Questão 145741

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: MEC
• Ano: 2009
• Provas: CESGRANRIO - 2009 - MEC - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Derivada

A solução da equação diferencial y''(x) + 5 y'(x) = 5x pode ser um(a)

• A. polinômio de 2º grau em x.
• B. produto de x por uma exponencial.
• C. função constante.
• D. função envolvendo seno e/ou cosseno.
• E. exponencial com expoente 5x.

Gabarito: A

Comentários

• Essa é uma Equação Diferencial Ordinária de 2a Ordem não-homogênea.
  
  Vamos resolver a homogênea associada: y´´(x) + 5y´(x) = 0
  
  Supor y(x) solução y(x) = exp(ax)
  
  Então: y´(x) = a.exp(ax)
  y´´(x) = a^2.exp(ax)
  
  Logo: a^2.exp(ax) + 5.a.exp(ax) = 0 <=> exp(ax) (a^2 + 5) = 0 <=> a^2 + 5 = 0 <=> a^2 = -5 <=> a = +/- R5i
  
  Então a solução da homogênea associada é dada por senos e cosenos pois a relação e^aix = cos(ax) + i.sen(ax).

• y(x)=c1+c2e^(-5x)+x^2/2-x/5

   

  *** Solução homogênea:

  m^2+5m=0 --> m=0 ou m=-5

   

  *** Solução particular do tipo yp=Ax^2+Bx

  y''+5y'=2A+5(2Ax+B)=5x ---> A=1/2 e B=-1/5