Sejam z1=a+b.i e z2 =b+a.i dois números complexos, com * a E IR e * b E IR . Pode-se afirmar que o produto
z1.z2 é um número cujo afixo é um ponto situado no
Assinale a alternativa que corresponde ao inverso do número complexo z = 3 + 2i.
Sejam w = 3 - 2i e y = m +pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. Se w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a
Ao pagar três cafezinhos e um sorvete com uma nota de R$10,00, João recebeu R$1,20 de troco. Se o sorvete custa R$1,60 a mais que cada cafezinho, qual é, em reais, o preço de um cafezinho?
Os números complexos z1, z2 e z3 formam, nessa ordem,uma progressão geométrica de razão i, onde i representa a unidade imaginária. Se z3 = 2 + i, então z1 é igual a
Os números complexos Z1, Z2 e Z3 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética e são tais que Z1 + Z2 + Z3 = 6+9i onde i representa a unidade imaginária. Sendo assim, (Z2)2 é igual a
Seja A a imagem, no plano de Argand-Gauss, do número complexo z = 2+3i. Fazendo-se uma rotação desta imagem, em torno da origem, de 60° no sentido trigonométrico, obtém-se a imagem A’ do número complexo
Dentre os números complexos abaixo, aquele cujo módulo é igual ao dobro do módulo de z = 4 + 6 i é
Seja A a imagem, no plano de Argand-Gauss, do número complexo z = 2 + 3i. Fazendo-se uma rotação desta imagem, em torno da origem, de 60o no sentido trigonométrico, obtém-se a imagem A’ do número complexo
Sendo i a unidade imaginária e 0 ≤ θ ≤ π (radianos), então o número complexo z=1 + e6θi pode ser escrito na forma
Sendo i a unidade imaginária e 0 ≤ θ ≤ π (radianos), então o número complexo z = sen(θ/2)[e6θi+1] tem módulo definido pelo intervalo real
A equação y³+py²+2y+q=0, em que p e q são números reais, admite 1+ i como raiz. Então p e q valem, respectivamente:
Qual é o valor da potência ( 1 + v3j )6 utilizando a formula de Moivre zn = pn [ cos(n? + jsen (n?) ] ?
Considere o polinômio p( x )=x3 - 9x2 + 25x -25.Sabendo-se que o número complexo z=2 + i é uma raiz de p , o triângulo, cujos vértices são as raízes de p , pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura:
Considere a igualdade x + (4 + y) . i = (6 - x) + 2yi , em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + yi, é um número
Se o conjugado do número complexo z = x + i / y + i, em que x e y são números reais não nulos e i 2 = -1, é igual a seu inverso multiplicativo z-1 , então devemos ter
As instruções abaixo foram encontradas por peritos que investigavam o furto de um baú, repleto de joias raras, praticado por um indivíduo que o escondeu em algum lugar de uma cidade plana. Nas instruções, havia um mapa da cidade representado em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e referências a números complexos da forma z = a + bi, em que i 2 = - 1 e a e b são números reais, correspondentes a pontos desse sistema.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como Engenharia, Eletromagnetismo, Física Quântica, além da própria Matemática.
Se x = 3 + i e y = 3 – i, então x . y é igual a
A equação polinomial x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0 admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são
Considere os números complexos z1 = 1 + i e z2 = i 2 . z1, em que i é a unidade imaginária. Subtraindo-se o argumento de z1 do argumento de z2, obtém-se:
Uma das raízes da equação x3 – 8x2 + 17x + k = 0 é igual a 1 + 2i, onde i é a unidade imaginária. O número real k é igual a:
Em um torneio de futebol de campo entre alunos, realizado no Estádio Universitário da PUCRS, a equi- pe A fez tantos gols quanto o número de raízes reais da equação y = (x – 2)(x2 + 9). A equipe B marcou um número de gols igual ao número de raízes que têm parte imaginária não nula da mesma equação. O placar da partida foi:
Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1 + i, determine z3:
De todos os números complexos z que satisfazem a condição | z - (2 - 2i) | = 1 , existe um número complexo z1 que fica mais próximo da origem. A parte real desse número complexo z1 é igual a:
Sabendo que o número complexo unitário i é raiz do polinômio p(x) = x4 - 2x3 +3x2 -2x + 2 então, pode-se dizer que
O módulo do número complexo z = i 2014 - i 1987 é igual a
As respostas de 3 alunos sobre o estudo de números complexos, foram:
Aluno 1: o conjugado do oposto de um número complexo é igual ao próprio número complexo.
Aluno 2: a parte real de um número complexo z é igual a metade da soma de z com seu conjugado.
Aluno 3: A multiplicação entre dois números complexos z1 = a1 + i.b1 e z2 = a2 +i.b2 é dada por: z1. z2 = (a1 a2 + b1 b2, a1 b2- b1 a2)
Com relação às respostas dos três alunos, o total de respostas corretas é igual a:
Marina pensou em uma equação formada pela soma da quarta potência de X com o cubo de X mais o dobro do quadrado de X, cujo resultado é 8 menos o quádruplo de X. O conjunto S formado pelas raízes complexas da equação pensada por Marina é igual a:
O módulo de um complexo z = x + iy é, comumente, denotado pela letra ρ= √ x² + y² .
Quanto vale o módulo do complexo 60 - 25i / 3 + 4i ?
Números complexos são aplicados nos conceitos de fasores e impedância, entre outros, na área de circuitos elétricos. Nesse tipo de aplicação, a unidade imaginária é representada por j .
Sobre as operações básicas com os números complexos z1 = √3+1 j e z2 = 4 - 4j , assinale a afirmação CORRETA.
O número complexo z satisfaz a equação 3z = 4z + 2, onde z é o conjugado de z.
A imagem do número z no plano complexo está situada no
Sabe-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 da equação x5 – 3 · x4 + 4 · x3 – 4 · x2 + 3 · x – 1 = 0. As outras raízes dessa equação, no Conjunto Numérico dos Complexos, são
Seja z = √3 (cos 20o + i.sen20o um número complexo na forma trigonométrica. Assim, z 2 é igual a
Sejam z um número complexo e z’ o conjugado de z. Se z1 = z + z’ e z2 = z – z’, pode-se garantir que
Em exploração de petróleo, faz-se necessário estimar certos pontos de uma região em busca de novos poços. Em uma busca, o modelo consiste em explorar poços da região do plano complexo no interior do retângulo Q:= { (u, v) | -2 ≤ u = 2 e -1 ≤ v ≤ 3}. Aqui, utilizou-se a identificação dos números complexos na forma z=u + iv=(u, v), onde i 2 =-1.
Quantos pontos de Q satisfazem a equação (z2 +4).(z2 +2z+2)=0?
Assinale a alternativa que não apresenta uma alternativa equivalente a 1.
Considere os números complexos z= a+bi e w=c+di. Se w2 =8+6i e z.w= -2+6i então o número x dado por x=(a+c) - (b+d) será igual a
O lugar geométrico no plano complexo de w = z + 1/z, sendo z número complexo tal que |z| = k e k > 1, é um(a):
Se somarmos o número complexo z = 4 + 3i com seu conjugado obtemos
Se multiplicarmos os números complexos z = 2 + 3i e w = 3 – 2i obtemos
As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são representadas por 1, w e w2, onde w é um número complexo. O intervalo que contém o valor de (1 - w )6 é:
A área do quadrilátero formado pelas raízes quartas do número complexo Z = - 2 + 2√3i é em unidades de área igual a:
Sejam Z1 e Z2 dois números complexos. Sabe-se que o produto de Z1 e Z2 é –10 + 10i. Se Z1= 1 + 2i, então o valor de Z2 é igual a
Se identificarmos o número real p com o número complexo p + 0i, a área do triângulo, no plano complexo, cujos vértices são as raízes da equação x3 – 4x2 + 4x – 16 = 0 é igual a
Um número complexo z, em sua forma trigonométrica, é do tipo z = p(cosq + isenq), onde p é o módulo de z e q é a medida em radiano do argumento de z. Ao apresentarmos o número complexo z = -1 + i√3 em sua forma trigonométrica, os parâmetros p e q são respectivamente
Seja o número complexo z= - 1 - √3i onde i é a unidade imaginária. O valor de z8 é:
O número complexo, z = |z|.(cos θ + i.senθ),sendo i a unidade imaginária e 0 ≤ θ ≤ 2π, que satisfaz a inequação lz + 3il ≤ 2 e que possui o menor argumento θ, é
A soma de todas as soluções da equação em C : z2 + |z|2 + iz − 1 = 0 é igual a
Considere o polinômio complexo z4 + αz3 + 5z2 -iz - 6, em que α é uma constante complexa. Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três raízes são
O conjugado da razão entre o número complexo z = 4 - 8i e o número complexo de argumento igual a o = 180° e módulo igual a 4 é igual a:
Leonhard Paul Euler foi um grande matemático e físico que viveu no Século XVIII. Euler fezimportantes descobertas no conjunto dos Números Complexos. Uma delas foi a fórmula:
eiθ = cos (θ) + i sen (θ)
Onde, θ é um número real qualquer e i= √−1 é a unidade imaginária. Assim:
Sejam os números complexos z = a +bi e w = x + yi. Se w2 = z e b >0, então:
Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por
p(z) = z4 + (2 + i)z3 + (2 + i)z2 + (2 + i)z + (1 + i).
Podem os afirmar que
Calcule as seguintes soma: (2 + 5i) + (3 + 4i)
A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação x3-8=0 tem área igual a
O quociente entre os números complexos z = 2 + 3i e w = 1 – i é:
A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a condição | z + 2 -3i | = | z - 1 + 4i | , com z = x + yi, sendo x e y números reais, é reta de equação
Sabe-se que os números complexos Z1 = [ 2m (3+ m)] + (3n + 5) i e Z2 = ( 2m² + 12 )+[4(n +1)]i são iguais. Então, os valores de m e n são, respectivamente
Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z = x + yi , onde i = √−1 e cujos afixos são os pontos P (x,y) ∈ |R2
Dada a equação (z - 1 + i)4 = 1 , sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que
Os números complexos z e w são representados no plano xy pelos pontos A e B , respectivamente. Se z = 2w + 5wi e w ≠ 0 então o cosseno do ângulo AOB, onde O é a origem, é igual a
Qual o menor valor de n,n inteiro maior que zero, para que (1 + i)n seja um número real?
Seja p a soma dos módulos das raízes da equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do número complexo Z, tal que ZZ= 108, onde Z é o conjugado de Z. Uma representação trigonométrica do número complexo p+qi é
Um número complexo z tem módulo 2 e argumento 45°. Se z for escrito em sua forma algébrica a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária, o valor da soma a + b equivale a:
A parte real do número complexo 1/(2i)² é:
Se 2 é a única raiz real da equação x3 – 4x2 + 6x – 4 = 0, então, relativamente às demais raízes dessa equação, é verdade que são números complexos
Uma das criações na Matemática que revolucionou o conceito de número foi a dos números complexos. O matemático italiano Rafael Bombelli (1526-1572) foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para esses números, o que facilitou o estudo das raízes de um polinômio. Esse fato veio a contribuir para a resolução de problemas como o que segue.
Os pontos do plano complexo que são raízes de um polinômio de grau 4 com coefi cientes reais são unidos por segmentos de reta paralelos aos eixos coordenados. Se duas dessas raízes são 2 + 3i e –1 + 3i, então a figura obtida será um
Qual é o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que | 3 - z | = | 5 + z | ?
Considere o número complexo z1 ≠ 1 , tal que z1 seja solução da equação z6 = 1 , com menor argumento positivo. A solução z2 da mesma equação, cujo argumento é o triplo do argumento de z1 , é igual a
Sabendo-se que a raiz quadrada do número complexo -16 + 30i é (a + bi) ou (c + di), pode-se afirmar que o valor de a + d é:
Considere o conjunto dos números complexos Z com a propriedade |Z+169i| ≤ 65, admitindo que i é a unidade imaginária. O elemento desse conjunto que possui o maior argumento θ, 0 ≤ θ < 2π, é igual a
Considere a sequência cujo termo é dado por an = 43-n + i44-n , n ∈ N* . Se i é a unidade imaginária, o módulo da soma dos infinitos termos dessa sequência é:
A solução da equação |z| + z = 1+3i é um número complexo de módulo:
Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos Z1, Z2, Z3, que são raízes cúbicas da unidade. Desenha-se o triângulo S , com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos W1, W2, W3, que são raízes cúbicas de 24√3. Se A é a área de T e B é a área de S , então
Se i é a unidade imaginária, então 2i3 + 3i2 + 3i + 2 é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand-Gauss no ___________ quadrante.
Analise as afirmativas a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) z = (2p + 8) + 3i é imaginário puro para p = –4.
( ) z = (k + 2) + (k2 – 4)i é real e não nulo se k = –2.
( ) Se z = a + bi, então z + z̅é sempre real.
A sequência está correta em
Considerando os números complexos z1 e z2 , tais que:
• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante
• z2 é raiz da equação x4 + x2 -12 = 0 e Im(z2) > 0
Pode-se afirmar que | z1 + z2 | é igual a
Multiplicando-se o número complexo 2 – 3i pelo seu conjugado, obtém-se
O valor de i 11 – i21 – i38 é
Seja z =√3(cos 20° + i.sen20°) um número complexo na forma trigonométrica. Assim, z2 é igual a
O valor de i 11 – i21 – i38 é
Seja z’ o conjugado de um número complexo z. Sabendo que z = a + bi e que 2z + z’ = 9 + 2i, o valor de a + b é
O número complexo z = (a – 4) + (b – 5)i será um número imaginário puro se
Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números –2, 0, 2 e 1 + i. O menor grau que essa equação pode ter é
Seja z’ o conjugado do número complexo z = 1 – 3i. O valor de 2z + z’ é
Sejam ρ1 e ρ2, respectivamente, os módulos dos números complexos z1 = 1 + 2i e z2 = 4 – 2i. Assim, ρ1 + ρ2 é igual a
Se z = 3 + 2i é um número complexo, então z2 é igual a
Se i é a unidade imaginária, pode-se afirmar que i7 é igual a
Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade |z − 26i| ≤ 10, sejam α1 e α2 os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de |α1 − α2 | é
O módulo do número complexo z = –1 + 3i é
Seja o número complexo z = 1 + i. Se z' é o conjugado de z, então o produto |z| . |z'| é igual a
O inverso do número complexo z = –2i é z’ =
Com relação aos números complexos Z1= 2 + i e Z2= 1- i , onde i é a unidade imaginária, é correto afirmar