 2 em uma progressao geometrica de razão2.

  2729/2=1364      resto   1

  1364/2=682        resto   0

  682/2=341          resto   1

  341/2=170           resto   1

  170/2=85             resto   0

  85/2=42               resto   1

  42/2=21               resto   0

  21/2=10               resto   1

  10/2=5                 resto   0

  5/2=4                   resto   1

  4/2=2                   resto   0

  2/2=1                   resto   0

  seis resultados possíveis

Questão 655111

• Banca: VUNESP
• Órgão: UNIFESP
• Ano: 2007
• Provas: VUNESP - 2007 - UNIFESP - Vestibular - Conhecimentos Gerais
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

O 2007º dígito na seqüência 123454321234543... é

• A. 1.
• B. 2.
• C. 3.
• D. 4.
• E. 5.

Gabarito: C

Comentários

• Técnica TWI:
  grupos de oito:1,2,3,4,5,4,3,2
  2007/8 = 250+7
  então termina no sétimo elemento = '3'
• 123454321234543.....
  Estes números estão dispostos em uma sequência : 12345432 que se repete 12345432.........
  para determinar o número que vai estar na posição 2007º, basta dividir 2007 por 8. 2007/8 = 250 e resto 7. O número que ocupar a posição do nosso resto (7) dentre os 8 números da sequência será a resposta. 12345432.
  LOGO A RESPOSTA É LETRA C.
• 1º- vc tem que observar a repetição pra saber exatamente qual é a sequência que se repete. No caso, a sequência é "12345432", a partir do próximo "1" já é a segunda sequencia "12345432", e assim por diante infinitas vezes.
  
  2º- observe quantos dígitos tem a sequência, no caso 8. O oitavo dígito é o "2", as contas terão ele como referência. Se você quer o 2007º dígito, faça a conta: 2007 dividido por 8 = 250,875. A parte inteira indica que até o 2007º dígito, você tem 250 vezes a sequência de 8 dígitos, e mais uma fração (menos de 8 dígitos). Ou seja, você tem 250 x 8 = 2000 dígitos, mais 7 (já que você quer o 2007º dígito).
  
  3º- Bom, chegamos ao 2000º dígito, e sabemos que é o "2", pois estamos no último dígito da sequencia "12345432". Contando mais 7 na sequência, chega-se ao nº "3" como 2007º dígito.
  
  Bom, acho que é isso...
• Walter se tiver disponibilidade me explique de onde saiu esta "Técnica TWI" que percorre inúmeros comentários, mas que não segue padrão algum, gostaria de compartilhar tamanho conhecimento.
  Obrigado desde já
• A QUESTÃO É RESOLVIDA DA SEGUINTE FORMA :
  
  1-  FORMA O GRUPO DE 8 NUMEROS - 1 2 3 4 5 4 3 2   1 2 3 4 5 4 3 2 1 .......
  
  2- DIVIDE 2000 / 8 = 250 GRUPOS DE 8 NUMEROS QUE SÃO : 1 2 3 4 5 4 3 2 
  
  3- SOMA  7  NUMEROS  QUE FALTA PARA CHEGAR  A SEQUENCIA  - 2007  -  1 2 3 4 5 4 3 
  
  RESPOSTA  ITEM C ( 3 )

• Você tem de observar a sequência

  1;2;3;4;5;4;3;2;1... » perceba que o ponto fulcral é o 2, pois é nele que se acaba a sequencia de 8 números

  Núm 2007º / 8 = 205 vezes + 7 números

  Logo, a sequência será 1;2;3;4;5;4;3;2+1;2;3;4;5;4;3

  LETRA C

  APMBB

Questão 685933

• Banca: COPESE - UFT
• Órgão: UFT
• Ano: 2010
• Provas: COPESE - UFT - 2010 - UFT - Vestibular - Prova 01
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Ângulos - Lei Angular de Thales; Geometria Plana; Polígonos; Progressão Aritmética - PA; Progressões

Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede:

• A. 90º
• B. 105º
• C. 115º
• D. 118º
• E. 120º

Gabarito: B

Comentários

• Progressão aritmética consiste em: Uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com constante R.

  Ou seja, anterior + R = próximo valor

  No exercício:

  1° - Encontrar a soma dos ângulos -> Si=180.(n-2)

  Si = 180.(6-2) = 720°

  Fazendo a distributiva com a razão 6 e 6 lados:

  Ângulo = A

  A + (A+6) + (A+12) + (A+18) + (A+24) + (A+30) = 720°

  Perceba que A já é o menor ângulo.

  6A+90 = 720°

  6A = 720° - 90

  6A = 630

  A=630/6

  A= 105°

Questão 691156

• Banca: UDESC
• Órgão: UDESC
• Ano: 2010
• Provas: UDESC - 2010 - UDESC - Vestibular - Espanhol; UDESC - 2010 - UDESC - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Funções; Logaritmos; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Seja S a soma dos seis primeiros termos de uma progressão geométrica de razão igual a 1/2 . Se log S  = 2 log 2 + log7, então o primeiro termo desta progressão é igual a:

• A. 2/9
• B. 352/63
• C. 63/32
• D. 32/63
• E. 128/9

Gabarito: E

Questão 691189

• Banca: UDESC
• Órgão: UDESC
• Ano: 2010
• Provas: UDESC - 2010 - UDESC - Vestibular - Espanhol; UDESC - 2010 - UDESC - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Considere um polígono convexo de seis lados. Sabendo que as medidas dos ângulos internos deste polígono formam uma progressão aritmética, e que a proporção entre o menor ângulo e a razão desta progressão é igual a 15/2 , é correto afirmar que:

• A. ( ) o menor ângulo mede aproximadamente 34°.
• B. ( ) o menor ângulo mede 90°.
• C. ( ) o menor ângulo mede aproximadamente 6°.
• D. ( ) este polígono é regular.
• E. ( ) não é possível construir um polígono convexo de 6 lados com estas características.

Gabarito: B

Questão 691426

• Banca: UDESC
• Órgão: UDESC
• Ano: 2011
• Provas: UDESC - 2011 - UDESC - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões; Trigonometria

Considere x ∈ ( 0,π/2) o valor que faz com que os termos sen(x) , 2cos( 2x) e 3sen (x ) formem, nessa ordem, uma progressão aritmética.
A soma dos três termos dessa progressão é igual a:

• A.  3
• B. 1/2
• C. π/3
• D.  π/6
• E.  -3 +3√3

Gabarito: A

Questão 713872

• Banca: UECE-CEV
• Órgão: UECE
• Ano: 2011
• Provas: UECE-CEV - 2011 - UECE - Vestibular - Prova 001
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Funções; Logaritmos; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Se os números reais positivos m, n, e p formam, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a soma log m + log n + log p é igual a

• A. 2 log n.
• B. 3 log n.
• C. 4 log n.
• D. 5 log n.

Gabarito: B

Questão 715804

• Banca: UECE-CEV
• Órgão: UECE
• Ano: 2011
• Provas: UECE-CEV - 2011 - UECE - Vestibular - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

O maior valor da razão de uma progressão aritmética para que os números 7, 23 e 43 sejam três de seus termos é

• A. 4.
• B. 16.
• C. 2.
• D. 8.

Gabarito: A

Questão 715849

• Banca: UECE-CEV
• Órgão: UECE
• Ano: 2011
• Provas: UECE-CEV - 2011 - UECE - Vestibular - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Plana; Progressão Geométrica - PG; Progressões; Relações Métricas no Triângulo Retângulo

As medidas dos lados de um triângulo retângulo expressas em metros formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a medida do cateto de menor comprimento. A razão desta progressão é um número que está no intervalo

• A.
  
• B.
  
• C.
  
• D.
  

Gabarito: A

Questão 720253

• Banca: UDESC
• Órgão: UDESC
• Ano: 2007
• Provas: UDESC - 2007 - UDESC - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é:

• A. 2
• B. 10
• C. 5
• D. 4
• E. 6

Gabarito: A

Comentários

• an = a1*q^(n-1)

  80 = 10*q^(4-1)

  80|10 = q^3

  q^3 =8

  q^3 =2^3

  q =2

  a razao de P.G. é 2

Questão 733519

• Banca: Exército
• Órgão: EsPCEx
• Ano: 2011
• Provas: Exército - 2011 - EsPCEx - Cadete do Exército - 1° Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Funções; Logaritmos; Progressão Aritmética - PA; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Se x é um número real positivo, então a sequência (log₃x, log₃3x , log₃9x) é

• A. Uma Progressão Aritmética de razão 1
• B. Uma Progressão Aritmética de razão 3
• C. Uma Progressão Geométrica de razão 3
• D. Uma Progressão Aritmética de razão log₃x 
• E. Uma Progressão Geométrica de razão log₃x

Gabarito: A

Comentários

• 1 = Log 3 na base 3

  Log X na base 3 + Log 3 na base 3 = Log 3X na base 3

  Log 3X na base 3 +Log 3 na base 3  = Log 9x na base 3

  Logo, uma P.A com razão 1.

• (log x, log 3x, log 9x) = (log x, log 3 + log x, log 3² + log x) = (log x, 1+logx, 2+logx) PA de razão 1.

  LEMBRANDO QUE OS LOGS ESTÃO TODOS NA BASE 3.

   

Questão 734335

• Banca: Marinha
• Órgão: ESCOLA NAVAL
• Ano: 2011
• Provas: Marinha - 2011 - ESCOLA NAVAL - Aspirante - 1º Dia
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Três números inteiros estão em P.G. A soma destes números vale 13 e a soma dos seus quadrados vale 91. Chamando de n o termo do meio desta P.G, quantas comissões de n elementos, a Escola Naval pode formar com 28 professores do Centro Técnico Científico?

• A. 2276
• B. 3176
• C. 3276
• D. 19656
• E. 19556

Gabarito: C

Comentários

• PG: (a , aq , aq²)

  a + aq + aq² = 13

  a (1 +q +q²) = 13

  Fórmula soma PG --> 13 = a (q³ - 1) / q - 1

  a² + a²q² + a²q^4 = 91

  a² (1 + q² + q^4) = 91

  Fórmula soma PG ----> 91 = a² (q^6 -1) / q² -1

  Dividir a segunda equação pela primeira ao quadrado ----> 91 / 169 = a² (q^6 -1) / (q² -1) . (q - 1)² / a² (q³ - 1)²

  7/13 =(q³ - 1)(q³ + 1)/(q - 1)(q + 1) . (q - 1)(q - 1)/(q³ - 1)(q³ - 1)

  7/13 = (q³ +1) (q-1) / (q+1) (q³ - 1)

  Usar regra de soma e diferença de cubos!

  q= 3 ou q = 1/3

  substituir em uma das equações e achar o a referente a cada uma das razões

  sequências: (1,3,9) ou (9, 3, 1)

  De qualquer forma --> n é o número do meio = 3 nos dois casos

  C de 28 escolhe 3 = 28!/ 25! 3! = 3276

• Primeiro devemos encontrar o termo n.

  Três números inteiros em PG: (m, n, p)

  A soma destes números vale 13:

  m + n + p = 13 (1)

  A soma dos seus quadrados vale 91:

  m² + n² + p² = 91 (2)

  Sabemos que em uma PG (m, n, p) o termo médio é:

  n²=m.p (3)

  Substituindo (3) em (2), temos:

  m² + m.p + p² = 91 (4)

  Podemos completar quadrados em (4):

  (m+p)² - 2m.p + m.p = 91 ---> (m+p)² - m.p = 91 (5)

  Da equação (1) temos que m+p = 13 - n e m.p=n² da equação (3). Logo:

  (13 - n)² - n² = 91

  Desenvolvendo o binômio,

  13² - 2.13.n + n² -n² = 91 --->169 -26.n = 91

  Com isso, temos que:

  ---> 26.n = 169 - 91=78

  ---> n = 78/26

  Finalmente,

  ---> n = 3

  Agora resolvemos o problema da combinação, queremos encontrar quantas comissões podemos formar com 28 professores agrupados de n = 3,

  C28,3 = 28!/3!25!

  Total de 3276

Questão 735202

• Banca: ISAE
• Órgão: PM-AM
• Ano: 2011
• Provas: ISAE - 2011 - PM-AM - Soldado da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

O número de miniaturas de carros da coleção de Rogério aumenta, a cada mês, de acordo com uma progressão aritmética. No sexto mês, a coleção tinha 40 miniaturas, no oitavo tinha 52. No vigésimo mês, a coleção terá a seguinte quantidade de miniaturas:

• A. 86;
• B. 112;
• C. 124;
• D. 420.

Gabarito: C

Comentários

• An= A1+(n-1).r

  An= 40+(8-1).12

  An=40+7.12

  An=40+84

  An= 124

• An= A1+R

  A20=40+6.14

  A20=40+84

  A20=124

• Não entendi, alguém pode me ajudar?

• A conta e o seguinte:

  Cada mês aumenta: 6 miniaturaS

  12.6=72 (52)

  52+72=124

• Para achar a razão já que não temos números consecutivos:

  A6 = 40

  A8 = 52

  52-40 = 12

  12/2 = 6, ou seja, r = 6

  Precisamos achar o A1 para jogar na fórmula e achar o A20.

  A6 = A1+5.r

  40=A1+5.6

  A1 = 40-30

  A1 = 10

  A20= A1+19.r

  A20= 10+19.6

  A20= 10+114

  A20 = 124

  Alternativa: C

  Espero ter ajudado.

Questão 760525

• Banca: CEPERJ
• Órgão: DEGASE
• Ano: 2012
• Provas: CEPERJ - 2012 - DEGASE - Agente Administrativo; CEPERJ - 2012 - DEGASE - Técnico de Contabilidade; CEPERJ - 2012 - DEGASE - Técnico de Enfermagem; CEPERJ - 2012 - DEGASE - Técnico de Suporte e Comunicação - TI
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Na progressão aritmética 3, 6, 9, 12, 15, ..., o próximo elemento vale:

• A. 9
• B. 12
• C. 15
• D. 18
• E. 27

Gabarito: D

Comentários

• Fala serio! muito facil.... razao 3, soma penultimo 15+3 = 18
• Letra D
  
  PA(3) 15 + 3 = 18
  
  Bons Estudos.
• Na questão temos a PA com 5 termos: (3,6,9,12,15,..), onde a razão é r=3. Onde, 
  
  O que se pede é o próximo termo, consequentemente o 6º termo, a₆. 
  
  Pela fórmula geral, temos:
  
  a₆ = a₁ + (n-1).r;
  a₆ = 3 + (6-1).3  = 3 + 15 = 18 
  
  Alternativa d
• Resposta: D
  
  Todas as perguntas poderiam ser assim, né? Mas, aí todos passariam...
  
  Razão(r) = 3
  
  Cabe apenas somarmos o último número + r(3) = 18
• LETRA D
  
  Respondi de cabeça.
• Ederson! Como você conseque ser tão esperto assim cara? Todos querem saber.
  
  Até a soma que temos que fazer para deixar um comentário é mais difícil que essa questão.
  kk.
• Muito fácil.
  
  PA  - 6-3 = 3 , então  3 será a razão para a  diferença do numero que após 15 que é 18.
  Resposta item ( d )

• Jogar na fórmula é uma boa para quem quer a garantia de não errar. Mas como estamos falando de concurso, no qual o tempo é extremamente valioso, faz de cabeça mesmo que tá tudo certo, mas não deixem de lado a fórmula! 

• Essa questão nao existe!!! Duvido fazer uma prova que venha uma questão banal dessa!

• muito facil so olhar o proximo numero possivel

  
  

• Esta foi um presente da banca para ninguém zerar, sabidamente simples!
  força guerreiros!

• Aprendi matemática!! Sqn!! rsrs

• Is this real world? Como o vídeo do menino que acabou de voltar do dentista...

• essa ai, é melhor usar na formula pra não errar rsrsr

• Is this the real life, ou this just "fanta sea" ?

• passei um dia todo pra resolver, kkkk SQN!!!

• Essa questão dá até medo de fazer! kkkkkkkkkk

• Questão muito difícil, sinceramente. Passei várias horas tentando responder, mas não consegui.

• Toda prova tem isso. Uma questão besta e outras nove matando...só que essa foi exagero! 

• Humildade ta tendo demais aqui 

• É preciso muita humildade pra vencer na vida, as  vezes uma simples questão, como mencionou o colega, é a pedra do sapato de muita gente, e muitos com humildade e fé, vão vencendo pela persistência.

Questão 772876

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Transpetro
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Técnico de Administração e Controle Júnior; CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior - Administração
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressões

Parlamentares alemães visitam a Transpetro para conhecer logística de biocombustível.

“o presidente Sergio Machado mostrou o quanto o Sistema Petrobras está crescendo. Com a descoberta do pré-sal, o Brasil se transformará, em 2020, no quarto maior produtor de petróleo do mundo. ‘Em 2003, a Petrobras produzia cerca de 1,5 milhão de barris. Atualmente (2011), são 2,5 milhões. A perspectiva é de que esse número aumente ainda mais’.”

Disponível em: <http://twixar.me/xpk3>. Acesso em: 07 abr. 2012. Acesso em: 07 de abr.2012. Adaptado. 

Suponha que o aumento na produção anual de barris tenha sido linear, formando uma progressão aritmética. 

Se o mesmo padrão for mantido por mais alguns anos, qual será, em milhões de barris, a produção da Petrobras em 2013?

• A. 2,625
• B. 2,750
• C. 2,950
• D. 3,000
• E. 3,125

Gabarito: B

Comentários

• Pelo enunciado, vemos que a produção aumentou, no período de 8 anos (2003 - 2011),  em 1 milhão de barris.
  Se quisermos saber quanto ela aumentará em 2 anos (2011 - 2013), fazemos a simples regra de três:
  8 --------------- 1.000.000
  2 --------------- x
  x = 250.000
  Assim a previsão de produção para 2013 seria = a produção de 2011 (2,5 milhões) + 250.000 = no total de 2.750.000 de barris
• Outra forma de resolver o problema utilizando a fórmula da Progressão Aritmética [an = a1 + (n - 1) . r]:
  1. Encontrar a razão (qual é o crescimento por ano)
  a2011 = a2003 + (n -1) . r
  2,5 = 1,5 + (9 - 1) . r
  r = 0,125 (de 2003 a 2011 aumentou 0,125 por ano)
  
  2. Encontrar o valor do crescimento no ano de 2013
  a2013 = a2011 + (n - 1) . r
  a2013 = 2,5 + (3 - 1) . 0,125
  a2013 = 2,75
  
  Gabarito: b) 
  
  
• (A) 2,625
  (B) 2,750 – RESPOSTA CORRETA
  (C) 2,950
  (D) 3,000
  (E) 3,125
  Comentário: Se o crescimento foi linear, temos um crescimento anual de (2,5-1,5) x 10⁶/(2011-2003) = (1/8) milhões de barris. Logo, em 2013 teremos 2,5 x 10⁶ + 2 x (1/8) x 10⁶ = 2750 milhões de barris.

• Professor, não entendi seu comentário. Monsenhor poderia ser mais claro ?

• tem questao que é simples não vale a pena ficar focado na formula

  2003=1,5

  2011=2,5

  2,5-1,5=1mil/8 = 125000 ano
  

  125x2=250

  250+2,5mil=2,75
  

• Não precisamos botar todos os "0", então vamos la.

  1,5=2,5+8r

  r=0,125

  a13=a11+2r

  a13=2,25 

  Total de 2.750.000 de barris

  Letra:B

• Concordo com o marcio almeida. Na hora da prova não dá tempo de fazer fórmulas complicadas!

• 2003 A 2011 = 8 ANOS
  2003 A 2011 = 2,5M-1,5M = 1 MILHÃO

  EM 8 ANOS AUMENTA 1 MILHÃO
  ENTÃO EM 4 ANOS AUMENTA 500.000
  ENTÃO EM 2 ANOS AUMENTA 250.000

  2011 A 2013 = 2 ANOS = 250.000
  [2013]=[2011]+[2ANOS]
  [2013]=2.500.000+250.000
  [2013]=2.750.000

• 2011 - 2003 = 8

   

  2,5 - 1,5 = 1

   

  1 dividido por 8 = 0,125 (razão da PA)

   

  2012: 2,5 + 0,125 = 2,625

   

  2013: 2,625 + 0,125 = 2,75

Questão 786187

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Transpetro
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Técnico de Contabilidade Júnior; CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Técnico de enfermagem do trabalho
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Parlamentares alemães visitam a Transpetro para conhecer logística de biocombustível.

“o presidente Sergio Machado mostrou o quanto o Sistema Petrobras está crescendo. Com a descoberta do pré-sal, o Brasil se transformará, em 2020, no quarto maior produtor de petróleo do mundo. ‘Em 2003, a Petrobras produzia cerca de 1,5 milhão de barris. Atualmente (2011), são 2,5 milhões. A perspectiva é de que esse número aumente ainda mais’.” 

Disponível em: <http://www.transpetro.com.br/TranspetroSite/appman... windowLabel=barraMenu_3&_nffvid=%2FTranspetroS ite%2Fportlets%2FbarraMenu%2FbarraMenu.faces&_ pageLabel=pagina_base&formConteudo:codigo=1749>. Acesso em: 07 abr. 2012. Adaptado.

Suponha que o aumento na produção anual de barris tenha sido linear, formando uma progressão aritmética.

Se o mesmo padrão for mantido por mais alguns anos, qual será, em milhões de barris, a produção da Petrobras em 2013?

• A. 2,625
• B. 2,750
• C. 2,950
• D. 3,000
• E. 3,125

Gabarito: B

Comentários

• Resposta Correta: Letra B
  
  Justificativa
  
  Termo geral da PA:  a_n = a₁ + (n – 1) . r 
  a_n: termo de ordem;
  n:(n-ésimo termo);
  ré a razão;
  a₁é o primeiro termo da Progressão Aritmética (PA).
   
  Para sabermos o valor da razão (r) basta diminuir um termo da PA pelo seu anterior. Neste caso, a razão se refere à produção anual da Petrobrás – é o que inicialmente teremos que descobrir, sendo assim:
  
  Produção em 2003: 1,5 milhões (a1)
  Produção em 2011: 2,5 milhões (an)
  Número de termos da PA:  2003 (primeiro termo) a 2011 (ultimo termo) = 9 anos (n)
  r = ?
  
  a_n = a₁ + (n – 1) . r 
  2,5 = 1,5 + 8r
  8r = 1
  r = 0,125 (produção anual da Petrobrás)
  
  Foi informado na questão que deveremos supor que a produção de barris tenha sido linear, formando uma PA. Logo, neste caso, a produção entre um ano e outro vai aumentar com base na razão (0,125). Se em 2011 a produção era de 2,5milhões, em 2013 a produção será de:
  
  
  2,5 + (0,125 * 2) = 2,750 milhões
  
• 2003 = a1 = 1,5 milhão
  2011 = an = 2,5 milhão
  De 2003 a 2011 temos 9 Termos, ou seja,  n = 9
  r = ?
  Logo:  an = a1 + (n-1) *r
  2,5 = 1,5 + (9 -10) *r
  8r = 1
  r = 1/8 = 0,125
  
  Para o ano de 2013 temos: n = 9 + 2( 2012 e 2013) = 11
  
  a11= a1 + 10* r
  a11= 1,5 + 10* 0,125
  a11= 2,750 ( Que corresponde à produção em 2013)

• 2011 - 2003 = 8
  
  2,5 - 1,5 = 1
  
  1 dividido por 8 = 0,125 (razão da PA)
  
  2012: 2,5 + 0,125 = 2,625
  
  2013: 2,625 + 0,125 = 2,75

• Em 2003 produz: 1,500 milhão

  Em 2011 produz: 2,500 milhões

  Em 2013 produz: ?

  a1 = 1,500

  a9 = 2,500

  a11 = ?

  Achando a razão para usar no Termo Geral:

  a9 = a1 + (n-1) * r

  2,500 = 1,500 + (9-1) * r

  2,500 = 1,500 + 8 * r

  2,500 - 1,500 = 8 * r

  1,000 = 8 * r

  1,000/ 8 = r

  r = 125 (mil)

  Agora achando valor de a11:

  a11 = a1 + (n-1) * r

  a11 = 1,500 + 10 * 125

  a11 = 1,500 + 1,250

  a11 = 2,750 (milhões)

  GABARITO(B)

Questão 787516

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Todos os Cargos - Grupo C - Nível Médio I; CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Todos os Cargos - Grupo D - Nível Médio II
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Em uma progressão geométrica de seis termos e razão 2, a diferença entre os dois últimos termos é 48.

Qual é o primeiro termo dessa progressão?

• A. 3
• B. 6
• C. 12
• D. 14
• E. 28

Gabarito: A

Comentários

• a6 - a5 = 48 -> a1*2ˆ5 -a1*2ˆ4 = 48 -> 32a1-16a1 =48 -> 16a1=48; a1=3

• Estou com sono então resolvi testar as respostas - Sorte que deu na 1°!!
  Testando a alternativa "a"
  
  

  an=a1xq^n-1

  
  

  a6=3x2^5 = 96

  
  

  então: a5=48

  
  

  a6-a5 = 48 OK

• a6 - a5 = 48

  a6 = a5.q

  a5.q - a5 = 48

  a5.2 - a5 = 48

  a5= 48. Logo, a6= a5.q= 48. 2 = 96

  a6 = a1. q^5

  96 = a1. 2^ 5

  96= a1. 32

  a1= 96/32= 3

  Gabarito letra a

• PG com razão 2, o termo seguinte sempre será o dobro do anterior, logo:

  A6 - A5 = 48

  A6 será o dobro dessa diferença = 96 - 48 = 48

  a5 = a1 * q^5-1

  48 = a1 * 16

  a1 = 48/16 = 3

• a6=a1.q^5

  a5=a1.q^4

  q=2

  ______

  a6-a5=48

  a6=48+a5

  ________

  a1.q^5=48+a1.q^4

  a1.2^5=48+a1.2^4

  32a1=48+16a1

  32a1-16a1=48

  16a1=48

  a1=48/16

  a1=3

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão dos números, à equação e à Progressão Geométrica (PG).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) Em uma progressão geométrica de seis termos e razão 2, a diferença entre os dois últimos termos é 48.

  2) A partir da informação acima, pode-se concluir que se tem uma Progressão Geométrica (PG) de razão (q) igual a 2.

  Nesse sentido, frisa-se que a questão deseja saber qual é o primeiro termo dessa progressão.

  Resolvendo a questão

  * Para fins didáticos, irei chamar de "x" o primeiro termo da Progressão Geométrica em tela.

  Sabendo que a razão (q) da Progressão Geométrica em tela é igual a 2 e que o termo inicial desta corresponde a "x", sendo que essa Progressão Geométrica possui, ao todo, seis termos, então é possível montar a seguinte Progressão Geométrica:

  1º Termo -------- x

  2º Termo -------- 2x

  3º Termo -------- 4x

  4º Termo -------- 8x

  5º Termo -------- 16x

  6º Termo -------- 32x

  Cabe destacar que, na Progressão Geométrica, os termos desta devem ser multiplicados pela razão (q).

  Sabendo que a diferença entre os dois últimos termos da referida Progressão Geométrica é 48, então é possível montar a seguinte equação:

  1) 32x - 16x = 48.

  Resolvendo a equação acima, tem-se o seguinte:

  16x = 48

  x = 48/16

  x = 3.

  Logo, fazendo-se as devidas substituições, tem-se a seguinte Progressão Geométrica:

  1º Termo -------- 3

  2º Termo -------- 6

  3º Termo -------- 12

  4º Termo -------- 24

  5º Termo -------- 48

  6º Termo -------- 96

  Gabarito: letra "a".

Questão 787552

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Todos os Cargos - Grupo C - Nível Médio I; CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Todos os Cargos - Grupo D - Nível Médio II
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Aritmética e Problemas; Progressão Aritmética - PA; Progressões

Leonardo foi correr na pista de um parque público. Ele levou 4 minutos para dar a primeira volta, mas, como foi ficando cansado, o tempo para completar cada uma das voltas subsequentes aumentou 20 segundos em relação ao tempo da volta anterior.

Se Leonardo deu 10 voltas nessa pista, durante quantos minutos ele correu?

• A. 7
• B. 14
• C. 35
• D. 42
• E. 55

Gabarito: E

Comentários

• Para quem não lembra, da formula da soma da pa, 

  
  

  1->4min->240s

  2->260

  3->280

  4->300

  5->320

  6->340

  7->360

  8->380

  9->400

  10->420;  Somando todos os valores teremos 3300/60 -> 55minutos

• volta 1 = 4 minutos
  volta 2 = 4 minutos + 20 segs 
  volta 3 = 4 minutos + 40 segs 
  volta 4 = 4 minutos + 1 minuto = 5m
  volta 5 = 5 minutos + 20 segs 
  volta 6 = 5 minutos + 40 segs 
  volta 7 = 5 minutos + 1 minuto = 6m
  volta 8 = 6 minutos + 20 segs 
  volta 9 = 6 minutos + 40 segs 
  volta 10 = 7 minutos

  
  SOMAR O TEMPO DE TODAS AS VOLTAS
  para ficar mais fácil some de 3 em 3:

  
  volta 1 + volta 2 + volta 3 = 4 + (4m20) + (4m40) = 13m
  volta 4 + volta 5 + volta 6 = 5 + (5m20) + (5m40) = 16m
  volta 7 + volta 8 + volta 9 = 6 + (6m20) + (6m40) = 19m

  
  13 + 16 + 19 + 7 = 55 minutos

  
  Gab E

• Convertendo de segundos para minutos, temos: 20/60 = 1/3 min.

  Aplicando a fórmula do termo geral da P.A para 10 elementos, temos:

  A10= A1 + (n-1)r

  A10 = 4 +9*1/3; A10 = 4+3 = 7.

  Temos então que a última volta foi feita em 7 min.

  Todavia, o que nos é pedido é em quanto tempo foi completada as 10 voltas, não somente o tempo de última volta. Neste caso, aplicaremos a fórmula das somas de uma P.A:

  Sn= (A1+ An)n/2

  Sn = (4+7) 10/2; Sn= 11*5 = 55 min.

• Queria ver o professor fazendo a resolução dessa questão. 

• a1 = 4 minutos = (4* 60 = 240 segundos)

  Razão = 20 segundos

  n = 10

  a10 = ?

  S10 = ?

  
  

  a10 = a1 + 9r

  a10 = 240 + 9*20

  a10 = 420 segundos = 7 minutos

  
  

  S10 = n (a1 + a10)/2

  S10 = 10 (4 + 7)/2

  S10 = 55

  
  

  Alternativa E

• Se os acréscimos são em segundos, basta transformar o A1 em segundos, ou seja, se na primeira ele deu 4 voltas, substituindo por segundo, fica 240. Joga na fórmula tudo em segundos, e o resultado final divide por minutos, ou seja , por 60. E cai pro abraço.

• A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à adição, à subtração e à divisão dos números e à Progressão Aritmética (PA).

  Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

  1) Leonardo foi correr na pista de um parque público.

  2) Ele levou 4 minutos para dar a primeira volta, mas, como foi ficando cansado, o tempo para completar cada uma das voltas subsequentes aumentou 20 segundos em relação ao tempo da volta anterior.

  3) A partir da informação "2" acima, pode-se concluir que, a cada volta, o tempo, para se completar a volta, aumentou 20 segundos, resultando, portanto, uma Progressão Aritmética de razão igual a 20 segundos.

  4) Sabe-se que 1 (um) minuto possui 60 (sessenta) segundos.

  Nesse sentido, frisa-se que a questão deseja saber quantos minutos Leonardo correu, se ele deu 10 voltas nessa pista.

  Resolvendo a questão

  Sabendo que a razão da Progressão Aritmética em tela é 20 segundos e que o termo inicial corresponde a 4 minutos (tempo para se completar a primeira volta), é possível montar a seguinte Progressão Aritmética:

  1ª Volta -------- 4 minutos

  2ª Volta -------- 4 minutos e 20 segundos

  3ª Volta -------- 4 minutos e 40 segundos

  4ª Volta -------- 5 minutos

  5ª Volta -------- 5 minutos e 20 segundos

  6ª Volta -------- 5 minutos e 40 segundos

  7ª Volta -------- 6 minutos

  8ª Volta -------- 6 minutos e 20 segundos

  9ª Volta -------- 6 minutos e 40 segundos

  10ª Volta -------- 7 minutos

  Logo, para se descobrir quantos minutos Leonardo correu, se ele deu 10 voltas nessa pista, deve ser aplicada a seguinte fórmula referente à soma dos termos de uma Progressão Aritmética:

  Sn = ((A1 + An) * n)/2

  * No caso em tela o valor de n corresponde a 10, A1 corresponde a 4 (primeiro termo da Progressão Aritmética) e A10 corresponde a 7. Assim, tem-se o seguinte:

  S10 = ((4 + A10) * 10)/2

  S10 = ((4 + 7) * 10)/2

  S10 = (11 * 10)/2

  S10 = 110/2

  S10 = 55.

  Logo, Leonardo correu durante 55 minutos.

  Gabarito: letra "e".

Questão 789385

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: UNB
• Ano: 2012
• Provas: CESPE - 2012 - UNB - Vestibular - Prova 2
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Um apicultor, ao perceber o desaparecimento de abelhas
de uma colmeia, resolveu contar a quantidade de abelhas restantes
para estimar a taxa correspondente ao sumiço dos insetos.
Utilizando técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas
restantes da colmeia para o interior de uma caixa cercada por uma
tela. O apicultor observou que as abelhas entravam na caixa de
modo bastante peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava
uma; depois, mais três de uma única vez; logo em seguida, mais
cinco ao mesmo tempo; imediatamente após, entravam sete, e,
assim, sucessivamente. Para obter controle sobre o processo, ele
anotou a quantidade de abelhas que entravam e verificou que
nenhuma abelha saiu da caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao
final, contou 400 abelhas dentro da caixa.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens de 73 a 75 e
faça o que se pede no item 76, que é do tipo D.

Em algum momento, a quantidade total de abelhas dentro da caixa foi igual a 40.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: E

Questão 792550

• Banca: ESAF
• Órgão: Receita Federal
• Ano: 2012
• Provas: ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal - Prova 1 - Gabarito 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Uma sequência de números k₁ , k₂ , k₃ , k₄ ,....,k_n é denominada Progressão Geométrica - PG - de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p - 2); p; e (p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a

• A. (6 - p); 2/3; 21.
  
• B. (p +6); 3/2; 19.
  
• C. 6; (6 – p); 21.
  
• D. (6 - p); 3/2; 19.
  
• E. (p - 6); p; 20.
  

Gabarito: D

Comentários

• Vamos lá!
  
  Irei tentar resolver a questão!
  
  A PG é a seguinte: (p - 2); p; e (p + 3)
  
  A razão será P/(P-2)  e  também (P+3)/P.
  
  Como as duas sao iguais podemos igualá-las: 
  
  P/(P-2)=(P+3)/P
  P²=(P-2)(P+3)
  P²=P²+3P-2P-6
  P²-P²=P-6
  0=P-6
  P=6
  
  Subistituimos o P na sequência (p - 2); p; e (p + 3):
  
  (6-2)=4
  p=6
  (6+3)=9
  
  Logo a PG será (4;6;9)
  
  e a razão:
  
  6/4=3/2
  
  Agora o valor de x não entendi muito bem o porquê, mas acredito que será 0 por que a sequência já é uma PG e nao precisa de nenhum valor para que se torne a tal.
  
  Logo (6-p)= 6-6=0
  
  e a soma será 4+6+9=19
  
  Logo a alternativa correta é a D!
  
  Espero ter ajudado.
  
  
  
  
                                                                                          
  
  

• a1 = P – 2 + X

  a2 = P + X

  a3 = P + 3 + X

   

  Fórmul a da Progressão Geométrica

  an = a1 . qn-1

   

  Assim, em a2:

  (P + X) = (P – 2 + X) . q

  q = P + X / P – 2 + X

   

  em a3:

  (P + 3 + X) = (P + X) . q

  q = (P + 3 + X) / (P + X)

   

  Desse modo:

  (P + X) / (P – 2 + X) = (P + 3 + X) / (P + X)

  P2 + 2PX + X2 = P2 + 3P + PX – 2P - 6 - 2X + PX + 3X + X2

  0 = P + X – 6

  X = 6 – P

   

  Substituindo:

  a1 = P – 2 + X = P – 2 + (6 – P) = 4

  a2 = P + X = P + (6 – P) = 6

  a3 = P + 3 + X = P + 3 + (6 – P) = 9

   

  an = a1 . qn-1

  9 = 4 . q3-1

  q2 = 9/4

  q = 3/2

   

  Fórmul a da Soma dos Elementos da Progressão Geométrica

  S = an x q – a1 / q – 1

  S = (9 . 3/2) – 4 / 3/2 – 1

  S = (27/2 – 4) / 1/2

  S = 19

• Professora Tereza Cristina Leão

  PG de 3 termos

  o termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos outros dois, isto é... (p+x)² = (p+2+x+.(p+3+x), 

  resolvendo os dois membros x = p-6, 

  substituindo nos termos da PG temos que: a1=p-2+x então a1= p-2+6-p... a1=4, 

   a2= p+x então a2= p+6-p, a2=6, 

   a3= p+3+6-p então a3=9, 

  logo a razão é a2 : a1 = 6 : 4 = 3 : 2 ou 3/2 e a soma dos termos é 4+6+9=19
  

• ( p - 2 )        p      ( p + 3 )

  Soma-se x a cada um: ( p - 2 + x )     p + x     ( p + 3 + x )

  Dividir o terceiro pelo segundo é igual a dividir o segundo pelo primeiro:

  p + 3 + x / p + x  =  p + x / p - 2 + x

  Multiplica-se cruzado, os de cima pelos de baixo:

  ( p + x ) ( p + x ) = ( p - 2 + x ) (p + 3 + x )

  p^2 + px + px + x^2 = p^2 + 3p + px - 2p - 6 - 2x + px + 3x + x^2

  Passando todo mundo do lado de lá prá cá e mudando o sinal da prá cortar os que têm sinal invertido:

  p^2 + px + px + x^2 - p^2 - 3p - px + 2p + 6 + 2x - px - 3x - x^2 = 0
  

  O que sobra é:

  p + x - 6 = 0

  Como queremos o valor de x, a gente joga os outros prá depois do sinal ( esse meu jeito de fazer enlouquece alguns professores, mas é melhor para o meu raciocínio. Alguns deles querem que a gente adivinhe onde os números foram parar rsss.)  e inverte o sinal de novo:

  x = 6 - p   e já achamos uma resposta que é o x

  Agora é só substituir  pelo valor encontrado nos termos da PG:

  p - 2 + x = p - 2 + 6 - p   corta p com -p e só sobra 4. O mesmo para os outros termos:
  

  p + x = p + 6 - p = 6
  

  p + 3 + x = p + 3 + 6 - p = 9

  Dividindo o terceiro termo pelo segundo ou o segundo pelo primeiro, encontramos a razão:

  6/4 simplificando por 2: 3/2 ou 9/6: 3/2
  

  somando os termos: 4 + 6 + 9 = 19 e temos a soma
  

• Achei mais rápido testando as alternativas para o valor do x. Trocando por (6-p) vc já encontra o resultado da assertiva. Em prova é melhor fazer o mais rápido possível!

• Os números inicialmente fornecidos são p – 2, p e p + 3, somando uma constante x a cada um deles, temos p + x – 2, p + x e p + x + 3.

  Substituindo v = p + x temos: v – 2, v e v + 3. Assim:

  v/v – 2 = v + 3/ v

  Resolvendo acharemos uma equação de segundo grau, cuja raiz positiva é 6, assim:
  v = 6
  Lembrando que v = p + x → x = 6 - p
  A PG fica: v – 2 = 6 – 2 = 4 → v = 6.

  v + 3 = 6 + 3 = 9
  A razão da PG é igual à divisão entre dois termos seguidos:

  r = 6 / 4 = 1,5

  A soma dos termos da PG fica: 4 + 6 + 9 = 19.
  
  Letra D.

  
  

• Bem mais simples:

  a questão pede para adicionar a constante X em uma sequência, então temos:

  (p+x-2), p+ x , (p+x+3) 

  para facilitar os cálculos:

  p+x = A

  então ->  (A - 2), A , (A+3)

  Pela propriedade da PG, o quadrado do termo médio é o produto dos seus extremos: então

  A² = (A-2)*(A+3)

  A²= A² + A - 6

  A = 6

  Substituindo pelo X

  x = 6 - p

  a razão é 6/(p-2+6-6) = 3/2

  
  

  Nem precisa fazer a soma da PG, por eliminação já dá pra acertar

  
  

  GABARITO: LETRA D

Questão 793813

• Banca: UNICENTRO
• Órgão: UNICENTRO
• Ano: 2012
• Provas: UNICENTRO - 2012 - UNICENTRO - Vestibular - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Em Irati, cidade do Paraná, um grupo de senhoras criou um “Clube de Leitura”. Na sede do clube, elas trocavam livros, liam e discutiam sobre o assunto de que tratavam. Uma nova moradora da cidade ingressou no grupo e descobriu que precisaria ler 8 livros, 1600 páginas, para acompanhar o bate-papo literário com as novas amigas. Resolveu, pois, iniciar a leitura da seguinte maneira: leria todos os dias, sendo que, no 1^o dia, serem lidas x páginas e, a cada dia, leria 2 páginas a mais do que as lidas no dia anterior.
Se completou a leitura das 1600 páginas em 25 dias, então o número de páginas lidas no 1^o dia, foi igual a

• A. 60
• B. 50
• C. 40
• D. 30
• E. 20

Gabarito: C

Comentários

• 
  

  1	2	3	...																				...	25
  x	X+2	X+4

   
  Iniciou a leitura dos livros com X páginas no primeiro dia. No segundo dia 2 páginas a mais que no primeiro ou X+2. A cada dia que passava sempre lia 2 páginas a mais que no dia anterior.
  Temos então uma progressão aritmética (PA) de razão 2  ou r =2 em que o primeiro termo é X
  Ou a₁ = X             n é o número de termos  n= 25
  PA = (a_1,  a_2,...., an) = ( x, x+2, x+4, x+6, ... a₂₅)
  Numa PA temos a expressão do termo geral:  a_n= a₁  +(n-1)r    ou  a₂₅= x + (25-1).2 
  ou  a₂₅= x + 48     Quer dizer: no vigésimo quinto dia foram lidas:  x+ 48 páginas.
  Expressão da soma de termos na PA:  Sn = ( a₁+ a_n).n/2 ou  s_{25 =} (a₁ + a₂₅).25/2     ou
  s_{25 =} ( x + x+48).25/2   = 1600    (1600 páginas em 25 dias )           daí é só achar o X
  (2x +48)25 = 3200 →  50x + 1200 = 3200   → 50x = 2000  →  x = 40    alternativa ©
    
• Nova moradora:
  8 livros - 1600 páginas
  Ela fez isso em forma de Progressão Aritmética (P.A.). Como a gente não sabe qual o número de páginas iniciais, podemos fazer a seguinte representação:
  a1, a1 +2, a1 +2 +2 ....até chegar às 1600 que seriam o número total de páginas a serem lidas somando tudo o que ela leu até o 25º dia no qual ela terminou.
  Utilizando a fórmula de soma das Progressões aritméticas, vamos substituir os termos para encontrar o primeiro número da P.A.:
  S25 (A soma das páginas lidas ao longo dos 25 dias)= número de termos x (primeiro número + o último número) / (dividido por 2)
  Ora, sabemos que a soma de tudo foi 1600 páginas e que o último termo foi 25, assim temos:
  1600 = 25 x (a1 +a25) / 2
  Não sabemos quanto é a1, mas pela fórmula do cálculo de um termo da P.A., podemos fazer a25 =  a1 + (25 -1)x2 Logo a25= a1 +48
  Substituindo a25 por a1 +48 no cálculo anterior, temos
  1600 = 25 x (a1 +a1 +48) / 2
  1600 = 50a1 + 1200 / 2 Simplificando e invertendo a equação temos
  25a1 = 1600 - 600 Logo a1 = 1000 / 25
  a1=40

   

  Portanto, ela leu quarenta páginas no primeiro dia. LETRA C.

• a1 = ?
  n = 25
  r = 2
  an = ?
  
  an = a1 + (n-1)*r
  an = a1 + 24*2
  an = a1 + 48
  
  sn = (a1+an)*n/2
  1600 = (a1+an)*25/2
  3200 = 25a1 + 25an
  
  substitui o valor de an, assim:
  
  3200 = 25a1 + 25*(a1+48)
  3200 = 25a1 + 25a1 + 1200
  2000 = 50a1
  a1=40
  

• 8 L - 1.600 pg - 25 dias

  1  2   3   4     25

  x x+2 x+4 x+6... x+48

  media = x+x+48/2 = 2x+48/2 = x+24

  soma = (x+24) x 25 = 25x + 600

  25x + 600 = 1600

  x=40

  prova real

  40 42  44,,,,,,,,88

  40+88/2 = 64

  64x25 = 1.600

  Outra visao

  2  4  6  8 10 -> soma = 30

  x          x+8

  media = x+x+8/2 = 2x+8/2 = x+4

  soma = media x n

  soma = (x+4) x 5 = 5x + 20 = 30  -> x=2

  
  

• Resolvendo por progressão aritmética:

  
  

  
  

  Usando a fórmula da soma de n termos:

  
  

  
  

  Resolvendo o sistema pelo método da substituição do resultado (i) e (ii), acharemos o valor de a₁ = 40.

  
  

   Letra C.

  
  

• Em questões como essas eu faço por aproximação, acho mais rápido

  Usando como exemplo a letra 

  d) 30

  30, 32, 34, 36 ...

  30 x 25 = 750

  25 x (25 - 1) = 600

  750 + 600 = 1350 errado por que é menor que 1600 precisamos de um numero maior, vamos tentar a letra c)

  
  

  c) 40

  40, 42, 44, 46 ...

  40 x 25 = 1000 aqui já encerraria a questão, mas vamos continuar

  25 x (25 - 1) = 600

  1000 + 600 = 1600 

  Resposta letra c) 40

  
  

  
  

  
  

• Simples pessoal.

  Sn =( a1 + an). n/2

  1600 = (x+ x+48).25 /2

  3200 = 50x + 1200

  2000=50x

  X = 40

Questão 796129

• Banca: UNEMAT
• Órgão: UNEMAT
• Ano: 2011
• Provas: UNEMAT - 2011 - UNEMAT - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A soma dos quatro primeiros termos de uma Progressão Aritmética (P.A.) é 4 e o produto desses termos é zero.

Sendo a razão da P.A. um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa sequência é:

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3
• E. 4

Gabarito: A

Questão 799366

• Banca: FUVEST
• Órgão: USP
• Ano: 2011
• Provas: FUVEST - 2011 - USP - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Plana; Progressão Aritmética - PA; Progressões

Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a

• A. 315
• B. 320
• C. 325
• D. 330
• E. 335

Gabarito: B

Comentários

• Nesta questão, α é a medida do ângulo menor e consideramos r como a razão da PA, com r positivo (r > 0) temos:

  Somando as medidas dos seis ângulos, chegamos a (6-2).180 o que nos dá 720º, logo, a soma dos termos da PA será ((α+11α).6)/2=720°, assim, sabemos que α = 20°. Calculando a razão de uma PA chegamos que r = 2 = 40.

  Tendo esses dados em mãos, sabemos que os ângulos desse polígono serão: 20°, 60°, 100°, 140°, 180°, 220°. O que contradiz o nosso enunciado acima, apesar do gabarito oficial sela a letra B, pois é sabido que as medidas de um ângulo interno de um polígono convexo é < 180° e qualquer polígono, seja ele convexo ou não, não pode ter um ângulo medindo 180°.

  Essa questão foi anulada justamente por essa inconsistência no enunciado.

  
  

• Essa questão foi anulada devido ao fato de os ângulos calculados não formar um polígono convexo. No entanto, dá para chegar na resposta tranquilo calculando o que se pede

• Embora a questão tenha sido anulada, ela é plenamente possível de ser feita.

  Primeiramente, usamos S = (n - 2) . 180 para saber o ângulo interno total do polígono

  4.180 = 720º

  Agora usamos Sn = (a1 + an).n/2 (soma dos termos da P.A) para descobrir o menor ângulo, referente ao primeiro termo da P.A

  720 = (x + 11x).6/2

  x = 20º

  Agora usamos an = a1 + (n - 1).r (termo geral da P.A) para descobrir a razão da P.A a fim de descobrir os outros termos da P.A

  11.20 = 20 + 5r

  220 = 20 + 5r

  r = 40

  os primeiros 4 termos são, assim, 20, 60, 100, 140

  a soma deles é 320

  Letra B

  Fuvest 2023

Questão 814531

• Banca: AOCP
• Órgão: TCE-PA
• Ano: 2012
• Provas: AOCP - 2012 - TCE-PA - Técnico de Informática - Suporte
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressões

Na sequência (-1, 0, 1, 2, 9, ...), cada termo, a partir do segundo, é obtido pela mesma lei de formação. Nessas condições, o próximo elemento da sequência é

• A. 16.
• B. 28.
• C. 82.
• D. 680.
• E. 730.

Gabarito: E

Comentários

• Alguém explica?

• A sequência é a seguinte:

  an=(an-1)^3+1... o numero que vem depois é o anterior elevado ao cubo e somado 1.

  (-1)^3 +1 = 0

  0^3 + 1  = 1

  1^3 + 1 = 2

  2^3 + 1 = 9

  9^3 + 1 = 730

  Alternativa correta letra E 

• Questão Alienigina

• Que questão horrível!

   

• Sequência Foda!

• ENTENDI FOI NADA

• Nível exper! Está veio de Marte.

• essa razao foi matando 

• Galera, é o seguinte:

  Vcs elevam cada número da sequência (a partir do segundo) a 3 e somam com 

  0^3=0, depois soma com 1 = 1

  1^3=1, depois soma com 1 = 2

  2^3=8, depois soma com 1 = 9

  9^3=729, depois soma com 1 = 730, ou seja: (-1,0,1,2,9,730...)

  OBS: o sinalzinho ''^'' é para indicar exponenciação, fica a dica.

• Significa dando sequência (9³)=                                                                                                                                                                                 9.9=81.9=729                                                                                                                                                                                                           é isso mesmo.

   

• Olha! Eu gosto de desafio, mas essa foi ridícula. Não segue nenhuma lógica. Até segue, mas pra chegar nela só por tentativa e erro. Não testa nada. Deprimente...

• Entendi...

  Mas como alguns aqui acharam a logica para esses valores estarem sendo elevados ao CUBO??? E depois serem somados por UM? rsrsrs

• se o examinador que criou fosse fazer depois de um mês nem ele sabia

Questão 818266

• Banca: Exército
• Órgão: EsFCEx
• Ano: 2011
• Provas: Exército - 2011 - EsFCEx - Oficial - Magistério Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Matemática Financeira; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considere três prestações de mesmo valor vencidas nos períodos x, y e z tais que 0 < x < y < z de modo que, quando atualizadas na data zero a uma taxa constante de juros compostos, os valores atualizados estão em progressão geométrica de razão 2.
Assinale a alternativa correta.

• A. x - 2y + z = 0
• B. y - x - z = 0
• C. y - 2x + z = 0
• D. z - 2x + y = 0
• E. z - y - z = 0

Gabarito: A

Comentários

• 1. Juros compostos tem montante: M=C(1+i)^t
  2. Assim o montante para cada prestação é:
  • M1=C(1+i)^z
  • M2=C(1+i)^y
  • M3=C(1+i)^x

  Como 0<x<y<z então x é o período mais recente e z o período mais anterior, isto é, M1>M2>M3. Uma vez que esses Mi estão em PG de razão 2, então:

  • M2/M3 = 2 , M1/M2 = 2, ou seja: M2=2M3 e M1=2M2. Portanto

  C(1+i)^y = 2C(1+i)^x e C(1+i)^z = 2C(1+i)^y implica. Dividindo uma pela outra obtemos:

  (1+i)^(z - y) = (1+i)^(y - x) implicando z - y = y - x resultando em x - 2y +z =0

  Letra A

  "Resolução de um grande amigo da matemática Filipe Fortes"

Questão 829678

• Banca: PUC - RJ
• Órgão: PUC - RJ
• Ano: 2012
• Provas: PUC - RJ - 2012 - PUC - RJ - Vestibular - Espanhol e Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geo- métrica.
O produto xy vale:

• A. 8
• B. 10
• C. 12
• D. 14
• E. 16

Gabarito: E

Comentários

• Olá amigos do QC, podemos nesse caso usar a seguinte propriedade da PG:
  
   O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é igual ao produto desses extremos.
  ex.: (5, 10, 20, 40) PG de razão 2, vamos múltiplicar os termos eqüidistantes (mesma distância) para confirmar a propriedade citada.
  5 . 40 = 200
  10 . 20 = 200, tudo certo então.
  na nossa questão temos:
  ( 2, x, y, 8 ) aplicando agora a propriedade dada temos:
  2 . 8 = x . y
  x . y = 16
  
  Grande abraço , Deus é bom.

• Sabendo que a fórmula da razão da PG, temos:

  
  

  
  

  
  

• Lembrando da propriedade chega-se ao resultado sim. Mas tem como com as fórmulas gerais descobrir o valor de x e y?

• fiz da seguinte maneira:
  Primeiramente : Para se achar a razão de uma P.G  faz -se o seguinte: o segundo termo dividido pelo primeiro , ou o terceiro dividido pelo segundo , ou o quarto dividido pelo terceiro e sucessivamente . Portanto razão = x/2 que é igual 8/y , fazendo a operação de igual x/2=8/y , multiplica cruzado e ficaria : x.y=16 .
  
  resposta letra E .
  
  bons estudos a todos.

Questão 832270

• Banca: PUC-PR
• Órgão: DPE-PR
• Ano: 2012
• Provas: PUC-PR - 2012 - DPE-PR - Técnico - Administração
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

O sexto termo de uma progressão geométrica é igual a 12500. Se a razão é igual a 5, assinale a alternativa correspondente ao terceiro termo.

• A. 100
• B. 125
• C. 150
• D. 340
• E. 300

Gabarito: A

Comentários

• an=a1*q^n-1
  
  an=12500
  a1=?
  q=5
  n=6 (n° de termos)
  
  an=a1*q^n-1
  12500=a1*5^5
  12500=a1*3125
  a1=12500/3125
  a1=4
  
  3° termo:
  an=a1*q^n-1
  an=4*5^3-1
  an=4*5^2
  an=4*25
  an=100
• 6º=12500
  5º=12500/5=2500
  4º=2500/5=500
  3º=500/5=100
• Progressão Geométrica:
  
  1) Definição: a_n+1 = a_n . q (cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma razão, onde o "q" é uma constante chamada de razão da P.G.)
  
  2) Termo Geral:  a_n = a₁ . q ^n-1  
  
  Então:
  
  a₆ = 12.500
  q= 5
  a₃ = ?
  
  a₆ = a₁ . q ^6-1
  12.500 = a₁ . q ⁵
  12.500 = a₁ . 5^₅
  12.500 = a1 . 3125
  a1 = 4
  
  Logo.
  
  a₃ = a₁ . q²
  a₃ = 4 . 5²
  a₃ = 4 . 25
  a3= 100
• Pelo termo geral, podemos deduzir;
  

  a6=a3. q^3

  12500=a3. (25)^3
  12500= a3. 125
  a3=100
• RESOLUÇÃO :
  
   1        2         3          4          5         6 
                         ?                             12500
  
  Dados:
  
  An = 12500                             
  A1 = ?
  q    = 5
  n    = 6
  
  
  1 PASSO
  
  FORMULA 
  
                       ( n-1 )
  An = A1 x q 
                            ( 6-1 )
  12500= A1 x 5
                             5
  12500= A1 x 5 
  
  12500 = A1 x 3125
  A1 = 12500 / 3125
  A1= 4
  
  2 PASSO
  
  1 TERMO = 4 
  2 TERMO = 4 X 5 = 20
  3 TERMO = 20 X 5 = 100 
  4 TERMO = 100 X 5 = 500
  5 TERMO = 500 X 5 = 2500
  6 TERMO = 2500 X 5 = 12500
  
  
  RESPOSTA - ITEM  A 
• claro que não devemos deixar a didática de lado, mas na hora da prova uma questão como essa seria mais prático multiplicar as alternativas por 5 pra ganhar tempo....
  
  

• an = a1 x q^n-1                          PA = ( 4, 20, 100, 500, 2500, 12500)

  12500 = a1 x 5^6-1 

  12500 = a1 x 3125 

  a1 = 12500/3125

  a1 = 4 

• a6 = a5 . q ou pode ser representado por a6= a4 . q2 ou a6 = a3 . q3... para ganharmos tempo na resolução desse exercício, usaremos a6 = a3.q3 assim, descobriremos o resultado da questão. 

  A⁶ = a³ . q³

  12500 = a³ . 5³

  12500 = a³ . 125

  a3 =12500/125

  a3=100

• a6 = 12500;   r = 5;   a3 = ?;   n = 6

  an = a3 . q ^ n-k

  12500 = a3 . 125

  a3 = 100

• Se a razão é 5, então vai dividindo até chegar o 3º

  5º =12500/5=2500
  4º =2500/5=500
  3º =500/5=100
  

• Veja o vídeo que gravei com a resolução dessa questão:

  https://youtu.be/FC2PTiV1R1s

  Professor Ivan Chagas

• Olá pessoal,
   
  Vejam o vídeo com a resolução dessa questão no link abaixo
  https://youtu.be/-LuX3TJfs10
   
  Professor Ivan Chagas
  www.gurudamatematica.com.br

Questão 832273

• Banca: PUC-PR
• Órgão: DPE-PR
• Ano: 2012
• Provas: PUC-PR - 2012 - DPE-PR - Técnico - Administração
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Considere as informações para uma PA (progressão aritmética): 1º termo é igual a 2, razão equivale a 5. Determine o valor do 17º termo dessa sequência numérica.

• A. 74
• B. 53
• C. 82
• D. 18
• E. 35

Gabarito: C

Comentários

• an=a1+(n-1)*r
  
  an=?
  a1=2
  n=17
  r=5
  
  an=2+(17-1)*5
  an=2+80
  an=82
• Pode-se útilizar dessa forma também. A17 = A1 + 16*R  logo A17= 2+ 16*5= 82
  
• Resposta: C
  
  A fórmula é esta mesma: An = A1+(n-1).r
  
  
  A17 = 2 + 16 x 5
  
  A17= 2 + 80
  
  A17 = 82

• a1= 2 

  r = 5 

  n = 17 

  an = a1 +(n-1)r 

  a17 = 2 +(17-1). 5

  a17 = 2 + 16 x 5 

  a17 = 2 + 80 = 82 

• Nesse caso, usar a formula é mais rápido: an= a1 + (n-1).r

  Gab: C

• AN=A1+(N-1).R       AN=A1+16R                    R=5         A1=2      AN=117

                                   AN=2+16.5

                                    AN=2+80

                                    AN=82                                                                    Letra : C                                                                                              "Confie em DEUS, e o mais ele fará por ti."

   

Questão 833965

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: DECEA
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - DECEA - Controlador de Tráfego Aéreo Código
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Os números α, β e δ expressam medidas, em radianos, de três ângulos. Sabe-se que α + β + δ = ^7π⁄₁₂, e também que α, β e δ formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão2. Seja ƒ(x) = cos x uma função de domínio real.
Nesse caso, o valor da expressão ƒ(β) - ƒ(2δ) é igual a

• A.  √3+2 
           2
  
  
• B.  √3-2 
           2
  
  
• C.  √3+1 
           2
  
  
• D.  √3-1 
           2
  
  
• E.  3 
       2

Gabarito: C

Comentários

• Trocando os angulos por x, y e z :
  x + y + z = 7pi/12
  Se x,y e z estão, nesta ordem, em uma PG de razão 2, então y = 2x e z = 4x . Substituindo:
  
  x + 2x + 4x = 7pi/12 ==> x = pi/12 , y = pi/6 , z = pi/3
  
  f(y) - f(2z) = cos(pi/6) - cos(2pi/3) = cos(30)-cos(120) = cos(30) - (-cos(60)) = raiz 3/2 + 1/2 , ou seja, LETRA C!

  
  

Questão 833971

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: DECEA
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - DECEA - Controlador de Tráfego Aéreo Código
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Um cientista distribuiu 46,0 mL de álcool em quatro tubos de ensaio dispostos lado a lado, tendo as quantidades de álcool neles colocadas formado uma progressão aritmética crescente.
Se, no último tubo, o cientista colocou 6,0 mL a mais do que no segundo, quantos mililitros de álcool ele colocou no primeiro tubo?

• A. 2,5
• B. 3,0
• C. 4,5
• D. 7,0
• E. 10,0

Gabarito: D

Comentários

• ALTERNATIVA D
  
  Como estão em P.A chamaremos os tubos de ensaio de a1, a2, a3 e a4, que conforme enunciado receberam os líquidos em ordem crescente. (a1 < a2 < a3 < a4 ).
  
  No enunciado A4 = A2 + 6 e  A1 + A2 + A3 + A4 = 46 (II) 
  
  Por definição de PA:

  A4 = A2 + 2.r, PORTANTO r=2 (2.r=6; r=6/2 r=3),
  A1 = A2 - 3
  A2 = A2
  A3 = A2 + 3

  Substituindo na equação II, temos:

  (A2 - 3) + A2 + (A2 + 3) + (A2 + 6) = 46
  4. A2 + 6 = 46
  4. A2 = 46 - 6
  A2 = 40 /4
  A2 = 10

  Como foi solicitando o primeiro tubo de ensaio:

  A1 = A2 - 3
  A1 = 10 -3
  A1 = 7

• A4 = A2+6, LOGO, PARA ENCONTRAR A RAZÃO BASTA USAR A FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A:

  1° : A4=A2+2R

  A2+6=A2+2R

  2R=6

  R=3

  2°: SABE-SE QUE A SOMA É 46, E QUE A4=A2+6 E A2=A1+3 OU A1=A2-3, AGORA É SÓ JOGAR NA FÓRMULA DO SOMATÓRIO DE UMA P.A:

  46=(A1+A4)*(4/2)

  46=(A2-3+A2+6)*2

  46=(2A2+3)*2

  46=4A2+6

  4A2=40

  A2=10, LOGO A1=A2-3, OU SEJA, A1= 10-3= 7

   

• (a1, a2, a3, a4)

  No último colocou 6ml a mais que no segundo:

  a4 = a2 + 6

  a1 + 3*r = (a1 + r) + 6

  a1 + 3*r - a1 + r = 6

  2*r = 6

  r = 6/2

  r = 3

  A soma de todos os valores é 46ml

  (a1) + (a1 + 3 ) + (a1 + 6) + (a1 + 9) = 46

  4a1 + 18 = 46

  4a1 = 46 - 18

  4a1 = 28

  a1 = 28/4

  a1 = 7

  GABARITO(D)

Questão 835351

• Banca: PUC - RS
• Órgão: PUC - RS
• Ano: 2012
• Provas: PUC - RS - 2012 - PUC - RS - Vestibular - Prova 2
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Uma agência de publicidade pretende divulgar um novo produto numa cidade. Para isso, deve colocar, na rodovia de acesso, 10 painéis de publicidade, mantendo a mesma distância entre eles. O primeiro painel será colocado no quilômetro 131 e o último no quilômetro 311. Então, a distância entre os painéis é de _______ quilômetros.

• A. 44
• B. 41
• C. 22
• D. 20
• E. 18

Gabarito: D

Comentários

• Como a distância é a mesma, temos uma PA.
  
  a1 = 131
  an = 311
  n = 10
  r = ?
  an = a1 + (n-1) * r
  311 - 131 = ( 10 -1) *r
  180 = 9r
  r = 20Km
  
  
  

• Como os painéis estão espaçados numa mesma distância, podemos utilizar a fórmula da P.A.

                                                              a_n = a₁ + (n - 1) r
  
  

  Onde a_n = 311, a₁= 131 e n = 10, substituindo na equação acima:

  311 = 131 + (10 - 1) r → r = 20
  
  Logo a distância entre os painéis será de 20Km.
  
  

  Letra D.

  
  

  
  

Questão 840211

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: ANAC
• Ano: 2012
• Provas: CESPE - 2012 - ANAC - Técnico Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Determinada companhia aérea possui uma frota com cinco aviões:
dois deles têm capacidade para 138 passageiros; outros dois, para
180 passageiros e um, para 264 passageiros. Julgue os itens de 111
a 114 a respeito dessa frota.

Considere a sequência x₀, x₁, ..., x₂₀, em que x₀ = quantidade de passagens vendidas em 1990, x1 = quantidade de passagens vendidas em 1991, e assim sucessivamente. Nesse caso, se essa sequência está em progressão aritmética, se x₀ = 350 e x₂ = 380, então em 2005 a companhia vendeu mais de 560 passagens.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• PA
  an =a1+(n-1)r
  a0=350, a2=380 ... a1= a0+a2 / 2  ... a1=365 (média do anterior com o  posterior)
  então a r=15 ou a1-a0 = 365-350 = 15
  então, como de 1990 a 2005 são 16:
  a16=350+(16-1)15 Obs: o a0 é o a1 da formula (1º termo)
  a16=350+225 = 575
  
• CERTO - Precisamos achar a razão da P.A. (essa razão é fixa e é acrescentada a cada novo termo)
  1. Se xo = 350 e x2 = 380, então temos que a razão será:
  r = (380 - 350) / 2 → r = 15
  
  2. De 1990 (xo) até 2005 (x15), temos que adicionar essa razão 15 vezes:
  x15 = 350 + 15. 15 → x15 = 575
  
  Logo temos que a companhia vendeu mais de 560 passagens em 2005 (575 passagens)
  
  Bons estudos, pessoal!!!!
• Resposta: CERTO
  
  Na hora do desespero, caso seja esquecida a fórmula da progressão aritmética, apela-se para uma resolução braçal para garantir os pontos da questão.
  
  x0 = x1990 = 350
  x1 = x1991 = ?
  x2 = x1992 = 380
  
  De 350 (1990) para 380 (1992), houve um acréscimo de 30 passagens vendidas. Dessa forma, conclui-se que, em 1991, venderam-se 15 passagens a mais. Essa é a razão da PA. Então:
  
  x0 = x1990 = 350
  x1 = x1991 = 350 + 15 = 365
  x2 = x1992 = 365 + 15 = 380
  x3 = x1993 = 380 + 15 = 395
  x4 = x1994 = 395 + 15 = 410
  x5 = x1995 = 410 + 15 = 425
  x6 = x1996 = 425 + 15 = 440
  x7 = x1997 = 440 + 15 = 455
  x8 = x1998 = 455 + 15 = 470
  x9 = x1999 =  470 + 15 = 485
  x10 = x2000 = 485 + 15 = 500
  x11 = x2001 = 500 + 15 = 515
  x12 = x2002 = 515 + 15 = 530
  x13 = x2003 = 530 + 15 = 545
  x14 = x2004 = 545 + 15 = 560
  x15 = x2005 = 560 + 15 = 575
  
  Por esse método trabalhoso, conclui-se que, em 2005, foram vendidas mais de 560 passagens (575, para ser exato), o que assegura a validade do item. É óbvio que o mais simples seria aplicar a fórmula da PA:
  x15 = x0  +  (número de termos da PA - 1) x razão = 350 + 15 x 15 = 350 + 225 = 575
  

• Podemos resolver pensando da seguinte forma:

  
  

  -> Se x0 = 350 e x2 = 380, então de x0 para x1 temos 15 passagens a mais (a progressão será de 15 em 15).

  
  

  -> Também sabemos que x0 = 1990 e x1 = 1991, então 2005 = x15.

  
  

  -> Com essas informações podemos deduzir que a quantidade vendida A MAIS será 15 (anos) multiplicado por 15 (passagens a mais por ano) = 225

  
  

  -> Então somamos 350 + 225 = 575 (que é maior que 560)

  
  

  
  

  GABARITO: CORRETO

  
  

• A questão é de progressão aritmética(P.A) mas quem não sabe a fórmula poderia resolver da seguinte forma:
  
  x0 = 350
  x1= ? (+15)= 365
  x2 = 380
  
  1990=350
  1991=365
  1992=380
  1993=395
  1994=410
  1995=425
  faltam 10 anos, é só multiplicar por 15. (10 x 15=150) Então 425 + 150= 575, é superior a 560. Correto
  

• X0 = A1
  X15 = A16

  
  A16 = A1 + (N-1) . R
  A16 = 350 + (16-1) . 15
  A16 = 350 + 15 . 15
  A16 = 350 + 225
  A16 = 575

  
  Gab C

• Calculando de forma rapida: 380-350=30. Se em 2 anos aumentou 30 passageiros, então em 1 ano aumentou 15, metade. 2005 - 1991= 15 anos. 15x15= 225. Agora é só somar com o ano 0: 350+225=575

• Atenção nessas questões!!! Por fazer sem olhar direito acabei vendo o X2 como se fosse X1, minha P.A. ficou: 350, 380, 410, ... no lugar de aumentar 15 em 15, foi 30 em 30, por sorte ainda acertaria, maaas...

• Certo.

   

  Resolvi assim:

   

  1 > o problema diz que:

   

  - x0 = 1990 e que x é a quantidade de passagens vendidas, que é igual a 350;

   

  - x1 = 1991 e que x é a quantidade de passagens vendidas, o problema não nos informa;

   

  - x2 = 1992 e que x é a quantidade de passagens vendidas, que é igual a 380;

   

  2 > O segredo aqui é enxergar que:

   

  - x0 é igual a "a1" de uma Progressão Aritmética;

   

  - x1 é igual a "a2" de uma Progressão Aritmética;

   

  - x2 é igual a "a3" de uma Progressão Aritmética;

   

  - E assim por sequência, até chegar no que queremos:

   

  - x15 = 2005 que será igual a "a16"; (Observe que para cada valor de "x" o valor do "a" da Progressão Aritmética é um maior);

   

  3 > Resolvendo a Progressão Aritmética:

   

  an = a1 + ( n - 1 ) r

  a3 = a1 + ( 3 - 1 ) r

  380 = 350 + 2r

  380 - 350 = 2r

  r = 30 / 5

  r = 15

   

  - Obs.: Conseguimos obter o valor da razão da Progressão Aritmética, com isso podemos achar o termo  "a16 ":

   

  4 > a16 = a1 + (n - 1 ) r

        a16 = 350 + ( 16 - 1 ) 15

       a16 = 350 + 15 * 15

       a16 = 575

   

  5 > Com isso, nós concluimos que em 2005 a quantidade de passagens vendidas será de 575, ou seja, superior a 560 como diz o exercício.

   

   

  Jesus no comando, SEMPRE!!

• x0= 350 e x2 = 380   x0, x1 ,x2 ,x3...x16 p

• sabendo que a16= ANO de 2005

  a0 (a1+0.r= 350

  a2 (a1+1.r=380

  -----------------------

  corta os a1

  1r-0-= r

  380-350= 30

  o 30 é a soma da razao de a0 até a2,ou seja, razao da P.A. é igual a 15

  R= 30/2 = 15

  substitui o R em uma das equaçoes (usei a 2ª)

  a1+ 15= 380

  a1=380-15=

  a1= 365

  
  

  TERMO DO A16

  a16= 365+ 15.(15)

  a16= 590

  
  

  590> 560 C

  #deucertoassim

  
  

• 1990 = 350

  2000 = 350 + (r*10anos) 15*10 = 150, 350 + 150 = 500

  2005 = 500 + (15*5anos) = 500 + 75 = 575 passagens > 560

• Questão bem legal de fazer:

  x0 = 350

  x1 = ?

  x2 =380

  Existe uma propriedade na progressão aritmética que é a seguinte: a soma dos termos vizinhos divididos por 2 é igual ao imediatamente anterior. Assim: x0 + x2 = 365, logo: 365 - 350 = 15. x1= 365. Sabemos então que a razão é igual a 15. Agora é só utilizar a fórmula geral do termo:

  xn = x0 + 15 * r

  Onde: x15

  x0= 350

  n = 15 anos

  r = a razão de número 15

  Logo temos: x15 = 350 + 15*15

  Temos então: x15 = 350 + 225

  X15 = 575

  Portanto, > 560

  "A repetição, com correção, até a exaustão, leva à perfeição".

• Primeiro devemos descobrir a razão:

  350 + 2r = 380

  2r = 30

  r=15

  Agora, descobrimos em qual elemento X está o ano de 2005:

  Ele está no elemento X15

  Logo, temos que X15 = X1 + 14R

  X15 = 365 + 14 x 15

  X15 = 365 + 210

  X15 = 575

• fiz assim,

  como a questão deu o numero da razão multipliquei e somei ,saiu o resultado 575

  portanto

  15 numeros de termos

  15 é a razão

  15*15=225

  a0=350

  a15=575

• Fórmula simples para descobrir a razão da P.A, usando apenas 2 números o X0 = 350 e o X2= 380:

   

  AN = A1 + (N-1) . R

   

  No AN você coloca o número 380 (X2)

  No A1 você coloca o primeiro termo X0 (350)

  No N do (N-1) você coloca a posição do X2 que é 3 (X0 + X1 + X2) como podem perceber o X2 é o terceiro.

  No R, você não coloca nada pois queremos descobrir ele (a razão)

   

  Preenchendo:

  380 = 350 + (3-1) .R

  380 = 350 + 2R

  2R = 380 - 350

  2R = 30

  R= 30/2

  R=15

• Estava indo bem, errei na conta do ano final: 1990 até 2005 = 16 anos (a16 - conta o 1990) e não 15.

  Fazer questão de matemática na pressa dá nisso.

• Muita gente errou por não considerar que a PA tinha 16 termos.

  Nesse tipo de questão, sempre faça a subtração dos termos e adicione 1.

  Tipo de 2005 - 1990 = 15. Para saber o número de termos, acrescente 1, pois nessa conta

  o próprio 1990 não está incluso. Por isso, o número de termos (n) = 16. Valeu!

• a1= 365 e não 350. Não acredito que cai nessa.

• Eu tive um pouco de dificuldade na questão e apelei para lógica. Se entre 1990 e 1992 a diferença foi de 30, e ele afirma ser uma progressão, foram vendidas no mínimo 15 em cada ano. Aí multipliquei por 15 x 15 que são os anos contabilizados ate 2005 e tirei 225. Somados ao primeiro ano, 575.

• De 1990 até 2005 são 16 anos --> teremos 16 termos nesta PA!

  Pois 1990 entra na conta.

  (contem nos dedos e confiram!)

  --> Razão da PA

  Xo = 350

  X2 = 380

  r = (380 - 350) / 2 → r = 15

  --> n x r = 16 x 15 = 240

  --> X16 = X0 + n x r

  X16 = 350 + 16 x 15

  X16 = 350 + 240

  X16 = 590 passagens em 2015

• Pode-se usar:

  1990 - X0=a1 350

  1991 - X1=a2

  1992 - X3=a3 380

  ....

  2005 - X15=a16

  Descobrir a razão é bem simples ; a3-a1/2 = 380-350/2 - r=15

  a16= a3+13.r

  a16= 380+13.15

  a16= 380+195

  a16= 575

  em 2005 a companhia vendeu 575 passagens. Item CERTO

• Como vocês chegaram à conclusão de que 2005 é o a16 e não o a15?

• Temos a sequência:

  (x0, x1,..., x20) onde (x0=a1, x1=a2,..., x20=a21)

  Assim, temos:

  x0=a1= 350 e x2=a3=380 ; x15=a16 > 560 ?

  Determinando-se a razão, temos:

  R = (a3+a1) / 2 = 15

  Portanto:

  a16 = a1+15xR = 350+(15x15) = 575

  Gabarito: CERTO

• sacanagem deslavada esse x0

• Não precisa adotar X15 = a16 não. Isso pode fazer você errar uma questão por bobeira.

  1. X0 = 1990 = 350
  2. X1 = 1991
  3. X2 = 1992 = 380
  4. X15 = 2005 = ?

  1) Encontrar a razão

  • X2 = X0 + (n - 0) *r
  • 380 = 350 + 2r
  • 380 - 350 = 2r
  • 30 = 2r
  • r = 15

  2) Encontrar o termo 15.

  • X15 = X0 + (n-0)*r
  • X15 = 350 + 15*15
  • X15 = 350 + 225
  • X15 = 575

• Pior é que mesmo errando dá certo. Porque eu não me dei conta do fato de começar por A0 e no final meus cálculos deram superior ao valor questionado.

• A pegadinha clássica de iniciar a progressão com x0;

  Quando isso acontece devemos contar um valor a mais --> Ex: 90 (1), 91 (2) ... 2005 (16)

  P.A. ---- > an = a1 + (n-1).r

  Aplicando a fórmula:

  a16 = 350 + (16 - 1) . 15

  a16 = 350 + 15 . 15

  a16 = 350 + 225

  a16 = 575

  Logo, 575 > 560

  Gabarito: CERTO

• a15 = 365 + (15-1) . 15

  a15 = 365 + 14 . 15

  a15 = 365 + 210

  a15 = 575

  certo

Questão 846460

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: LIQUIGÁS
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Ajudante de Motorista - Granel; CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Assistente Administrativo; CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Motorista de Caminhão - Granel; CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Oficial de Manutenção; CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Técnico de Segurança do Trabalho
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Pedro possui três parentes, João, José e Maria, cujas idades formam uma progressão geométrica. João é o mais novo, e Maria é a mais velha.

Se o produto das idades dos três parentes de Pedro é 1.728, qual é a idade de José?

• A. 64 anos
  
• B. 48 anos
  
• C. 24 anos
  
• D. 21 anos
  
• E. 12 anos
  

Gabarito: E

Comentários

• Sendo,
  
  João = a
  José = b
  Maria = c
  
  PG: a, b, c
  
  Em uma PG de 3 termos, podemos definir esses termos da seguinte forma:
  
  1 Termo (a) = b/a
  
  2 Termo (b) = b
  
  3 Termo (c) = a.b
  
  O exercício disse que a.b.c = 1728. Substituíndo b/a . b . a.b = 1728.
  
  Cortando os "a" e multiplicando os "b" teremos : b³ = 1728. Portanto b = 12
  
  Gabarito: e)

• Boa Noite!

  Guilherme gostaria só de fazer uma contribuição desenvolvimento da questão:

  Devemos somente atentar que a construção não deve ser baseada entre o "a" e o "b" e sim entre o "b" e a razão "r":

   {b/r; b; b * r; ...}, Assim sendo:

  b/r*b*b*r=1728

  
  

• Sendo o primeiro termo da PG igual a x e a razão igual a y.
  PG {x, x*y, x*y^2}.
  
  

  Onde então x*y é a idade de José. 

  
  

  Como o produto entre eles é 1728, temos:1728=x(xy)(xy^2)1728=x^3y^3=(xy)^3.

  
  

  fatorando 1728=12^3; 

  (xy)=12.

  
  

  como xy é a idade de josé, concluímos que ele tem 12 anos.
  

• Resolvi da seguinte forma:

  Adotei uma representação básica para a informação principal dada na questão (a1 . a2 . a3 = 1728), sendo "q" a razão da PG:
                                                                                                                             João José Maria

  (x/q) . (x) . (x.q) = 1728
    a1     a2    a3

  Simplificando a variável "q" dos termos a1 e a3, restará somente:  x . x . x = 1728.

  Resolvendo: x³ = 1728
  x = 12
  Gabarito: E

• Colegas, como fatora raiz cúbica?

• A questão fala de 3 irmãos, e ainda da o produto das idades que é 1728 para achar o produto tem que ir multiplicando então vá pelas alternativas.

  12 X1=12

  12X12= 144

  144X12=1728

  3 IRMÃOS ONDE O PRODUTO É 1728.

   

  gabarito (E) 12.

  Não é necessário raiz cubica, vá por logica que vocês iram achar a resposta bem mais fácil !

   

• Alternativa E.

   

  São três parente de idade em PG, então temos:

  X . 2X . 4X = 1728

  8X³ = 1728

  X³ = 1728/8

  X = RAIZ CÚBICA DE 1728 = 6

  Substituindo, temos 6, 12 e 24

   

• Tentando as fórmulas cheguei numa equação. Desisti. Fui por tentativas através das respostas e constatei que a pessoa mais velha  teria 144 anos!!! Achei improvável que a banca usasse uma impossibildade real... mas não tem nada a ver... pode sim.

• GABARITO – E

   

  Resolução:

   

  João (x)

  José (y)

  Maria (z)

   

  x . y . z = 1728

   

  Propriedade de uma PG de três termos (x, y, z):

   

  y^2 = x . z

  y . y^2 = 1728

  y^3 = 1728

   

  ⁞

   

  1728 I 2

  864 I 2

  432 I 2

  216 I 2

  108 I 2

  54 I 2

  27 I 3

  9 I 3

  3 I 3

  1

   

  ⁞

   

  3^√2^3 . 2^3 . 3^3 = y

  y = 2 . 2 . 3

  y = 12

• a1*a2*a3 = 1728 

  a2 = a1 * q

  a3 = a1 * q^2 

  substituindo:

  a1*a1*q*a1*q^2 = 1728

  a1^3*q^3 = 1728

  A1*q1 = (1728)^1/3  (ou raiz cubica de 1728)

  a1*q1 = 12 = a2 (idade de José)

• (João, José, Maria)

  (a1, a2, a3), ou (a1, a1*q, a1*q²)

  a2 (a1 * q) = ?

  a1 * a1.q * a1.q² = 1728

  a1 * q³ = 1728

  a1 * q = ³√1728

  a1 * q = 12

  ou seja, a2 = 12

  OBS: para não perder muito tempo com uma raiz quadrada grande assim, teste a resposta com as alternativas:

  12 * 12 * 12 = 1728

  GABARITO(E)

Questão 846463

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: LIQUIGÁS
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Assistente Administrativo; CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Motorista de Caminhão - Granel; CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Oficial de Manutenção
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função de 1º Grau ou Função Afim, Problemas com Equação e Inequações; Funções; Progressão Aritmética - PA; Progressão Geométrica - PG; Progressões

Considere uma função f: IR→IR, definida por f(x) = 2x + 5.
Se c_n , n ∈ IN* indica o termo geral de uma progressão aritmética decrescente, então a sequência de números reais d_n , definida por d_n = f(c_n ), n ∈ IN*, é uma progressão

• A. aritmética crescente
  
• B. aritmética decrescente
  
• C. geométrica crescente
  
• D. geométrica decrescente
  
• E. geométrica alternada
  

Gabarito: B

Comentários

• Parabéns para quem acertou essa questão.

  
  

  Tenho certeza que esse conhecimento complexo de matemática será extremamente útil em seu cargo.

• nossa! kkkkkkk cesgranrio querida, que mau humor.

• temos a resposta no texto, Letra B,aritmética decrescente !

• Matei na questão tb, mas achei que levei muita sorte

   

• f(x) = 2.x + 5 ---> f(x) é uma função linear

  Se x for o termo geral de uma PA decrescente, f(x) também será o termo geral de uma PA decrescente.

   

  Eis um exemplo PA de x ---> ........ 4, 3, 2, 1

  Para x = 1 ---> y = 7

  Para x = 2 ---> y = 9

  Para x = 3 ---> y = 11

  Para x = 4 ---> y = 13

  .................................

  ............. 13, 11, 9, 7 ---> PA decrescente

  http://pir2.forumeiros.com/t97060-aritmetica-crescente

• O examinador diz o seguinte:

  f(x)= 2x + 5

  Observação 1: Cn é uma P.A. Decrescente, tal que n pertence aos números naturais. O que ele disse basicamente foi que n é maior ou igual a 0, não podendo haver posições negativas.

  Observação 2: Ele deu o termo geral da sequência Dn= f (Cn) e, novamente, ele reforçou que n pertence aos números naturais, não podendo haver posição negativa também em Dn.

  Observação 3: Vi que alguns colegas disseram que o próprio enunciado dá a resposta. Ele não dá! Veja: O examinador perguntou sobre a sequência Dn e não sobre Cn.

  Como ele diz apenas que Cn é uma P.A. decrescente, iremos supor que a razão seja -2 e comece pelo número 8.

  C1= 8 ; C2= 6; C3= 4; C4= 2...

  Agora iremos aplicar em Dn:

  N sendo igual a 1

  Dn= f (Cn)

  D1= f (C1)

  D1= f (8)= 2 x 8 + 5= 21

  N sendo igual a 2

  D2= f(C2)

  D2= f(6)= 2 x 6 + 5= 17

  N sendo igual a 3

  D3= f (C3)

  D3= f (4)= 2 x 4 + 5= 13

  Conclusão: Dn = (21, 17, 13...) é uma P.A. decrescente.

  Gabarito B

Questão 850450

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: BNDES
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - BNDES - Técnico de Arquivo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, cuja razão tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12.


Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica?

• A. 1
• B. 3
• C. 6
• D. 9
• E. 12

Gabarito: B

Comentários

• 
  Q 283481
  
  Progressão geométrica  (  PG):  ( 3, 3/2, 3/4, 3/8,…) . Essa sequência é uma  PG pois obedece a uma regra básica: um termo posterior é igual ao seu termo anterior vezes uma constante.
     3 x ½  = 3/2
  3/2 x ½  =3/4
  3/4 x ½ = 3/8 
  No caso a constante numérica ½  é chamada de razão da PG,  que representa-se por    q   
     q = 1/2              
  PG:  ( a₁, a₂, a₃, ... a_n)          =        ( 3, 3/2, 3/4, 3/8,…)
  No caso  a₁  = 3 ,  a₂ = 3/2 ,  a₃ = 3/4 ,   a₄ = 3/8     etc. Os parênteses são para indicar a ordem dos termos na sequência. No caso o 3 está na posição 1 ou primeiro termo. As reticências são para indicar que é uma sequência infinita. No caso, PG infinita.
  Para a soma de uma PG infinita temos a seguinte expressão : Sn = a1/ 1-q
  Sendo q  < 1  a₁ o primeiro termo e Sn a soma dos termos de uma PG  
  Quanto dará a soma: 3 + 3/2 + 3/4 + 3/8 +...?   (I)
  a₁= 3,  q = ½   então S_n = a1/ 1-q = 3/( 1- ½) =3/ ½ = 6
  Experimentando somar todos os termos ao quadrado dessa mesma PG:
  3² + (3/2)² + (3/4)² + (3/8)² ...     fica
  9 + 9/4 + 9/16 + 9/64 + ...  (II)      a’₁ =9  e  q’= 1/4      comparando com (I)  ficou (a1)²  e q²
  Ou  Sn’ = (a₁)²   / 1- q² = 9/ (1- ¼) = 9/ (3/4) = 36/3 = 12
• 
  Com  os dados  do problemas temos:
   soma da PG : Sn = a1/ 1-q  ou 6 =a₁/ 1- q     isolando a₁:   a₁= 6. (1-q)  (III)
  e a soma dos quadrados dos termos dessa mesma PG: Sn’ = (a₁)²   / 1- q²
  12 = (a₁)²/ 1- q²    (IV)
  Substituindo (III) em (IV):
  12 =( 6. (1-q))²/ 1 - q²             Lembrando: a² – b² = (a+b). (a – b)
   
   12 = (36. (1-q). (1-q))/(1-q).( 1+q)              (cancelados (1-q)
  12= 36.(1-q)    
              (1+q)                                (   multiplicando em cruz ou X)
   
   12(1+q) = 36.(1-q)                       (foi multiplicado em cruz)
   
  12 + 12q = 36 – 36q                    (trocando de lado da igualdade, juntado os termos semelhantes,  e reduzindo-os)
  48q = 24
  q = 24/ 48 = 1/2
  Substituindo em    a₁= 6. (1-q)  (III)
  Fica  a₁= 6. (1-1/2)  = 6.1/2 = 3
  Resposta b
   
   
• Fórmula geral de uma PG infinita:
  
  Sn=...a1...
  ......1-q
  
  A 1ª parte da questão:
  A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, 
  cuja razão tem módulo menor que 1, é igual a 6
  
  6=...a1...→a1=6.(q-1)
  .....1-q
  
  A 2ª parte da questão:
  A soma dos quadrados dos termos dessa progressão é 
  igual a 12
  
  12=...a1²...→a1²=12.(1-q).(1+q)
  ......1-q²
  
  Substituindo a1:
  [6.(1-q)]²=12.(1-q).(1+q)→
  36.(1-q).(1-q)=12.(1-q).(1+q)→
  3.(1-q)=(1+q)→
  3-3q=1+q→
  -3q-q=1-3→
  -4q=-2 (.-1)→
  4q=2→
  q=2/4 . : q =½
  
  Substituindo q:
  a1=6.(1-q)→
  a1=6.(1-½)→
  a1=6-3 . : a1= 3

• Questão resolvida no vídeo do link abaixo.

  https://www.youtube.com/watch?v=13dY0hvXYjs

  Bons estudos.

• Conseguimos resolver esta questão usando a lógica e a eliminação de alternativas.

  Vamos lá!

  A primeira jogada, é eliminar as alternativas 6, 9 e 12; Pois a soma dos termos da PG é igual a 6; logo qualquer valor somado a 6, ultrapassará esta somatória, já que a razão está em módulo.

  A segunda jogada é eliminar a alternativa 1, visto que independentemente do expoente (de 0 à <1) o resultado sempre será 1, e quando for fazer a soma dos infinitos, termos ou dos quadrados destes, sempre ultrapassará o 6 e o 12.

  Obs1: Todo valor de módulo sempre será positivo ou zero.

  Obs2: Todo valor elevado a 0, terá sempre como resultado 1.

  Logo sobra a alternativa B) 3.

Questão 862141

• Banca: VUNESP
• Órgão: PM-SP
• Ano: 2012
• Provas: VUNESP - 2012 - PM-SP - Aspirante da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Os valores das parcelas mensais estabelecidas em contrato para pagamento do valor total de compra de um imóvel constituem uma PA crescente de 5 termos. Sabendo que a₁ + a₃ = 60 mil reais, e que a₁ + a₅ = 100 mil reais, pode-se afirmar que o valor total de compra desse imóvel foi, em milhares de reais, igual a

• A. 200
• B. 220.
• C. 230.
• D. 250.
• E. 280.

Gabarito: D

Comentários

• 
  a1+a3=60                                        a1+a5=100
  a1+a1+2r=60                                   a1+a1+4r=100
  2a1+2r=60                                        2a1+4r=100  
             
  Somando as duas equações
  2a1+2r=60 (x-2) --> -4a1-4r=-120
  2a1+4r=100--------> 2a1 +4r=100
  
  -2a1=-20
  a1=10 mil reais
  
  Substituindo na eq acima
  2x10+2r=60
  20+2r=60
  2r=40
  r=20mil reais (Razão da progressão) 
  
  Portanto podemos escrever a PA de 5 termos
  
  PA-- (10,30,50,70,90)mil
  Pela soma temos
  
  S5= (an+a1).n/2 ---> (90 +10).5/2 =250 mil reais
• Existe uma fórmula de PA que trata exatamente da soma dos termos de uma progressão aritmética onde utilizamos somente o primeiro, o ultimo termo e a razão dos termos. Segue: Sn = (A1+ An).n / 2
  Sendo Sn (soma dos termos)
  A1 (primeiro termo)
  An (Último termo)
  n (numero de termos)
  
  A questao já nos dá a soma do primeiuro e do ultimo termo: 100.000,00
  Sendo assim teremos: Sn = (100 000).5/ 2
  
  Sn = 500 000 /2 
  Sn= 250 000
• A fórmula da soma de elementos de uma "PA", mataria essa questão em dois segundos:
  
  Sn=(a1+an)n/2
  
  Sn= (a1+a5)5/2
  
  Sn=100x5/2
  
  Sn=250
  
  Até!

• Soma dos termos de uma P.A. finita:

  sendo a P.A. (a1, a2, a3, a4,a5)

  1) se a1 + a5 = 100, então a2 + a4 = 100

  2) o termo central, quando existir, é a média aritmética entre os extremos. Nesse caso, o termo central é a3.

  a3 = (a2 + a4) / 2 = 50

  3) o valor total de compra do imóvel é: 100 + 100 + 50 = 250 mil. 

• PA de 5 termos ( a1, a2, a3, a4, a5 ) onde :

  a1 + a3 = 60000                 a1 + a5 = 100000

  a1 = 60000 - a3                  a1 = 100000 - a5 

  Como a5 é igual a2 + a3 vamos substituir: 

  a1 + a5 = 100000

  60000 - a3 + a2 + a3 = 100000

  a2 = 40000 (esse não é o verdadeiro valor de a2 isolei ele só para facilitar minha conta para achar a razão, lembre-se eu ainda não tinha minha razão)

  Como a3 é igual a1 +a2, faremos o seguinte: 

  a1 + a3 = 60000

  a1 + a1 + 40000 = 60000

  2a1 = 20000

  a1 = 10000

  Agora basta substituir :

  a1 + a5 = 100000

  10000 + a5 = 100000

  a5 = 90000

  vamos agora achar a razão 

  an = a1 + (n-1)r

  90000 = 10000 + (5-1)r

  80000 = 4r 

  r = 20000

  PA = (10000, 30000, 50000, 70000, 90000) somando tudo 250000 

  
  

• A soma dos termos equidistantes dividido por 2 é igual a mediana

  A1+A5/2= A3

  A1+A5=100MIL

  A3=100MIL/2

  A3= 50 MIL

  A1+A3= 60

  A1=10 MIL

  [...]

  A3= A1+2R

  60=10+2R

  R= 20 mil

  [...]

  An = a1+ ( n- 1 ) r

  An= 10+ (n-1) 20

  An= 10 + 20n-20

  An= 20n -10

  [...]

  SomaT = 10 + (20n-10) 5/2

  SomaT = 10 + ( 100-10)5/2

  SomaT= 10+ (500-50)/2

  SomaT = 10 + 450/2

  SomaT = 460/2

  SomaT= 230 mil

  LETRA C

  APMBB

• Tem os seguintes temos: a1, a2, a3, a4 e a5... Se a1+a5 resulta em 100k, logo a2 e a4 também (propriedade de PA),assim já tem 200k

  a3=; a2+a4/2 = 50k

  Assim, 100k + 100k + 50k = 250k

Questão 862969

• Banca: CEFET-BA
• Órgão: EBAL
• Ano: 2010
• Provas: CEFET-BA - 2010 - EBAL - Assistente; CEFET-BA - 2010 - EBAL - Operador
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Em um relatório em que são citados os 15 produtos mais vendidos em uma loja, observa-se que eles estão enumerados em ordem crescente de preços e que, curiosamente, cada item difere do subsequente em R$1,50.
Multiplicando-se o preço do item mais caro dessa lista pelo preço do item mais barato, obtém-se um valor igual a 72.
Então, o preço médio dos itens dessa lista é, em reais, igual a

• A. 8,50
• B. 11,00
• C. 13,50
• D. 16,00
• E. 18,50

Gabarito: C

Comentários

• A1 x A15 = 72

  r = 1,5

  A1 = a1

  A15 = a1 + 14 r

  a1 x a15 = 72

  a1 x (a1+14x1.5) = 72

  a1^2 + 21a1 -72 = 0

  A = 1 B= 21 C= - 72

  Delta = b^2 - 4ac

  D = 21^2 - 4.1-72

  D = 441 + 288

  D = 729

  D = 27

  x' = (-21+27)/2 = 6/2 = 3

  x'' = (-21-27)/2 = -48/2 = -24 (descarta)

  Sn = {(a1 + a15).n} /2

  Sn = {(3+24). 15}/2

  Sn = (27x15)/2

  Sn = 405/2

  Sn = 202,5

   

  202,5 / 15 = 13,5 Resposta C

              

Questão 863242

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: PM-AL
• Ano: 2012
• Provas: CESPE - 2012 - PM-AL - Aspirante da Polícia Militar
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Em determinada cidade, serão realizados, de 2011 a 2025, concursos anuais para a admissão de novos policiais para a corporação local. A sequência numérica C₀, C₁, ..., C₁₅ corresponde à quantidade de soldados na corporação, a cada ano: C₀ = quantidade de soldados em 2010; C₁ = quantidade de soldados em 2011; e assim sucessivamente. Considerando-se que, no referido período, não haverá saída de soldados da corporação por qualquer motivo e que a sequência C₀, C₁, ..., C₁₅ é uma progressão aritmética, em que C₀ = 380 e C₄ = 500, é correto afirmar que, em 2025, a quantidade de soldados na corporação será

• A. inferior ou igual a 780.
  
• B. superior a 780 e inferior ou igual a 800.
  
• C. superior a 800 e inferior ou igual a 820.
  
• D. superior a 820 e inferior ou igual a 840.
  
• E. superior a 840.
  

Gabarito: D

Comentários

• an=a1+(n-1)r
  c4=500=a5
  c0=380=a1
  
  500=380+(5-1)r
  500-380=4r
  r=30
  
  c15=a16
  c15=380+15.30
  c15=830
  
  alternativa D

• Eu queria saber porque o n é igual a 5.

• Karin:

  C0 é a1

  C1 é a2

  C2 é a3

  C3 é a4

  C4 é a5

• o professor do alfacon encontrou letra E. Também encontrei letra D. Fiquei na Dúvida agora

• segundo ele, era o a17. eu achei a16 referente ao ano de 2025

• na verdade, é a letra d mesmo. 830 é a resposta, corroborando a resposta do Marcel.

• Exato, questão na Alfacon era para ser C15 e não C16 em 2025. Ou seja, 830. Professor viajou na manteiga derretida.

• Prof do alfacon me confundiu pa carai kkkkkk

• Buguei legal kkkk

• Achar a razão:: 500 - 380= 120 depois 2010-2014= 4

  divide 120/4::: 30

  Achar o termo: a16= a1+15.r

  a16= 380+15.30= 830

  ;)

• 2025= 830 soldados

  CFO PMAL 2021

• Fórmula geral: An = Ax+(N-x).R

  500 = 380+(4-0).R

  500-380 = 4R

  120/4 = R

  R=30

  Sendo C0=2010, C1=2011, C2=2012... C10=2020... C15=2025

  Fórmula geral: C15 = 380+(15-0).30

  C15 = 380+450

  C15 = 830

• C4= a5, pois o C começou do C0

  Para achar a razão usamos a fórmula do termo geral:

  An= a1+(n-1).r substituindo:

  500= 380+(5-1).r

  500= 380+4.r

  500-380=4.r

  120=4.r

  r= 120/4

  r= 30

  Para achar o termo geral:

  An= a1+(n-1).r

  An= 380+(16-1).30

  An= 380+15.30

  An=380+450

  An= 830

  De onde saiu o 16? É o C15 convertido para o a16, pois começou no C0

• Professor do Alfa confundiu; 2025 era referente ao C15. resposta final é 830. letra D

Questão 874141

• Banca: COPEVE-UFAL
• Órgão: UNEAL
• Ano: 2013
• Provas: COPEVE-UFAL - 2013 - UNEAL - Vestibular - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

O Sr. Antônio, vendedor ambulante de pipocas, está entusiasmado com o seu novo ponto de vendas. No primeiro dia da mudança, vendeu 42 sacos; no segundo, 45; e no terceiro, 48.

Se este padrão de crescimento das vendas se mantiver durante os próximos 30 dias, quantos sacos de pipoca o Sr. Antônio venderá no trigésimo dia?

• A. 87
• B. 90
• C. 129
• D. 132
• E. 180

Gabarito: C

Comentários

• No primeiro dia da mudança, vendeu 42 sacos; no segundo, 45; e no terceiro, 48. Assim, vemos que se trata de uma P.A. de razão 3, cuja fórmula é a_n = a₁ +  (n-1)r. Onde a₁ = 42 e n = 30, substituindo na fórmula: a₃₀ = 42 + (30-1)3 = 42 + 87 =129

  
  

  Letra C.

  
  

• Trata-se de uma PA:

  (42, 45, 48, ...) -> Razão r = 3, a1 = 42.

  A questão pergunta quanto será o termo 30 dessa PA, então n = 30.

  A fórmula para descobrir os termos de uma PA é: an = a1 + (n-1) * r, então temos:

  a30 = 42 + (30 -1) * 3

  a30 = 42 + 87 = 129, letra c).
  

Questão 874702

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: EPE
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - EPE - Assistente Administrativo
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Os irmãos Antônio, Beatriz e Carlos comeram, juntos, as 36 balas que havia em um pacote. Mas Antônio achou a divisão injusta, já que Beatriz comeu 4 balas a mais que ele, e Carlos comeu mais balas do que Beatriz.

Se as quantidades de balas que os três irmãos comeram formavam uma progressão aritmética, quantas balas Antônio comeu?

• A. 4
• B. 6
• C. 8
• D. 10
• E. 12

Gabarito: C

Comentários

• 1º Informação: Antônio, Beatriz e Carlos comeram, juntos, as 36 balas.
  Logo temos: A+B+C=36
  2º Informação: Beatriz comeu 4 balas a mais que Carlos.
  Logo temos: Beatriz comeu A+4 balas
  3º Informação: As quantidades de balas que os três irmãos comeram formavam uma progressão aritmética.
  Logo temos: Antônio comeu A+8 balas
  Resolvendo: A+A+4+A+8=36
                       A=8
• Um PA (progressão aritmética) é uma seguencia de numeros obtidos por acrescimo de uma razão ao termo anterior. assim se um numero X está em PA seu antessessor será X - r e seu sucessor sera X + r termos então X-r + X + X+r = Somados três.
  (A)ntônio, (B)eatriz e (C)arlos.
  A+B+C= 36(I)
  Beatriz comeu 4 balas a mais que ele(Antonio). Então r=4, A = B-4(II)
  Carlos comeu mais balas do que Beatriz (Como é uma PA a taxa de almento é a mesma do aumenta de B para A isto é  r=4) C = B+4(III)
  Substituindo II e III em I temos;
  (B-4) +B + (B+4)=36;
  3B=36   assim    B=12. Se Beatriz(B) comeu 12 então Anonio comeu A = 12-4(II) = 8 balas.
  
  
• Muito simples, fiz a questão com base nas alternativas. Sabe-se que r = 4, então:
  
  a) Se A = 4, então B = 8 e C = 12, logo A+B+C = 24, que é diferente de 36.
  .
  .
  .
  c) Se A = 8, então B = 12 e C = 16, logo A+B+C = 36, sendo assim a alternativa correta !!
  
  
  Bons Estudos !!
• Ântonio =A=a1
  Beatriz= B=a2
  Carlos= C=a3
  
  Mas Antônio achou a divisão injusta, já que Beatriz comeu 4 balas a mais que ele, e Carlos comeu mais balas do que Beatriz.
  
  Modelagem Matemática
  
  a2=4 +a1       r=4                              PA (a1,a2,a3) r>0    S3=36balas
  
  
  a1+a2+a3=36
  a1+a1+r+a1+2r=36
  3a1+3r=36
  3a1+12=36
  3a1=24
  a1=8 balas     
  
  
  

• x + x + 4 + x + 8 = 36

  3x + 12 = 36

  3x = 24

  x = 8

• a  a+4  a+8

  total = 36

  3a + 12 = 36

  a = 8

  a  b   c

  8  12  16

  
  

• Como temos uma PA de 3 termos podemos fazer ==> usando a propriedade  => (a-r),(a),(a+r) 

  já temos a soma   (a-r) + (a) + (a+r) = 36  

  3a - r + r = 36

  3a = 36 

  a = 12

  se a = 12 então a-r = 8 e a+r =  16 logo os termos são 8,12,16

  Carlos comeu mais balas -->  Carlos comeu 16 balas  

  Beatriz comeu 4 a mais que Antônio --> Beatriz comeu 12 balas 

  Antônio comeu 4 a menos que Beatriz --> Antônio comeu 8 balas *** Resposta letra C ****

  
  

• A=a1                                             
  

  B=a2

  C=a3

  Numa soma dos termos em que temos três números consecutivos, ex: a, b e c ( a+b+c=?), podemos resolver na forma de média aritmética: b=a+c/2. Então temos:

  a1+a2+a3=36      
  

  a2=a1+4     
  

  a2=a1+a3/2 ( média )
  

  Como queremos o valor de a1 que corresponde a Antônio, teremos:

  a2=a1+4
  

  a3=2a2 - a1, substituindo  a3=2(a1+4) - a1 que fica: a3=a1 + 8, então:

  a1 + (a1 + 4) + (a1 + 8) = 36

  3a1 = 24 -------------------- a1 = 24/3 --------------------- a1 = 8

  Resposta: c
  

  
  

   
  

  
  

  
  

  
  

• perceba que na questão é dada a razão da P.A, ou pelo menos supõe-se que seja, igual a 4

  asiim da forma mais simples possível podemos resolver da seguinte forma:

  A +( A+4) + (A+8) = 36                         
  

  onde:                                                Portanto: Se, A = 8

  A = Antônio                                                             B = 8+4 = 12
  

  A+4 = Beatriz                                                         C = 8 + 8 = 16
  

  A+8 = Carlos

  Logo: A + A+4 + A+8 =36

            3A + 12 = 36

            3A = 36 - 12

            3A = 24

              A = 8
  

• Usando Raciocínio Lógico

  Dividindo igualitariamente, teríamos 12 balas para cada um:

  Antônio: 12

  Beatriz: 12

  Carlos: 12

  Sabemos que Beatriz comeu 4 balas a mais que Antônio, logo:

  Antônio: 8

  Beatriz: 12

  Carlos: 12

  Sabemos, também, que Carlos comeu mais balas que Beatriz, logo:

  Antônio: 8

  Beatriz: 11

  Carlos: 13

  GABARITO: C

• Ou eu to muito burro e dano bola fora(me corrijam por favor,todo mundo erra.)
  ou o Caimbra ai,está equivocado nesse comentário dele, nesses cálculos..
  porque nem o total de 36 não está satisfazendo.
  muito menos a diferença de uma constante.
  

• Tb não entendi o cálculo do colega Cambraia. Pra dar certo por esse raciocinio mantendo uma constante 4 teria que ser:

  Antônio: 8

  Beatriz: 12

  Carlos: 16 = 36 

  
  

• Vamos supor que todos os três tenham comido igualmente, assim:
  
  Antônio = 12
  Beatriz = 12
  Carlos = 12
  
  Sabemos que Beatriz comeu 4 balas a mais que Antônio e Carlos comeu mais balas do que Beatriz, então, rearrumando o esquema acima:
  
  Antônio = 8
  Beatriz = 12
  Carlos = 16
  
  Logo, vemos que o esquema respeita tanto a quantidade total de balas comidas, quanto a uma sequência de uma PA de razão 4.
  
  
  Resposta: Alternativa C.
  

• Fiz testando cada item da questão. As vezes a resposta sai mais rápido do que fazendo esse monte de conta e perdendo preciosos minutos na prova! 

  Gab: C

• Simples:

  x + x+4 + x+8 = 36

  3x=36-12

  x=24/3

  x= 8          Antônio = x=8

• Caro colega @Lucas Cambraia, (8, 11, 13) NÃO é uma PA. O seu raciocínio está errado.

• O exercício os diz que a quantidade de balas que os três comeram formam uma PA

  
  

  Então vamos ver:

  a1 = Antônio

  a2 = Beatriz

  a3 = Carlos

  
  

  a1 + a2 + a3 = 36

  a2 = a1 + 4 (já que sabemos que é uma PA, por essa informação concluímos que a razão é 4, pois o a2 é o a1 + uma constante)

  Agora basta fazer as substituições na primeira equação para encontrarmos o a1

  
  

  a1 + (a1 +4) + (a1 + 2*4) = 36

  3a1 + 12 = 36

  3a1 = 36 - 12

  3a1 = 24

  a1 = 24/3

  a1 = 8

  
  

  Sendo assim a PA fica: 8, 12, 16

  
  

  Alternativa C

• Resolvo essa e outras questões similares aqui nesse vídeo

  https://youtu.be/g89Cf9aNBv0

  Ou procure por "Professor em Casa - Felipe Cardoso" no YouTube =D

• Para resolver uma P.A/ P.G é preciso perguntar:

  - "O que a questão dá?"

  - "O que a questão pede?"

  - "O que preciso para resolvê-la?"

  O que dá?

  Dá a informação de que as quantidades de balas comidas por Antônio, Beatriz e Carlos foram uma P.A. E como Beatriz comeu 4 balas a mais que Antônio, essa é a razão da P.A:

  (a1 , a1 + 4 , a1 + 8)

  Também tem-se a informação que o total de balas é 36, então somando todas as quantidades temos 36:

  a1 + a1+4 + a1+8 = 36

  O que pede?

  Quantas balas Antônio comeu (a1).

  O que preciso para resolvê-la?

  Preciso resolver a soma de todos os valores para achar o a1:

  a1 + a1+4 + a1+8 = 36

  3a1 + 12 = 36

  3a1 = 36 - 12

  3a1 = 24

  a1 = 24/3

  a1 = 8

  GABARITO(C)

• a, a + 4, a + 8 = 36

  3a + 12 = 36

  36 - 12 = 3a

  24 / 3 = a

  a = 8

Questão 876781

• Banca: FEPESE
• Órgão: CASAN
• Ano: 2011
• Provas: FEPESE - 2011 - CASAN - Administrador
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

Uma empresa dá início a um plano de expansão e começa a contratar funcionários.

Na primeira semana ela contrata 8 funcionários, na segunda 12 funcionários, na terceira 16 funcionários e assim sucessivamente.

Considerando esta progressão, quantas semanas são necessárias, no mínimo, para que esta empresa esteja contratando mais do que 70 funcionários por semana?

• A. 16 semanas
• B. 17 semanas
• C. 18 semanas
• D. 19 semanas
• E. 20 semanas

Gabarito: B

Comentários

• 70 < 8 + 4n 62/4 < n n> 15,5 n = 16 an = 8 + 4*16 an = 72 > 70 gabarito a

Questão 876784

• Banca: FEPESE
• Órgão: CASAN
• Ano: 2011
• Provas: FEPESE - 2011 - CASAN - Administrador
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Uma companhia verifica mensalmente a presença de algas em um reservatório de água de uma cidade.

No mês de novembro, não há presença de algas no reservatório. Um mês após, nota-se a presença de 18 m² de algas na superfície do reservatório. Após dois meses, verifica-se a presença de 54 m² ; após três meses 162 m² e, assim, sucessivamente.

Considerando esta progressão, podemos afirmar que 6 meses após a verificação feita no mês de novembro, a presença de algas na superfície do reservatório sera de:

• A. 1458 m²
• B. 3822 m²
• C. 4374 m²
• D. 9633 m²
• E. 13122 m ²

Gabarito: C

Comentários

• Trata-se de uma Progressão Geométrica (PG)

  an = a1 x q^(n-1) = 18 x 3^(6-1) = 4.774m2

  an = número que queremos obter;

  a1 = primeiro termo da sequência;

  q = razão;

  n = quantidade de elementos da PG.

  Fonte: https://www.todamateria.com.br/progressao-geometrica/

• 6 meses após a verificação feita no mês de novembro:

  2 x (3^7)

  alt. C

Questão 888508

• Banca: VUNESP
• Órgão: UNESP
• Ano: 2012
• Provas: VUNESP - 2012 - UNESP - Vestibular - Primeiro Semestre
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Aritmética - PA; Progressões

A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n² – 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente,

• A. 7 e 1.
  
• B. 1 e 6.
  
• C. 6 e 1.
  
• D. 1 e 7.
  
• E. 6 e 7.
  

Gabarito: B

Comentários

• vamos calcular a soma para os quatro primeiros termos(n=4);
  sn=3n² – 2n
  s4=3*4² – 2*4
  s4=48 – 8;
  s4=40
  De forma generica a soma dos quatro primeiros termos de uma progrssão aritmética é;
  a1+a2+a3+a4=sn  
  a1+a2+a3+a4=40   (onde a2=a1+r;  a3=a1+2r;   a4= a1+3r) substituindo a2,a3 e a4 temos;
  a1+a1+r+a1+2r+a1+3r=40
  4a1+6r=40 (/2)
  2a1+3r=20(I)
  vamos calcular a soma para os cinco primeiros termos(n=5);
  s5=3n² – 2n
  s5=3*5² – 2*5;
  s5=75 – 10;
  s5=65;
  De forma generica a soma dos cinco primeiros termos de uma progrssão aritmética é;
  a1+a2+a3+a4+a5=sn  
  a1+a2+a3+a4+a5=65    (onde a2=a1+r;  a3=a1+2r;   a4= a1+3r;  a5=a1+4r) substituindo a2,a3,a4 e a5 temos;
  
  a1+a1+r+a1+2r+a1+3r+a1+4r=65
  5a1+10r=65 (/5)
  a1+2r=13(II)
  
  (I) e (II) formam um sistema de equaçoes;
  2a1+3r=20(I)
  a1+2r=13 (II) 
  
  2a1+3r=20
  a1+2r=13*(-2)
  
  2a1+3r=20
  -2a1-4r=-26
  -r=-6
  r=6  (a razão é 6) substituindo em uma das equaçoes temos;
  a1+2r=13 (II) 
  a1 +2*6=13
  a1+12=13
  a1=1
  
  assim a1=1 e r=6 alternativa B
•  Olá, Paulo vc respondeu a  Q296167 sobre PA, e me deixou uma dúvida, como que sei que na primeira equação eu uso 4 termos e na segunda equação eu uso 5 termos?
   
  Obrigada
• " Olá, Paulo vc respondeu a  Q296167 sobre PA, e me deixou uma dúvida, como que sei que na primeira equação eu uso 4 termos e na segunda equação eu uso 5 termos?"
  
  olá Thaíse. Na verdade na importa quantos termos voçê usará para encontrar as duas equaçoes. Eu poderia ter usado 2 termos para encontrar a primeira e cinco termos para encontar a segunda equação.  o que não pode é usar o mesmo número de termos para encontrar as duas equaçoes.
  
  Há! antes que eu esqueça, não é sempre que olho asquestoes que respondo. Por isso mande-me um recado, é mais garantido que eu veja!

• Sabendo que a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P. A. é   (I), para encontramos o a₁, basta substituir n = 1 e igualarmos a equação (I) com a equação dada no enunciado:
  
  

                                
  
  

  Para encontramos a razão, vamos continuar a igualar as equações, só que desta vez já sabemos quanto vale a₁:

                                                              
  
  

  Sabemos que a_n = a₁ + (n - 1) . r (III). substituindo (III) e (II):
  
  

                                              
  
  

  Logo r = 6
  
  

  Letra B