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No equilíbrio de longo prazo em mercados competitivos, o custo médio se iguala ao custo marginal em seu ponto mínimo, determinando preço de mercado e quantidade de equilíbrio de cada empresa. Logo, CMgLP = CMeLP = p. Com isso em mente, dado que o custo total é CT(Q) = 20Q³ - 400Q² + 2500Q, seguem os cálculos para CMg e CMe.
CMe: divide-se o custo total pela quantidade produzida pela empresa:
CMe = 20Q² - 400Q + 2500.
CMg: deriva-se a função de custo total na quantidade produzida pela empresa:
CMg = 60Q² - 800Q + 2500.
CMg = CMe
20Q² - 400Q + 2500 = 60Q² - 800Q + 2500
Q = 10. Substituindo na curva de custo médio da empresa, por exemplo, temos:
p = CMe
p = 20*10² - 400*10 + 2500.
p=500.
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O conhecimento teórico que temos que ter aqui é que, em concorrência perfeita, o equilíbrio de longo prazo se dá com preço igual ao custo médio mínimo.
O resto é cálculo.
Podemos obter a quantidade produzida cujo custo médio é mínimo igualando custo médio e custo marginal ou derivando o custo médio e igualando-o a zero (é o caso em que encontramos o valor mínimo ou máximo da função).
Vamos pelo segundo caminho para ficarmos com uma equação de primeiro grau, mais fácil de resolver
Dada a função de custo total, podemos obter a de custo médio dividindo-a pela quantidade:
Cme=(CT(Q))/Q = 20Q² - 400Q + 2500
Agora, derivando esta função e igualando a zero, encontrarmos Q que minimiza o custo médio:
CmeMin=(∂Cme(Q))/∂Q = 0
CmeMin=40Q-400 = 0
40Q=400
Q=10
Substituindo esta quantidade que minimiza o custo médio na função de custo médio, teremos afinal o custo médio mínimo.
Cme(Q) = 20Q² - 400Q + 2500
Cme(10)= 20.10² - 400.10 + 2500
Cme(10)= 20.100 - 400.10 + 2500
Cme(10)= 2.000 - 4.000 + 2500
Cme(10)= 500
Resposta: D
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Ct = 20q^3 – 400q^2 + 2500q
Cme = 20q^2 – 400q + 2500
Equilíbrio de longo prazo: Cme’ = 0
Cme’ = 40q – 400
40q = 400
q = 10
Cme(40) = 20(10)^2 – 400(10) + 2500 = 2000 – 4000 + 2500 = 500
GABARITO: D
Bons estudos!
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GAB: LETRA D
Complementando!
Fonte: Celso Natale - Estratégia
Vamos lá!
No equilíbrio de longo prazo em concorrência perfeita, o que temos para a firma individual?
Temos, então, que o custo marginal, o custo médio, a receita média, a receita marginal e o preço são iguais. Ou: CMg=CMe=RMe=RMg=p.
Isso nos dá um belo leque de opções, mas como a questão nos forneceu a função de custo, podemos obter custo marginal e custo médio.
Para o custo médio, basta dividir a função por “q”:
- CMe = CT ÷ q
- CMe = (20Q^3 - 400Q^2 + 2500Q) ÷ q
- CMe = 20Q^2 - 400Q + 2500
Agora, vamos ao custo marginal, que sabemos ser a primeira derivada do custo total:
CMg=CT'
- CMg=3.20Q^(3-1) - 2.400Q^(2-1) + 1.2500Q^(1-1)
- CMg=60Q^2 - 800Q^1 + 2500Q^0
- CMg=60Q^2 - 800Q + 2500Q.1
- CMg=60Q^2 - 800Q +2500
Agora, vamos igualar CMg e CMe
- CMe=CMg
- 20Q^2 - 400Q + 2500 = 60Q^2 - 800Q+2500
E resolver a equação:
- 60Q^2 - 20Q^2 - 800Q + 400Q + 2500 - 2500=0
- 40Q^2 - 400Q = 0
Temos uma equação de 2ª grau, então você pode usar a “fórmula de Báskara” ou, como farei a seguir, utilizar a fatoração:
Perceba que, para que essa multiplicação do lado esquerdo seja zero, ou “Q=0”, ou “Q=10”. Não estamos interessados na situação onde nada é produzido, então ficamos com:
Por fim, como estamos interessados no preço, vamos colocar o valor que encontramos na função de custo marginal ou na função de custo médio. Tanto faz: você viu que são todos iguais (p, CMg e CMe).
Eu acho a função de CMe mais amigável, então:
- P = CMe = 20Q^2 - 400Q + 2500
- P = 20Q^2 - 400Q + 2500
Inserindo o valor de “Q”:
- P = 20.10^2 - 400.10+2500
- P = 20.100 - 400.10 + 2500
- P=2000-4000+2500
- P=500
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O conhecimento teórico que temos que ter aqui é que, em concorrência perfeita, o equilíbrio de longo prazo se dá com preço igual ao custo médio mínimo.
O resto é cálculo.
Podemos obter a quantidade produzida cujo custo médio é mínimo igualando custo médio e custo marginal ou derivando o custo médio e igualando-o a zero (é o caso em que encontramos o valor mínimo ou máximo da função).
Vamos pelo segundo caminho para ficarmos com uma equação de primeiro grau, mais fácil de resolver
Dada a função de custo total, podemos obter a de custo médio dividindo-a pela quantidade:
Cme=CT(Q)Q = 20Q² - 400Q + 2500
Agora, derivando esta função e igualando a zero, encontrarmos Q que minimiza o custo médio:
CmeMin=∂Cme(Q)∂Q = 0
CmeMin=40Q-400 = 0
40Q=400
Q=10
Substituindo esta quantidade que minimiza o custo médio na função de custo médio, teremos afinal o custo médio mínimo.
Cme(Q) = 20Q² - 400Q + 2500
Cme(10)= 20.10² - 400.10 + 2500
Cme(10)= 20.100 - 400.10 + 2500
Cme(10)= 2.000 - 4.000 + 2500
Cme(10)= 500
Resposta: D