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6300 = 4200 (1,2)^t
3 = 2 (1,2)^t
Log3 = log 2(1,2)^t
Log3 = log2 + t*log(1,2)
Log3 = log2 + t*(log2 + log2 + log 3 - log 10)
0,48 = 0,3 + 0,08t
t = 2,25
t = 2 anos e 3 meses
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Não entendi nada :(.
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vou refazer a explicação do colega, mais detalhada:
6300 = 4200 (1,2)^t
*corta os 00 para simplificar, fica 63=42, dá pra simplificar por 21 -> 3=2
3 = 2 (1,2)^t
Log3 = log 2(1,2)^t
Log3 = log2 + t*log(1,2)
* dentro do ( ) fica o seguinte: 1,2 = 12/10
simplificando o doze fica. 2 x 2 x 3 = 12..como na propriedade do log's multiplicação passa a somar e divisão passa subtraindo, então fica:
(log2 + log2 + log3 - log10)...nos temos os valores de log2= 0,3 e log3= 0,48...então temos que encontrar o valor do log10
log10=x (quando a base é omissa, sempre será 10!) propriedade> logbA=C -> B^C=A
Log10 = x
10^x = 10 (elevado a 1) corta a base...
x = 1
então:
Log3 = log2 + t*(log2 + log2 + log 3 - log 10)
0,48 = 0,3 + t*(0,3 + 0,3 0,48 - 1)
0,48 = 0,3 + t*(1,08 - 1)
0,48 = 0,3 + t*(0,08)
0,48 = 0,3 + 0,08t
0,48 - 0,3 = 0,08t
0,18 = 0,08t
t = 0,18/0,08 t = 2,25
t = 2 anos e 3 meses
Acho que ficou bem claro!
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Não entendi de onde que saiu aquele 1,2???
E a fórmula não seria a do juros compostos??
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Ótima resolução Saulo
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O empréstimo foi feito sob juros compostos, assim:
M = P * (1 + i)n
Onde M = 6.300, P = 4.200 e i = 20% a.a, substituindo na fórmula acima:
6.300 = 4.200 * (1 + 0,2)n
1,5 = 1,2n
Aplicando log na base 10 em ambos os lados:
log1,5 = log1,2n
log(3/2) = n * log(12/10)
log3 - log2 = n * (log12 - log10) (Lembando que log10 = 1)
0,48 - 0,3 = n * [log(2.2.3) - 1]
0,18 = n * [log2 + log2 + log3 - 1]
0,18 = n * [0,3 + 0,3 + 0,48 - 1]
0,18 = 0,08n
n = 2,25 anos
Aplicando uma regra de 3 simples:
2 anos = 24 meses
0,25 = x meses
x = (24 * 0,25)/2 = 3 meses.
Então, o empréstimo foi feito aproximadamente há 2 anos e 3 meses.
Resposta: Alternativa B.
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6300=4200 x 1,2 ^ t
1,2 ^ t = 6300/4200
1,2 ^t = 1,5
(12/10) ^t = 15/10
(log 12 - log 10) ^t = log 15 - log 10
(1,079 - 1) ^ t = 1,176 - 1
0,079 ^ t = 0,176
t = 0,176/0,079
t = 2,2278481013... ( o número antes da vírgula é 2 anos. Sobram aproximadamente 0,23. Multiplicamos por 12 meses (0,23 x 12 = 2,76 = 3 meses)
t = 2 anos e 3 meses
Obs.: lembrando a quem não sabe, que o sinal ^ em matemática vale como expoente de uma potência. Significa que o número ou operação está elevado a algum outro número. Ex.: três ao cubo = 3 ^3. Outro exemplo: dois elevado a sexta potência = 2 ^ 6. No nosso caso 1,2 ^ t significa que 1,2 é uma potência e está elevado ao expoente t.
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Utilizei a formula do juros compostos e cheguei no resultado:
1,5=1,2^n ; então fiz 1,2x1,2 que deu 1,44 proximo a 1,5 deduzi, por bom senso, q não seria mais q 1,23 me levando no resultado de 2 anos e 3 meses
Claro que matematicamente não é correto oq eu fiz, mas pelas alternativas deu pra deduzir a resposta.
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Muito bom Daniel Azevedo!
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ALTERNATIVA: B
RESUMO DAS PROPRIEDADES LOGARÍTIMAS E OUTRAS:
http://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/exponenciais-e-logaritmos.jhtm
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O "1,2" refere-se aos 20% da taxa de juros anual.
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gente depois de pensar pancas aqui.
entendie: que o 1,2 surgiu pq
para chegar em 20% de algum valor temos que multiplicar o mesmo por 1,2.
formula:20/100=0,2
depos soma-se o 1,0+0,2=1,2
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Formula dos juros compostos:
M=C.(1+i)^t
6300=4200.(1+0,2)^t Simplifica 6300/4200 por 21
3=2.(1,2)^t Agora usa os logaritmos
Log3=log2.(1,2)^t
log3=log2+t.log(1,2)
log3=log2+t.log(12/10)
log3=log2+t.(log2+log2+log3-log10)
agora só continuar
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ACERTEI NO CHUTE,PORQUE NÃO ENTENDO NADA DE LOGARITIMO.
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A banca resolveu caprichar nessa questão né? (Sinônimo para "a banca resolveu acabar com sonhos e dificultar a vida de todo mundo)
Sinceramente, ela bem que poderia ter dado o log de 1,5. Facilitaria e muito a vida de todos
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Fique tranquilo : Toda questão de logaritimo tem pelo menos 20 ou 25% de acertar...
Se tiver 4 alternativas tem 25 %chance de acerto...se tiver 5(a,b,c,d,e) tem 20%
....pra muitos, assim com eu, só chutando mesmo...kkkk
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Essa não fiz por log... fiz pelo raciocínio de matemática financeira e deu certo hehe
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Boa tarde, eu fiz assim e deu certo
R$ 4.200,00 mais 20% 1° ano = R$ 5.040,00 + 20% 2° Ano = R$ 6048.00 restou maisR$ 252,00 certo? deu 3 Meses para terminas o Juros
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4200+20%= 5040
5040+20% = 6048
ja sabemos que é 2 anos até aqui
6048+10% = 6652 SUPERIOR A DIVIDA (10% METADE DOS 20%, TESTE PARA 2 ANOS E MEIO)
6048+5% =6350 (5% VALOR APROXIMADO PARA 1/4 DE ANO)
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Dica: Não adianta tentar entender a resolução sem conhecer Propriedade de Logaritmo. A resolução só faz sentindo quando você entender o porque das simplificações.
Primeiro vamos coletar os dados:
Montante = 6300
Capital = 4800
Taxa = i = 20% o mesmo que 20/100 ou 0,2
Tempo = ?
Formula
M = C(1 + i)*t
6300 = 4800(1 + 0,2)*t
6300/4800(simplifique) = 1,02*t
1,2*t = 3/2 isso é o mesmo que escrever log1,02(base) 3/2(logaritmando) = t (logaritmo)
log1,2(base) 3/2= t isso pode ser escrito:
log 3/2 / log 1,2 = t
log 3/2 / log 12/10 = t
log 3/2 / log 12 - log 10 = t
log 3/2 / log 3x2x2 - log 10 = t
log 3/2 / log 3 + log 2 + log 2 - log 10 = t
log 3 - log 2 / log 3 + log 2 + log 2 - log 10 = t (log 10 é 1, info básica)
0,48 - 0,30 / 0,48 + 0,30 + 0,30 - 1 = t
0,18 / 1,08 - 1 = t
0,18 / 0,08 = t
t = 2,25 anos ou 2 anos e 3 meses