SóProvas


ID
1216312
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Petrobras
Ano
2014
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Os números naturais m, w e p constituem, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 4, enquanto que os números m, (p + 8) e (w + 60) são, respectivamente, os três termos iniciais de uma progressão geométrica de razão q.

Qual é o valor de q?

Alternativas
Comentários
  • Progressão Aritmética(m, w+4, p+8)

    podemos dizer então que: 

    w = m + 4 

    p = m + 8 

    Progressão geométrica (m, p+8, w+60), agora basta substituir o "p" por (m+8) e "w" por(m+4)

    (m, m+8+8, m+4+60) = (m, m+16, m+64) Por definição, podemos dizer que: (m + 16)² = m(m+64), assim temos:

    m² + 32m + 256 = m² + 64m
    m² - m² + 32m - 64m = -256
    32m = 256
    m = 8

    Sabendo o valor de 8, vamos montar a P.G.

    m , (m + 16) e (m + 64)
    8  , (8 + 16) e (8 + 64)
    8 , 24 e 72

    Assim para acharmos o valor de q, basta dividirmos xq / x, assim:

    24 / 8 = 3
    e/ou
    72 / 24 = 3


  • Sendo  PA = ( m , W , P )  de razao r = 4
    entao : PA = ( m , m+4, m+8 )  pois: An = A(n-1) + r  na PA.

    portanto: W = m + 4
      P = m + 8

    Como a  PG e' do tipo:

      PG = ( m , P+8 , W+60 )

    Substituindo os valores de W e de P, temos:

      PG = ( m , m+8+8 , m+4+60 )
       
      PG = ( m , m+16 , m+64 )

    Lembrando que na PA o segundo termo e' dado por:

     m+4 = [ m + m+8 ]/ 2  contudo aqui nao sera' necessario, e ..

    na PG o segundo termo sera' extremamente importante sabe-lo, e e' nada
    mais nada menos que a dita razao " q " que estamos procurando, e, e'
    obtida por:
       
      A2/A1 = A3/A2 = ...==>  ( A2 )^2 = A1 * A3   

    olhando na PG quem sao os termos A1 , A2 e o A3, substituindo-os e e...
    elevando o termo ao quadrado e depois isolando o m. Obs: Importante pois as vezes faz-se necessa'rio criar um sistema e ainda podera' ser uma equacao
    de segundo grau, tendo que extrair as suas raizes atraves de Baskara, nao
    sera' o caso deste problema, pois o termo "quadratico" sera' nulo.

     ( m+16 )^2 = ( m * m+64 )

     entao:  m^2 + 32m + 256 = m^2 + 64m

      m^2 - m^2 +32m - 64m + 256 = 0

    cancele termos, some os demais...

      - 32 m + 256 = 0

      m =  [-256/-32]   
     
      m = 8

    Daqui em diante e' so' substituir na PA e na PG o valor " m "

     PA = ( 8 , 12 , 16 )

     PG = ( 8, 24 , 72 )

    onde a razao "q" da PG e' ou sera'...

      24/8 = 72/24 = 3   

      .:. q = 3

  • PA (m, w, p)

    Como a razão da PA é 4, podemos dizer então que:
    w = m + 4
    p = m + 8 

    Então a PA ficaria: (m, m+4, m+8)

    Substituindo estes valores na P.G. temos:

    m, (p + 8) e (w + 60)
    m , (m + 8 + 8) e (m + 4 + 60)
    m , (m + 16) e (m + 64)

    Utilizando a Propriedade que diz: Numa PG com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos.

    Podemos dizer que: (m + 16)² = m(m+64), assim temos:

    m² + 32m + 256 = m² + 64m
    m² - m² + 32m - 64m = -256
    32m = 256
    m = 8

    Sabendo o valor de 8, vamos montar a P.G.
    m , (m + 16) e (m + 64)
    8 , (8 + 16) e (8 + 64)
    8 , 24 e 72

    Assim para acharmos o valor de q, basta dividirmos um termo pelo seu anterior, assim:

    24 / 8 = 3 ou 72 / 24 = 3

    Logo, q=3.

  • Usando a primeira informação onde m, w, p formam uma P.A. de razão 4:



    Aplicando a fórmula acima para m, w, p:



    Usando agora a segunda informação, onde os números m, (p + 8) e (w + 60) são, respectivamente, os três termos iniciais de uma progressão geométrica de razão q:

                                  

    Aplicando a fórmula acima para m, w, p:



    Fazendo q = q e substituindo as equações w = m + 4  e  p = m + 8:


    Elevando ambos os lados ao quadrado:



    Como p = m + 8, então p = 8 + 8 = 16

    Agora que já sabemos o valor de p e m, basta substituirmos seus valores na equação abaixo para descobrirmos o valor da incógnita q, assim:

                                

    Resposta: (B)



  • Mateus, a conta deu certa, mas dizer que:

    m+64 / m = 64 NÃO PODE!!!!

    Em cima é uma soma, não podemos sair cortando. E numa equação, o que vc fizer de um lado da igualdade, tem que fazer no outro. Se vc manteve o lado esquerdo como estava, o raciocínio está errado. Numa próxima questão vc pode errar o resultado por causa disso.

  • Eugênia da Costa Vianna Barbosa obrigado por reparar meu erro, eu realmente não havia levado em consideração o sinal de +(adição), estaria correto se houvesse sinal de multiplicação.Ex: 64m/m = 64, peço desculpas pelo equivoco e obrigado por me corrigir afinal de contas estamos aqui para aprender ;).

  • Aprendi muito com o comentário da Alessandra

  • m,p, w  E  IN =>   m,p,w > 0 
     
    PA (m,p,w); r=4  =>    Equação PA an = a1 +(n-1)*r   =>  nova PA (m,m+4, m+8); r=4 
    PG (m, p+8, w+60); q  =>  Segundo a nova PA acima, p=m+4 e w= m+8  => nova PG (m, m+16, m+64); q   

    OBS: Equação PG   an = a1*q^(n-1)
    Sendo n=2, temos a2 = m+16 =>  m+16 = m* q^(2-1) =>   m*q - m = 16 =>    m*(q-1)=16  => m = 16 / (q-1)
    Sendo n=3, temos a3 = m+64 => m+64 = m*q^(3 -1) => m.q2 - m =64  =>  m*(q2-1) = 64 => m = 64 / (q2-1)

    Substintuindo o valor de m, temos;
    OBS: a2-b2= (a+b)*(a-b), sendo a, b diferente 0.
      64 / (q2-1) =16 / (q-1), sendo q diferente 0, temos q2-1 = (q+1)*(q-1)
    64 / [(q+1)*(q-1)] = 16 / (q-1) =>  64 / 16 = [(q+1)*(q-1))] / (q-1) => 4 = q+1 =>>>> q=3 (Letra B )      
  • Alessandra mandou bem! Vlw!!

  • Cesgranrio bota pra lascar em todas ...

  • UAI,  professor do Q esqueceu da propriedade do termo médio da PG

  • alessandra, pq deu 32 m ? não seria somente os 256, pois  é o quadrado do termo medio. Então seria somente elevar ao quadrado o 16.

  • pq deu 32 m ? não seria somente os 256, pois  é o quadrado do termo medio. Então seria somente elevar ao quadrado o 16.

  • Para quem tem dúvida no comentário da Alessandra, lembrem dos produtos notáveis. ( m+16 )^2 é um produto notável onde tem que fazer assim:

    M ^2 + 2 x 16 x M + 16 ^2 = M^2 + 32 M + 256 

    No mais, leiam o comentário dela e não o do professor. Ela explicou bem melhor.

    Espero ter ajudado tb. Bons estudos. 

  • Complementando:

     

    Para quem não lembra das regras de produtos notáveis: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

     

    Basta fazer a operação (a+b).(a+b) que dá no mesmo

    Logo, 

    (m + 16)^2 = m^2 + 2*16m + 16^2

    m^2 + 32m + 256

     

    Só não façam (a+b)^2 = (a^2 + b^2) porque está errado!

  • muuuuuito maneiraaa

     

  • Eu fui por dedução

    Coloquei na P.A   m= 8 , W= 12, P= 16

    Dai calculei a P.G  M=8 , P+8= 24 , W+60= 72

    Peguei 24/8= 3 ou 72/24= 3

     

  • Oi pessoal! Tudo bem com vocês!?

    Quem puder dar uma força se inscrevendo no meu canal, ativando o sininho e indicando para os amigos, o link está abaixo. No mesmo, consta a resolução dessa questão da CESGRANRIO 2014.

    https://youtu.be/SYibDZXF_8g

  • Questão resolvida no vídeo do link abaixo

    https://www.youtube.com/watch?v=ugUNCWP0BtA

    Bons estudos.