SóProvas

ID
1884826
Banca
FGV
Órgão
IBGE
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística

Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2.Y - 3.X, sendo E(X2 ) = 25, E(X) = 4, Var (Y) =16, Cov(X,Y)= 6.

Então a variância de Z é:

Alternativas
Comentários

  • Inteligente e muito difícil questão que mistura estatística com funções do 1° e 2° grau!

    Lembrando que a variância de uma variável é a própria variável ao quadrado e a covariância é simplesmente a soma das multiplicações dos desvios de duas variáveis independentes dividido por n-1 (ou N, caso a população é finita).

    Porém, a covariância também pode ser traduzida como:"média do produto das variáveis menos o produto das médias das variáveis". E a variância é: "média dos quadrados menos o quadrado da média".

    E qualquer operação que faz nos valores da sequência amostral, a média é afetada também. Por exemplo, se multiplicarmos cada valor por 4, a média (indicada pelo símbolo E) também será multiplicada por 4.

    E se a variância for multiplicada/dividida por 4, a nova variãncia será multiplicada/dividida por 16, que é o quadrado da constante, no caso do desvio padrão ele será multiplicado/dividido pela mesma constante.

    Vejamos:
    E(X) = 4
    E(X²) = 25
    Var(X) = E(X²) - (E(X))² => Var(X) = 25 - 16 => Var(X) = 9 => X² = 9 
    Cov(X,Y) = 6 => E(XY) - E(X).E(Y) = 6 => E(XY) = 6 + 4E(Y) 

    Var(Y) = 16 => Y² = 16 => E(Y²) - (E(Y))² = 16 => E(Y²) = 16 + (E(Y))² 

    Z = 2Y - 3X

    Se Z é o resultado da subtração do dobro da variável Y com o triplo da variável X, a média de Z será a subtração do dobro
    da média de Y com o triplo da média de X:

    E(Z) = 2E(Y) - 3E(X) => E(Z) = 2E(Y) - 12 => (E(Z))² = 4(E(Y))² - 48E(Y) + 144 (elevamos ao quadrado)

    Elevando Z ao quadrado:

    Z² = (2Y - 3X)² => Z² = 4Y² - 12XY + 9X²

    Assim como a primeira conclusão, a média do quadrado de Z é o quádruplo da média do quadrado de Y menos 12 vezes a média do produto mais
    9 vezes a média do quadrado de X. Fazendo as substituições necessárias, temos:

    E(Z²) = 4E(Y²) - 12E(XY) + 9E(X²) => E(Z²) = 4 (16 + (E(Y))²) - 12(6 + 4E(Y)) + 9.25 => E(Z²) = 64 + 4(E(Y))² - 72 - 48E(Y) + 225 => E(Z²) = 4(E(Y))² - 48E(Y) + 217

    Assim, sabendo da definição de variância e fazendo as substituições:

    Var(Z) = E(Z²) - (E(Z))² => Var(Z) = 4(E(Y))² - 48E(Y) + 217 - 4(E(Y))² + 48E(Y) - 144 => Var(Z) = 217 - 144 => Var(Z) = 73.

    Nível hard ao extremo.

    B

  • RESOLUÇÃO:

    Temos:

    Z = 2Y – 3X

    E(X^2) = 25

    E(X) = 4

    Var(Y) = 16

    cov(X,Y) = 6

    Veja que:

    Var(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = 25 – 4^2 = 25 – 16 = 9

    Lembrando que:

    Var(a.X + b.Y) = a^2.Var(X) + b^2.Var(Y) + 2.a.b.cov(X,Y), temos:

    Var(Z) =

    Var(2Y – 3X) =

    2^2.Var(Y) + (-3)^2.Var(X) + 2.2.(-3).cov(X,Y) =

    4.16 + 9.9 – 12.6 =

    73

  • V(Z)=V(2Y-3X)= V(2Y) + V(3X)  - 2COV(2X.3Y) = 4V(Y) + 9V(X) - 3.2.2COV(XY)= 4.16 + 9.9 - 12.6= 73

  • Por que foi anulada a questão?

  • Temos:

    Z = 2Y – 3X

    E(X) = 25

    E(X) = 4

    Var(Y) = 16

    cov(X,Y) = 6

    Veja que:

    Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = 25 - 4² = 25 - 16 = 9

    Lembrando que:

    Var(a.X + b.Y) = a.Var(X) + b.Var(Y) + 2.a.b.cov(X,Y), temos:

    Var(Z) =

    Var(2Y – 3X) =

    2².Var(Y) + (-3)².Var(X) + 2.2.(-3).cov(X,Y) =

    4.16 + 9.9 – 12.6 =

    73

    Resposta: B 

  • Acho que foi anulada porque quem tem a fórmula decorada e colocou o a equação no formato (-3x+2y) igual eu kkk por pensar que a incógnita X é igual ao Variante X kk achou o resultado 217