GAB: CERTO
Complementando!
Fonte: Celso Natale - Estratégia
Para descobrir o preço de equilíbrio, precisamos igualar receita marginal e custo marginal.
A função de produção do tipo Cobb-Douglas revela qual será a proporção de cada insumo no custo total.
Nesse caso, sabemos que 1/3 do custo será realizado com capital (K), enquanto os outros 2/3 serão gastos com trabalho.
Se o produtor gasta o dobro com trabalho, e o trabalho custa o dobro do capital, só podemos concluir que ele utiliza a mesma quantidade de trabalho e de capital, ou seja: K=L.
A função de custo total será:
Como temos os valores de “r” e “w”, fica assim:
Como já determinamos que K=L:
Sendo assim, ao derivarmos, descobrimos que:
Agora falta a receita marginal.
A função de produção fornecida foi:
E lembro que K=L, então:
Seguindo a regra de multiplicação de potências com mesma base, mantemos a base (K) e somamos os expoentes (2/3 + 1/3 = 3/3 = 1):
Partindo dessa função de produção, podemos chegar à receita total multiplicando pelo preço:
E, ao derivamos, vamos descobrir que:
Pronto. Só falta igualar:
RMg=CMg
GABARITO: CERTO
JUSTIFICATIVA
Preço de equilíbrio : Receita Marginal (RMg) = Custo Marginal (CMg)
Receita = Producao (Y) * Preço (p)
Custo (CT) = r * K + w * L
CT – custo total da empresa
w – custo do trabalhador
L – quantidade de trabalho
r – custo do capital
K – quantidade de capital empregado
Dada função de produção: Y = 5 . K. L
Ponto de escolha ótima de Cobb-Douglas:
K = [a/(a+b)] *(CT / r)
L = [b/(a+b)] * (CT / w)
a = 1/3
b = 2/3
Substituir a e b em K e L:
K = 1/3 * (CT / 2) = 1/6 * CT
L = 2/3 * (CT / 4) = 1/6 * CT
Logo K = L.
Chamando L = K = x e substituindo em Y e CT:
Y = 5 * x * x = 5x
Receita: R = Y * P = 5x*p
Receita Marginal é a derivada da Receita. Logo:
Receita Marginal RMg = dY/dp = d(5x*p)/dx = 5p
Custo Marginal é a derivada de CT:
Custo (CT) = r * K + w * L = 4x + 2x = 6x
Custo Marginal = dCT/dx = d(6x) / dx = 6
No ponto de equilíbrio: RMg = Cmg. Logo:
Rmg = Cmg => 5p = 6 => p = 1,2
Resposta : p = 1,2
Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho aqui, para comentar esta questão sobre Estruturas de Mercado combinada com Teoria da Produção.
Bom, a questão nos apresentou uma função Cobb-Douglas e nos pediu para encontrar o preço de equilíbrio deste mercado.
O preço de equilíbrio é o preço que iguala as quantidades ofertadas e demandadas de um mercado. Mas como a questão não nos deu a equação de demanda, precisamos arrumar outra forma de encontrar o preço de equilíbrio.
E a maneira adequada de fazermos isso é pela regra de maximização de preços da firma, isto é, pegando como base a receita marginal e o custo marginal.
O custo marginal é a derivada do custo total. Já a receita marginal é a derivada da receita total.
Começaremos pelo custo marginal. Para encontrá-lo, precisamos do custo total primeiro.
Vamos ter que, então, calcular a função custo total, que é calculada pela seguinte fórmula:
CT = r.K + w.L
Onde:
CT = Custo Total
r = preço do insumo Capital
K = quantidade de capital empregada
w = preço do insumo trabalho
L = quantidade de trabalho empregada
A questão nos deu apenas o "r" e o "w". Assim, para encontrarmos o CT, precisamos encontrar o "K" e o "L".
Como a questão nos deu uma função Cobb-Douglas, podemos usar as fórmulas de otimização que são as seguintes:
K = [(a)/(a + b) * (CT/r)] e
L = [(b/(a + b) * CT/w]
Onde:
a = expoente de K
b = expoente de L
CT = Custo total
r = preço do insumo Capital
w = preço do insumo trabalho
A função Produção é Y = 5.k1/3L2/3.
Assim: a = 1/3 e b = 2/3. Além disso, pelos dados da questão, r = 2 e w = 4.
Substituindo nas fórmulas de otimização, teremos:
K = [(a)/(a + b) * (CT/r)]
K = [1/3/(1/3 + 2/3)*(CT/2)
K = (1/3)/1*CT/2
K = 1/3*CT/2
K = CT/6
Portanto, a quantidade de capital utilizada (K) é igual a CT/6.
Agora, vamos encontrar o L.
L = [(b)/(a + b) * (CT/w)]
L = [2/3/(1/3 + 2/3)*(CT/4)
L = (2/3)/1*CT/4
L = 2/3*CT/4
L = CT/6
Portanto, a quantidade de trabalho utilizada (L) é igual a CT/6.
Jogando nessas fórmulas os valores dados na questão:
K = CT/6
L = CT/6
Portanto, K = L
Lembre que a função produção é Y = 5.k1/3L2/3.
Assim, podemos fazer K = L na função acima. Ficará assim:
Y = 5.K1/3K2/3.
Como temos a mesma base (K), basta somarmos os expoentes. Assim, teremos:
Y = 5.K
Isolando o K:
K = 5/y
Falta apenas o último passo que é substituir este valor de K na função custo total.
CT = wL + rK
CT = 4L + 2K
Como K = L:
CT = 6K.
Para encontrarmos o custo marginal, basta derivarmos a expressão acima. Assim:
CT = 6K
Derivando a função acima, teremos:
Cmg = 6.
Agora, falta a Receita Marginal, que é a derivada da receita total.
Vimos que Y = 5K, ou seja, a quantidade produzida da empresa (Y) é igual a 5K. E isso nos ajuda muito com a receita total, pois a receita total é dada pela quantidade (Q) vezes o preço. Assim:
RT = P.Q
Como tudo o que firma produz é igual a 5K, isso significa que Q = 5K. Substituindo:
RT = 5K.P
Para encontrar a receita marginal, precisamos derivar a função em relação às quantidades (no caso, trocamos o Q pela variável K, já que Q = 5K). Dessa forma, a rmg será:
Rmg = 5P
Pronto, basta igualarmos receita marginal e custo marginal:
Rmg = Cmg
5P = 6
P = 6/5 = 1,2
Assim, de fato, o preço de equilíbrio é igual a 1,2.
Gabarito do Professor: CERTO.