Fundamentação matemática
CURVA DE INDIFERENÇA
U (x, y) = x^a . y^1-a
Umgx = ∆U / ∆x = (a) . x^a-1 . y^1-a
Umgy = ∆U / ∆y = (1-a) . x^a . y^-a
Inclinação da curva de indiferença = TmgS(U)
TmgS(U) = ∆y / ∆x = ∂y / ∂x
Variações ( ∆U ) dentro de uma mesma curva de indiferença resultam em,
Umgx = ∆U / ∆x >>> ∆U = ∆x . Umgx
Umgy = ∆U / ∆y >>> ∆U = ∆y . Umgy
- ∆U = + ∆U
- ∆x . Umgx = + ∆y . Umgy
∆y / ∆x = - Umgx / Umgy
TmgS(U) = - Umgx / Umgy
PREÇOS E RENDA
W = px.x + py.y
py.y = W – px.x
y = W/py – (px/py).x
inclinação de W = y’(x) = -px/py
OTIMIZAÇÃO: Inclinação de U = inclinação de RO
(-) Umg(x1) / Umg(x2) = - px / py
Umgx / px = Umgy / py
(a) . x^a-1 . y^1-a / px = (1-a) . x^a . y^-a / py
{ (a) / (1-a) } . x^-1 . y^1 = px / py
y = { (1-a) / (a) } . (px / py) . x
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA
W = px.x + py.y
px . x = W – py . y
px . x = W – py { (1-a) / (a) } . (px / py) . x
px . x = W – { (1-a) / (a) } . px.x
x = (W / px) – { (1-a) / (a) } . x
x + { (1-a) / (a) } . x = W / px
x {1 + (1-a) / (a) } = W / px
x { ( a + 1 – a) / a } = W / px
x { 1 / a } = W / px
x = aW / px (GABARITO: CERTO)
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Resolução com fórmula pronta:
x = { a / ( a + b ) } . W / px
x = { a / ( a + 1 - a) } . W / px
x = { a } . W / px (GABARITO: CERTO)
Bons estudos!