Outro método possível de utilização é a função de Cobb-Douglas;
Vou chamar X de carne e Y de água.
A fórmula para restrição orçamentária seria assim:
M = X^2Y^6
Quantidade a gastar com o bem X
X = A/A+B * M/Px
A= alpha; B= Beta - ambos correspondem aos coeficientes de X e Y respectivamente.
M = Restrição orçamentária
Px = Fator que multiplica X
Ficando assim no caso adaptado para restrição orçamentária:
X = 2/2+6 * M/1
*** Para adaptar para Y, basta utilizar a fórmula nesta seguinte acepção > Y = B/A+B * M/Py
Mas como se trata de utilidade e não temos M, podemos adequar a fórmula:
1) U (x,y) = X^2Y^6
2) Como o exercício nos pede para calcular Z, ou melhor, Y, utilizemos a segunda fórmula > Y = B/A+B * M/Py, ignorando M/Py.
3) Y = 6/2+6 = 6/8 = 0,75 => 0,75*100 = 75% gasto com o bem Y ou como a atividade convencionou chamar bem Z (água).
Atenção aos comentários equivocados pessoal!
O método correto para resolver essa questão é simples: identificação das demandas marshalianas a partir da função de utilidade Cobb-Douglas.
U (x, y) = K . x^a . y^b
U (x, y) = x^2 . z^6
a = 2
b = 6
R = restrição orçamentária (não informada)
px = preço da carne (não informado)
pz = preço da água (não informado)
x* = { a / ( a + b ) } . R / px = { 2 / (2 + 6) } . R/px = 1/4 . R/px = 25% . R/px
z* = { b / ( a + b ) } . R / pz = { 6 / (2 + 6) } . R/pz = 3/4 . R/pz = 75% . R/pz
Ou seja, a demanda de água corresponde a 75% do orçamento relativo a água. Isso significa que a cesta ótima é diversificada (não há soluções de canto com o comprometimento de todo o orçamento relativo a cada um dos bens com os respectivos bens: isso corrobora o princípio da média/diversificação das cestas de consumo na Teoria do Consumidor - as médias são superiores aos extremos).
GABARITO: E
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Bom, para aqueles que não querem decorar as fórmulas acima e desejam compreender como se chega nelas, segue abaixo a fundamentação matemática para as demandas marshalianas:
CURVA DE INDIFERENÇA (inclinação)
Teorema dos limites: f’(x) = lim (h→ 0) ∂y / ∂x = ∆y / ∆x = { y(x+h) – y(x) } / (x + h – x)
U (x, y) = K . x^a . y^b
Umgx = ∆U / ∆x = aK . x^a-1 . y^b
Umgy = ∆U / ∆y = bK . x^a . y^b-1
Inclinação da curva de indiferença = TmgS(U)
TmgS(U) = ∆y / ∆x = ∂y / ∂x
Variações ( ∆U ) dentro de uma mesma curva de indiferença resultam em,
Umgx = ∆U / ∆x >>> ∆U = ∆x . Umgx
Umgy = ∆U / ∆y >>> ∆U = ∆y . Umgy
- ∆U = + ∆U
- ∆x . Umgx = + ∆y . Umgy
∆y / ∆x = - Umgx / Umgy
TmgS(U) = - Umgx / Umgy
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA (inclinação)
R = px.x + py.y
py.y = R – px.x
y = R/py – (px/py).x
inclinação de RO = y’(x) = -px/py
OTIMIZAÇÃO: Inclinação de U = inclinação de RO
(-) Umg(x1) / Umg(x2) = - px / py
Umgx / px = Umgy / py
aK . x^a-1 . y^b / px = bK . x^a . y^b-1 / py
x^-1 . y^1 = (b / a) . (px / py)
y = (b / a) . (px / py) . x
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA (CUSTO TOTAL)
R = px . x + py . y
R = px . x + py . (b / a) . (px / py) . x
R = px . x + (b / a) . (px) . x
R = x {px + (b / a) . px}
R = x { a.px + b.px} / a
R = x { px . (a + b) } / a
x = (a / a+b) . R / px
x* = { a / ( a + b ) } . R / px
y* = { b / ( a + b ) } . R / py
Bons estudos!