I - ERRADO. A nomeação de curador especial em decorrência dessas hipóteses (incisos do art. 9º, CPC) não afastam a necessidade de intervenção do Ministério Público (art. 82, I, CPC).
II - CERTO. O juiz está autorizado a verificar ex officio as questões relativas à capacidade processual e à representação das partes (requisitos de validade, para alguns autores; pressupostos processuais, para o CPC e a maioria da doutrina), conforme se depreende do art. 13, CPC.
III - "ERRADO". O art. 126, CPC consagrou a vedação ao non liquet. Noutras palavras, o juiz está vedado a se eximir de seu dever constitucional de resolver o conflito ou a situação fática a ele exposta através de um processo. Por sua vez, o princípio da inevitabilidade da jurisdição preceitua que "[...] a autoridade dos órgãos jurisdicionais, sendo uma emanação do próprio poder estatal soberano, impõe-se por si mesma, independentemente da vontade das partes ou de eventual pacto para aceitarem os resultados do processo" (CINTRA et al., 1999, p. 135). Entretanto, ressalta-se que, para Bueno (2009, p. 256), a identificação desse princípio à vedação do non liquet não deixa de ser correta.
IV - ERRADO. A condenação do réu ao pagamento dos juros legais, correção monetária e honorários advocatícios prescindem de pedido expresso do réu, consoante dispõem a lei e a jurisprudência.
Os juros legais estão legalmente incluídos no pedido principal (art. 293, CPC). A fixação dos honorários advocatícios de sucumbência constitui dever do juiz, que decorre de uma circunstância objetiva - a derrota do réu. Por fim, a correção monetária consiste em mera manutenção do poder aquisitivo da moeda, impedindo a perda do valor real do quantum a que a parte tem direito; diante disso, a correção monetária é um consetário lógico e integra implicitamente o pedido, à semelhança dos juros legais.
Bons estudos.