Questão 1918237

• Banca: Marinha
• Órgão: CEM
• Ano: 2014
• Provas: Marinha - 2014 - CEM - Primeiro Tenente - Para todas as Engenharias
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Trigonometria

Os pontos de mínimo local de f(x)= x/2 - sin x, x ∈ R, são:

• A. π/3 + 2 kπ, k ∈ Z.
• B. -π/3 + 2 kπ, k ∈ Z.
• C. ± π/3 + 2 kπ, k ∈ Z.
• D. - π/3 + kπ, k ∈ Z.
• E. π/3 + kπ, k ∈ Z.

Gabarito: A

Comentários

• f '(x) = 1/2 - cos(x)

  f '(x) = 0

  0 = 1/2 - cos(x)

  cos(x) = 1/2

  cos(x) = 1/2 = 60° = PI/3

  isolando o x...

  x = (PI/3) +2PI.n

• cos (-pi/3) = 1/2 também

  não entendi o gabarito

• Larissa, apenas o pi/3 é um mínimo local.

  o -pi/3 é máximo local.

  Para testar é só colocar um valor intermediário entre pi/3 e -pi/3 no valor de x na derivada.

  f'(0) = -1/2 (exemplo) , ou seja, é descrescente em zero, o que significa que a função esta descendo em direção à x = pi/3, o que torna pi/3 um mínimo local.

  daí então haverão mínimos locais para pi/3 + 2*pi*k, para qualquer inteiro de k uma vez que a função é trigonométrica

• Para que o ponto seja um mínimo local, a primeira derivada deve valer 0 e a segunda derivada deve ser positiva.

  Temos:

  f(x) = x/2 - sin x

  f'(x) = 1/2 - cos x

  f''(x) = sen x

  Para achar os mínimos locais, temos:

  f'(x) = 0

  1/2 - cos x = 0

  cos x = 1/2

  x = +-pi/3 + 2kpi

  f''(x) > 0

  sen x > 0

  sen(pi/3) = raiz3/2 >0

  sen(-pi/3) = -raiz3/2 < 0 (não é um mínimo local)