Talvez esta não seja a forma mais rápida de fazer a questão, mas é uma leitura que segue o padrão existente no livro de Microeconomia do Pyndick e Rubinfeld:
Dados que CT (l,s) = 25ql,s e a curva de demanda inversa do mercado é P(Q) = 175 - 1,5Q em que Q=Ql+Qs, então comecemos por tentar encontrar a curva de reação da empresa seguidora, da qual a líder determinará sua quantidade produzida. Para isso, segue o cálculo da receita total da seguidora, RTs:
RTs = P*Qs = [175 - 1,5(Qs+Ql)]Qs
RTs = 175Qs - 1,5QlQs - 1,5Qs².
Daí, calcula-se a receita marginal da empresa seguidora, derivando em Qs a receita total:
RMgs = 175 - 1,5Ql - 3Qs.
Igualando a receita marginal ao custo marginal da empresa seguidora, esta maximiza seu lucro com base na quantidade da empresa líder. O objetivo prático aqui é encontrar a função de Qs com base em Ql:
Primeiro derivamos o custo total da empresa seguidora para encontrar seu custo marginal:
Cts = 25Qs
CMgs = 25 (esse valor será o mesmo para a empresa líder, que usaremos mais adiante também).
Igualando RMg = CMg para a empresa seguidora:
175 - 1,5Ql - 3Qs = 25
3Qs = 150 - 1,5Ql
Qs = 50 - 0,5Ql --> curva de reação da empresa seguidora.
Com base nessa curva, a empresa líder determinará sua quantidade produzida pelo mesmo processo de maximização do lucro, igualando RMgl ao CMgl. Seguem os cálculos a partir da RTl:
RTl = P*Ql = 175Ql - 1,5(Qs+Ql)Ql
RTl = 175Ql - 1,5[Ql + (50-0,5Ql)]Ql
RTl = 175Ql - 75Ql - 0,75Ql²
RTl = 100Ql - 0,75Ql²
RMgl = CMgl
100 - 1,5Ql = 25
Ql = 50
Por substituição dos valores na curva de reação da empresa seguidora,
Qs = 25.
Logo, o preço na função de demanda inversa será:
P(Q) = 175 - 1,5*75
P(Q) = 62,5
Finalmente, para descobrir o lucro da empresa líder deve-se deduzir o custo total da receita total desta:
RTl - CTl
62,5*50 - 25*50 = 1875.
A primeira coisa que devemos fazer aqui é acharmos a curva de reação da empresa seguidora porque ao tomar a sua decisão após a firma líder, a firma seguidora considera a produção da concorrente como dada.
Para isso, precisamos achar a sua função de receita total, derivamos para obter a receita marginal e igualamos a seu custo marginal. O resultado disso é o que conhecemos como a curva de reação. Vamos a isto.
Sabemos que a receita total é igual à multiplicação entre preço e quantidade.
Mas cuide com um detalhe: Q = (qL + qS) em que qL é a quantidade produzida pela firma líder e qS é a quantidade produzida pela firma seguidora e Q é a quantidade total produzida no mercado.
Como P(Q) = 175 – 1,5Q, temos que a receita total da firma seguidora será:
RTS = P*qS = (175 – 1,5Q)qS
Como aquele “Q” maiúsculo é a quantidade somada da produção das duas firmas, precisamos decompô-lo:
RTS = (175 – 1,5qS-1,5qL)qS
RTS = 175qS – 1,5qS²-1,5qLqS
Achada a receita total da firma Seguidora, derivamos em relação a qSpara encontrarmos sua receita marginal:
RmgS = 175 – 3qS-1,5qL
Achada a receita marginal da Seguidora, igualamos ao seu custo marginal para termos a condição de lucro máximo, isto é, sua curva de reação:
Sabemos que seu custo total é de 25qS.
Derivando em relação a qS, temos que seu custo marginal é igual a 25.
Logo, na condição de lucro máximo, temos:
CmgS=RmgS
25=175 – 3qS-1,5qL
Isolamos qS e obtemos a curva de reação da empresa Seguidora:
3qS=175 – 25-1,5qL
3qS=150-1,5qL
qS=150-1,5qL3
qS=50-0,5qL
Achada a curva de reação da firma seguidora, já podemos procurar a quantidade produzida pela firma líder.
Como a empresa líder pode prever a quantidade que a empresa seguidora ofertará, tomará a melhor decisão em cima disso.
Como a curva de demanda é a mesma, a receita total de L é análoga à receita total de S.
Assim, como a receita total da seguidora é RTS = 175qS – 1,5qS²-1,5qLqS, a receita total da firma líder é dada por:
RTL = 175qL – 1,5qL²-1,5qLqS
Repare que apenas trocamos S por L. É um atalho e tanto!
E como nós dispomos da curva de reação de S, temos que qS=50-0,5qL
Logo, na própria função de receita total da firma líder, nós já devemos colocar o valor de qS=50-0,5qL.
Então:
RTL = 175qL – 1,5qL²-1,5qLqS
RTL = 175qL – 1,5qL²-1,5qL(50-0,5qL)
RTL = 175qL – 1,5qL2-75qL+0,75qL²
Agora simplificamos as coisas:
RTL = 100qL – 0,75qL²
Tendo a receita total da firma líder, derivamos e encontramos sua receita marginal:
RmgL = 100 – 1,5qL
Sabemos que o custo marginal da firma é 25, já que sua função de custo total também era de 25q.
Assim, igualamos custo e receita marginais e obtemos o ponto ótimo de produção da firma líder:
CmgL=RmgL
25= 100 – 1,5qL
1,5qL=100-25
1,5qL=75
qL=751,5
qL=50
Visto que a firma líder produz 50 unidades, substituímos a sua produção na curva de reação da seguidora e achamos a produção ótima também da firma seguidora:
qS=50-0,5qL
qS=50-0,5(50)
qS=50-25
qS=25
Concluímos então que a quantidade produzida pela líder é de 50 unidades e a produção da seguidora é de 25 unidades.
Logo, sabemos que a produção total do mercado é de 75 unidades.
Com isso, conseguimos achar o preço deste mercado.
Basta substituirmos a quantidade total na curva de demanda:
P = 175 - 1,5Q
P = 175 - 1,5(75)
P = 175 - 112,5
P = 62,5
Sabendo finalmente a quantidade produzida pela firma líder e o preço de mercado, temos como calcular sua receita e sua despesa.
Sua receita total é simplesmente a multiplicação entre sua produção e o preço:
RTL=P*qL
RTL=62,5*50
RTL=3.125
Seu custo total, segundo o enunciado, é 25qL. Então:
CTL=25qL
CTL=25*50
CTL=1.250
Finalmente, pela diferença entre sua receita e custo, temos o lucro da firma líder:
LL= RTL - CTL
LL = 3.125-1.250
L = 1875
Resposta: B