Explicando melhor:
Na distribuição exponencial, a Função de Distribuição Acumulada é F(x) = 1 - e^-x/λ para 0 < x < ∞
X ~ Exp (λ)
x = tempo de falha
λ = tempo médio de vida útil , sendo que seu o valor esperado para esta parametrização F(x) = 1 - e^-x/λ é E(X) = λ
(cuidado: há outra parametrização F(x) = 1 - e^-λ*x, para a qual E(X) = 1/λ )
Para o exercício:
λ = θ e F(x) = 1 - e^-x/θ
F(x) significa a probabilidade de um tempo de vida útil ser igual ou menor que θ, isto é F(x) = P(X ≤ θ). Mas o que se deseja é que a vida útil de θ horas seja atendida, isto é, que não falhe até θ horas de funcionamento, portanto, quer-se que a falha acorra após θ horas, o que significa achar a probabilidade complementar de F(x), portanto, se deseja 1 - F(x) = 1 - P(X ≤ θ) = P(X > θ) , sendo x = θ.
P(X > θ) = 1 - (1 - e^-x/θ) = 1 - 1 + e^-x/θ = e^-θ/θ = e^-1
LETRA e)