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Gab: CERTO
No ótimo do consumidor, a taxa marginal de substituição será igual a inclinação da linha de orçamento:
TmgS = p1/p2
Como a TmgS pode ser representada pela razão entre as utilidades marginais:
Umg1/Umg2 = p1/p2
Na questão:
UmgL/UmgK = w/r
UmgL = dY/dL = 5 . K^(1/3) . 2/3 . L^(-1/3)
UmgK = dY/dK = 5 . 1/3 . K^(-2/3) . L^(2/3)
UmgL/UmgK = 2 . K/L = w/r = 4/2
Logo, K/L = 1, K=L
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Para calcularmos as quantidades ótimas, podemos calcular por meio das equações que vimos em aula, que são:
Ou seja, note que tanto K quanto L são iguais a CT/6, ou seja, apresentam as mesmas quantidades. Há também uma outra forma bastante legal de resolver essa questão.
A função de Produção é .
Note que o capital “K” está elevado a um terço, enquanto que o trabalho “L” está elevado a dois terços. Como 1/3+2/3 = 1, isso significa que a firma alocará um terço do seu orçamento em capital e dois terços em trabalho.
Ou seja, no equilíbrio ótimo, gastará o dobro com o fator trabalho.
Só que o fator trabalho também custa exatamente o dobro porque w = 4 e r = 2.
Ora: se a firma gasta o dobro com o fator que custa o dobro, então as quantidades são iguais.
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@Marcela, como sair de
[5 . K^(1/3) . 2/3 . L^(-1/3)] / [5 . 1/3 . K^(-2/3) . L^(2/3)] para [2 . K/L] ??
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5*k^1/3*2/3*L^-1/3 / 5*1/3*k^-2/3*L^2/3 => corta o 5 dos 2 lados
k^1/3*2/3*L^-1/3 / 1/3*k^-2/3*L^2/3 => corta 1/3 dos 2 lados
k^1/3*2*L^-1/3 / k^-2/3*L^2/3 => sobe k^-2/3 (quando sobe inverte sinal do expoente)
2*k^1/3*k^2/3*L^-1/3 / L^2/3 => unifica k somando os expoentes
2*k*L^-1/3 / L^2/3 => desce o L^-1/3
2*k / L^1/3*L^2/3 => unifica L
2*k/L
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Outra forma de responder rapidamente à questão é ter em mente a fórmula de demandas ótimas para funções Cobb-Douglas.
Curva de indiferença/Isoquanta (inclinação)
U (x, y) = C . x^a . y^b = 5 . K^1/3 . L^2/3
Demandas ótimas
x* = { a / ( a + b ) } . R / px = { 1/3 / ( 1/3 + 2/3 ) } . R / 2 = R / 6
y* = { b / ( a + b ) } . R / py = { 2/3 / ( 1/3 + 2/3 ) } . R / 4 = R / 6
Ou seja, ambos os fatores corresponderão a 1/6 da restrição orçamentária, sendo iguais portanto.
GABARITO: certo.
Bons estudos!
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Fala pessoal!
Professor Jetro Coutinho aqui, para comentar esta questão sobre Estruturas de
Mercado combinada com Teoria da Produção.
Esta questão nos pede
para analisarmos as quantidades de capital e trabalho, com base na função
produção apresentada.
Como a questão nos
deu uma função Cobb-Douglas, podemos usar as fórmulas de otimização para
encontrar as quantidades de "K" e "L" que são as
seguintes:
K = [(a)/(a + b) *
(CT/r)] e
L = [(b/(a + b) *
CT/w]
Onde:
a = expoente de K
b = expoente de L
CT = Custo total
r = preço do
insumo Capital
w = preço do
insumo trabalho
A função
Produção é Y = 5.k1/3L2/3.
Assim: a = 1/3 e b =
2/3. Além disso, pelos dados da questão, r = 2 e w = 4.
Substituindo nas
fórmulas de otimização, teremos:
K = [(a)/(a + b) *
(CT/r)]
K = [1/3/(1/3 +
2/3)*(CT/2)
K = (1/3)/1*CT/2
K = 1/3*CT/2
K = CT/6
Portanto, a
quantidade de capital utilizada (K) é igual a CT/6.
Agora, vamos
encontrar o L.
L = [(b)/(a + b) * (CT/w)]
L = [2/3/(1/3 + 2/3)*(CT/4)
L = (2/3)/1*CT/4
L = 2/3*CT/4
L = CT/6
Portanto, a
quantidade de trabalho utilizada (L) é igual a CT/6.
Jogando nessas
fórmulas os valores dados na questão:
K = CT/6
L = CT/6
Portanto, K = L.
Gabarito do Professor: CERTO.