Essa questão deu bastante trabalho pra fazer, e eu só conseguir fazer ela no dente mesmo...mas segue a resolução:
1º passo:
z.w=-2+6i
(a+bi).(c+di)=-2+6i
->Vou adiantar para a forma final dessa distribuitiva para ganharmos tempo!<-
ac-bd+adi+cbi=-2+6i
ab-bd+(ad+cb)i=-2+6i
2º passo: Vamos separar as informações que a equação nos dá!
ac-bd=-2
ad+cb=6
Vamos guardar com carinho essas informações e vamos resolver a próxima equação que o enunciado nos dá!
3º passo:
w²=8+6i
(c+di)²=8+6i
c²+2cdi+d²i²=8+6i
c²+2cdi+d².(-1)=8+6i <-- Observe que substituímos o i² por -1, pois (sqrt -1)² = -1 !!
c²+2cdi-d²=8+6i
4º passo: assim como na equação anterior, vamos extrair informações cruciais!
c²-d²=8
2cd=6
cd=3
-> Agora que vem o pulo do gato, vamos voltar a uma das informações anteriores! <-
c²-d²=8 <-- Mas isso não é uma diferença de quadrados? :O
Logo,
(c+d).(c-d)=8
Observe a outra informação
cd=3
Então, teremos que quebrar a cabeça um pouco!
O termo "c" multiplica com o termo "d", e dá 3.
A soma dos termos c e d, multiplicado pela diferença desses mesmos termos, equivale a 8.
Faça alguns testes com alguns numeros baixos, e verá que um deles tem que valer 3, e o outro tem que valer 1, logicamente.
Daí, suporemos que o c é 3, e o d é 1, pois o inverso disso daria em um numero negativo na diferença de quadrados. Observe:
(3+1).(3-1)
4.2=8
3.1=3
Logo,
C=3
D=1
Agora vamos voltar às expressões que extraímos da primeira equação:
ac-bd=2
3a-b=-2
ad+cb=6
a+3b=6
Sisteminha linear:
l 3a-b=-2 .(3)
l a+3b=6
--------------------
l 9a-3b=-6
l a+3b=6
--------------------
10a=0
A=0
3.0 -b=-2
-b=-2
B=2
Agora vamos ao pedido final
(a+c)-(b+d)
(0+3)-(2+1)
3-3= 0
Gab A!!