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A questão consiste, basicamente, em pôr em evidência:
2 cos(x) - cos(x) - 2 cos(x)+ 1=0
cos²x (2cosx - 1) -1 (2cosx - 1) = 0
(2cosx - 1).(cos² - 1) = 0
(2cosx - 1) (cosx + 1).(cosx - 1) = 0
Logo:
2cosx - 1 = 0 ou cosx + 1 = 0 ou cosx - 1 = 0
2cosx = 1
cosx = 1/2
cosx + 1 = 0
cosx = -1
cosx - 1 = 0
cosx = 1
cosx = 1/2 é π/3 e 5π/3
cosx = -1 é π
cosx = 1 é 2π e 0
Soma: 2π + 0 + π + π/3 + 5π/3
Soma : 5π
GABARITO: LETRA D
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Um tempinho depois, descobri que também tem como resolver por polinônimos!
Vamos considerar cosx = y
2y³ - y² - 2y + 1 = 0
Agora é só jogar alguns valores pra achar as raizes. (Como trata-se de cos, é muito provável que esses valores sejam alguns dos ângulos notáveis). Após fazer isso, vamos encontrar como raízes 1; -1 e 1/2.
Cos x = 1 --- > 2π
Cos x = -1 ---> π
Cos x = 1/2 ---> π/3 e 5π/3
Soma = 5π/3 + π/3 + 2π + π
Soma = 5π
GABARITO: LETRA D
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Se você quiser usar polinômios, como o camarada Víctor comentou, é uma boa utilizar o dispositivo de briot ruffini para abaixar o grau e usar bhaskara para achar as raízes restantes. É sempre bom misturar conteúdos para revisar! BRASIL
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Fiz por polinomios cheguei aos arcos de 60°; 180°; 300° e 0° (= 360°) porém fiquei na dúvida se somaria 0π (0°graus) ou 2π (360°)