Acredito que seja o seguinte pessoal. O enunciado pede a equivalência e a negação, nesses casos, devemos focar apenas na negação.
A proposição diz que EXISTE, Logo sua negação é, ou NÃO EXISTE/NENHUM mais a mesma proposição, ou TODO/PARA TODO/ QUALQUER QUE SEJA mais a NEGAÇÃO da proposição.
Não temos a opção de resposta com o símbolo de NÃO EXISTE, então procuramos as opções que tenham PARA TODO mais a negação da proposição.
P: ( ¬ p (X) → q (X) ∧ r (X) )
¬ P: ( ¬ p (X) ∧ ¬ q (X) v ¬ r (X) )
Resposta letra B.
Vamos lá tentar explicar:
Proposicão P = ( ∃ X ∈ A) ( ¬ p (X) → q (X) ∧ r (X) )
Importante ressaltar: A questão pede ~P ( negação da proposição acima) e ainda a equivalência de ~P.
1 passo: Leitura do primeiro parenteses: ( ∃ X ∈ A) = existe pelo menos um x que pertence a A.
2 passo: Negar o primeiro parenteses, visto que a questão quer a negação. Nega-se a parte pelo todo. Logo, se acima diz que existe pelo menos um, vamos negar dizendo que todos são: (∀ x ∈ A) = Todo x pertence a A.
3 passo: Com a negação da primeira parte eliminamos 2 alternativas letra "a" e letra "c". Foco nas demais "b", "d" e "e".
O que é equivalência? Quando o resultado da tabela verdade for igual.
4 passo: Fazer a tabela verdade da proposição: ( ¬ p (X) → q (X) ∧ r (X) ) 2ª parte da questão. Segundo parenteses:
(¬ p → (q ∧ r)) = V, V ,V ,V ,V, F, F, F
A negação da tabela verdade: ~ (¬ p → (q ∧ r)) = F, F, F, F, F, V, V, V
5 passo: Dentre as opções que não foram descartadas, achar a tabela verdade que dê o resultado exposto acima.
Começarei pela letra B, pois a A já foi descartada por erro na primeira parte.
Letra b) Resultado da tabela verdade ( para resolução, pode desconsiderar o "x") = ( ¬ p (X) ∧ ¬q (X) ∧ ¬r (X) ): F, F, F, F, F, V, V, V → É EQUIVALENTE!
Eis nosso gabarito: Letra b.
Sem precisar fazer tabela verdade:
( ¬ p (X) → q (X) ∧ r (X) ) = Fazer a equivalência da condicional e após negar.
Equivalência: NEouMA : {NEga o primeiro termo (antes da seta)} ou ( Se, então vira conectivo ou) MAntém o segundo termo (após a seta)} = ( p (X) ∨ (q (X) ∧ r (X) )
Negação da equivalência: ( p (X) ∨ q (X) ∧ r (X) ) APLICAR LEI DE MORGAN = ( ¬p (X) ∧ ¬q (X) ∨ ¬r (X) )
Gabarito: Letra b. (Juntando com a primeira parte exposto no passo 1).
Beijos de LUZ