Fiz assim:
Primeiro achei a receita marginal de uma empresa, a q1. A receita é P*q1 = (400 - 3Q)*q1 = 400q1 - 3Qq1. Mas Q é o somatório de todos os qi das 25 empresas.
Então, Receita Total da empresa 1 = 400q1 - 3q1^2(tirei o q1 de dentro do Q) - 3q1*(somatório das 24 outras empresas)
Derivando para achar a receita marginal: Rmg = 400 - 6q1 - 3(Somatório das 24 empresas).
Agora você deve levar em conta que como o modelo é de Cournout então todas as empresas vão ter a mesma função de reação, ou seja, vão produzir a mesma quantidade. Então, eu considerei que o somatório das 24 qi das outras empresas na verdade são iguais a 24*q1.
Substituindo, Rmg = 400 - 78q1.
No ponto de máximo, Rmg = Cmg -> 400 - 78q1 = 88, q1 = 4.
Como a questão pede a produção total (Q) Q = 25*4 = 100.
Letra e.
Estamos acostumados a trabalhar estes modelos de oligopólio com duas firmas, que inclusive chamamos de duopólio. E elas são as mais comuns mesmo. Mas aqui a FGV colocou um temperinho especial.
De qualquer forma, basta calcularmos a curva de reação de uma firma multiplicando suas concorrentes por 24, já que são 25 firmas no mercado. Vamos nessa.
Sabemos que a quantidade total (QT) é dada por QT= QA+ 24 Qn
E repare que a curva de demanda de mercado é: p(Q) = 400 – 3Q
Como a quantidade Q é a quantidade total ofertada no mercado, ali precisamos substituir pelo que definimos como QT:
p(Q) = 400 – 3QT
p(Q) = 400 – 3QA+ 24 Qn
p(Q) = 400 – 3QA - 72Qn
Agora lembre que a receita total da firma A é dada pela multiplicação entre sua quantidade e o preço definido acima.
RTA=p*QA
Como nós sabemos o preço:
RTA=(400 – 3QA- 72Qn)*QA
Resolvendo a multiplicação dos três termos:
RTA=400QA – 3QA²- 72QnQA
Tendo a receita total, podemos calcular a receita marginal de A, que é dada pela derivada da função de receita total em relação a QA:
RmgA=400 – 6QA- 72Qn
Uma coisa que precisamos ter em mente aqui é que a receita marginal é igual para todas as firmas.
Isso significa que produzirão quantidades iguais, já que seus custos também são iguais!
Isso significa que, QA=Qn.
Então:
RmgA=400 – 6QA- 72QA
RmgA=400 – 78QA
Agora, basta que igualemos a receita marginal da firma individual e seu custo marginal.
Como o custo total de cada firma i é de 88Qi, então seu custo marginal é de 88 simplesmente.
Logo:
CmgA=RmgA
88=400 – 78QA
78QA=400-88
78QA=312
QA=31278
QA=4
Assim, vemos que cada firma produz 4 unidades.
E como esse oligopólio é composto por 25 firmas, a quantidade total é de 100 unidades, já que 25 firmas produzirão 4 unidades cada.
Resposta: E