Questão 1563781

• Banca: FCC
• Órgão: TRE-RR
• Ano: 2015
• Provas: FCC - 2015 - TRE-RR - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Distribuição t de student; Principais distribuições de probabilidade

O desvio padrão de uma população normal de tamanho infinito é desconhecido e deseja-se saber se a média μ desta população é inferior a 17,5 a um nível de significância α. Foram formuladas as hipóteses H₀: μ = 17,5 (hipótese nula) e H₁: μ < 17,5 (hipótese alternativa). Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída desta população, observando-se que a média amostral foi igual a 15 e a soma dos quadrados de todos os elementos da amostra foi igual a 2.097. Considerando que t_α o quantil da distribuição t de Student para o teste unicaudal tal que a probabilidade P(t > t_α) = α, com n graus de liberdade, tem-se com base na amostra que H₀

Dados:

n 7 8 9 10

t_0,05 1,90 1,86 1,83 1,81

t_0,01 3,00 2,90 2,82 2,76

• A. é rejeitada tanto ao nível de significância de 1% como o de 5%.
• B. não é rejeitada ao nível de significância de 5%.
• C. é rejeitada para qualquer nível de significância β tal que β < 1%.
• D. não é rejeitada por, pelo menos, um nível de significância β tal que 1% < β < 5%.
• E. não é rejeitada para qualquer nível de significância β tal que β > 5%.

Gabarito: D

Comentários

• Questão de teste de hipóteses, onde H0: μ = 17,5 (hipótese nula) e H1: μ < 17,5 (hipótese alternativa), temos um teste unilateral à esquerda.

  n = 9, então teremos que usar a tabela t-student com "n – 1" graus de liberdade, ou seja, GL = 8.

  XBARRA = 15 e ΣX^2 = 2.097

  VAR(X) = MÉDIA DOS QUADRADOS – QUADRADO DAS MÉDIAS

  VAR(X) = (2.097/9) – 15^2 = 8

  S(X) = √8

  tcalc = (XBARRA – μ)/(S/√n)

  tcalc = (15 – 17,5)/(√8/√9) = -2,67

  Os dados do enunciado dizem que para os níveis de significância de 5% e 1%, com 8 graus de liberdade, os valores de ttab serão -1,86 e -2,90 respectivamente (negativos, porque é um teste unilateral à esquerda).

  Observe que para um nível de significância de 1% tcalc fica dentro da curva e aceitamos H0. Para um nível de significância de 5% tcalc fica fora da curva e rejeitamos H0, o que nos leva à alternativa D.

  Bons estudos, Elton

• Bela explicação Elton. Só melhorando um pouco, ao calcular a variância de uma amostra, precisa-se aplicar o fator de Bessel (n / n-1).

  Assim a variância ficaria [(2097/9) - 15^2) * (9/8)] = 9

  Desvio padrão = 3

  Tcalc = -2,5

  Não interfere na sua análise pois ainda assim fica entre -1,86 e  -2,90

  Gab D

• Apenas complementando a resposta do ELTON,  fórmula da VARIÂNCIA AMOSTRAL =  [ᓬx2 – 1/n(ᓬx)2]/n-1. Assim, (2097 - 2025)/8 = 9. O Demais cálculos estão corretos.

   

• É importante notar que, se os dados representarem uma amostra e não toda a população, a expressão matemática da variância deve ter (n − 1) no denominador em substituição ao fator n, esta mudança é chamada de fator de correção de Bessel ou conforme os estatísticos, número de graus de liberdade. Dessa forma temos a variância da amostra.

• Caros colegas,

  o resultado (t = 2,5) apresentando pelo Ricardo está correto, uma vez que precisamos usar o fator de correção (n/n-1 = 9/8) para o cálculo da variância amostral.

  As maiores dificuldades, creio eu, ficaram nas alternativas C, D e E.

  Então, vamos lá:

  A primeira coisa que precisamos ter em mente é que usaram β apenas para ser um substituto do valor do cálculo do resultado (2,5) nada tendo haver assim, com a Potência de β.

  Sendo assim,

  C

  é rejeitada para qualquer nível de significância β tal que β < 1%.

  Aumentado de 1% (-2,90) vamos chegar a β (-2,50). Nesse intervalo, é aceita para qualquer nível de significância. Somente seria rejeitada se β (-2,50) fosse menor ou igual a 1% (-2,90).

  D

  não é rejeitada por, pelo menos, um nível de significância β tal que 1% < β < 5%.

  Substituindo por valores temos: -2,90 < -2,50 < 1,86. Vamos começar de trás para frente. O intervalo 5% (-1,86) > β (-2,50), qualquer que seja o valor, por ser menor que (-1,86), estaria dentro da área crítica e seria, portanto, rejeitado. No intervalo de β (-2,50) > 1% (2,90), temos valores que ficam dentro da área de aceitação, e somente seriam rejeitados por valores menores ou iguais a 1% (-2,90). Por isso, esse é o nosso gabarito.

  E

  não é rejeitada para qualquer nível de significância β tal que β > 5%.

  Como β é (-2,5) e 5% é (-1,86) quando aumentamos o nível de significância, como sugerido na alternativa (2,49; 2,48...), continuaremos dentro da região crítica, que é menor ou igual a 5%. Sendo assim, será rejeitada para qualquer valor nesse intervalo.

  Espero ter ajudado.

  Um forte abraço a todos!

• essa é punk