Devemos isolar y na equação de uma das circunferências e substituir na equação da outra, para identificar os pontos em comum entre elas. Assim, isolando y em x2 + y2 = 49, temos: y = √(49 – x2 ) Substituindo x2 + y2 = 49 e y = √(49 – x2 ) na equação da outra circunferência, temos: x 2 + y2 - 6x - 8y +21 = 0 49 - 6x – 8 √(49 – x2 ) +21 = 0 - 6x – 8 √(49 – x2 ) + 70 = 0 70 – 6x = 8 √(49 – x2 ) Elevando os dois lados da igualdade acima ao quadrado, temos: 4900 – 840x + 36x2 = 64 (49 – x2 ) 4900 – 840x + 36x2 = 3136 – 64x2 100x2 – 840x + 1764 = 0
Dividindo os dois lados da igualdade acima por 4, temos: 25x2 – 210x + 441 = 0 delta = zero x1 = x2 = 4,2 Veja que obtivemos uma equação de segundo grau cujo delta é zero. Portanto, temos uma raiz dupla, de valor 4,2. Substituindo em x2 + y2 = 49, temos: x 2 + y2 = 49 4,22 + y2 = 49 y 2 = 31,36 y1 = √31,36 = 5,6 y2 = - √31,36 = -5,6 Portanto, temos os pontos de coordenadas (4,2; 5,6) e (4,2; -5,6) Vejamos se esses pontos fazem parte da outra circunferência. Primeiramente, para (4,2; 5,6) temos: x 2 + y2 - 6x - 8y +21 = 0 (4,2)2 + (5,6)2 – 6(4,2) – 8(5,6) + 21 = 0 17,64 + 31,36 – 25,2 - 44,8 + 21 = 0 O ponto (4,2; 5,6) faz parte das duas circunferências. Já para (4,2; -5,6) temos: x 2 + y2 - 6x - 8y +21 = 0 (4,2)2 + (-5,6)2 – 6(4,2) – 8(-5,6) + 21 = 0 17,64 + 31,36 – 25,2 + 44,8 + 21 = 0 89,6 ≠ 0 O ponto (4,2; -5,6) não faz parte das duas circunferências. Portanto, temos apenas um ponto em comum entre as duas circunferências. RESPOSTA: C
PROFESSOR ARTHUR LIMA -Estratégia
As duas circunferências só poderão ter 1 único ponto em comum caso elas se tangenciem internamente ou externamente.
Nesse caso, podemos descobrir a resposta obtendo as coordenadas do centro de cada circunferência e o valor do raio delas.
Com esses dados em mãos (coordenadas dos centros e os raios das circunferências) vale dizer que elas só terão 1 único ponto em comum em dois casos:
Caso 1: Raio da A + Raio da B = Distância entre os centros (pois aqui haverá um tangenciamento externo)
Caso 2: Raio da A - Raio da B = Distância entre os centros (pois aqui haverá um tangenciamento interno)
Ao calcular a distância entre os centros, obteremos o valor d = 5. Ao calcular o raio das circunferências, obteremos o valor R = 7, e r = 2.
Logo, podemos concluir que se se trata de um tangenciamento interno, pois R - r = 5, e 5 = d, por tanto, R - r = d.
Caso queria visualizar melhor o por que dessas relações valerem, recomento fortemente assistir o vídeo de "Posição relativa entre circunferências" do canal "Equaciona Com Paulo Pereira" no youtube.