Questão 1941625

• Banca: Marinha
• Órgão: CEM
• Ano: 2012
• Provas: Marinha - 2012 - CEM - Primeiro Tenente - Para todas as Engenharias
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Derivada

Seja f:R —> R uma função duas vezes derivável e considere u:R² —> R, definida por u (x,y) = f (x² - y) . Então, o laplaciano de u é :

• A. 2f' (x² - y) + (4x² - 1)f" (x² - y)
• B. 2f' (x²-y) - f'' (x² - y) 
• C. 2f' (x² - y) + (4x² + 1)f" (x² - y)
• D. 2f'' (x² - y)
• E. (4x² + 1) f '' (x² - y) 

Gabarito: C

Comentários

• Sendo o Laplaciano de uma função f(x,y) ( L(f) ) definido como

  L(f) = d²f/dx² + d²f/dy² ,

  onde d²f/dx² é a derivada parcial segunda de f com relação à variável x e d²f/dy² é a derivada parcial segunda de f com relação à variável y, temos que pela regra da cadeia

  du/dx = d(x²-y)/dx . f ' (x²-y) = (2x) f ' (x²-y) = 2x f ' (x²-y)

  du/dy = d(x²-y)/dy . f ' (x²-y) = (-1) f ' (x²-y) = - f ' (x²-y)

  Logo, pela regra do produto:

  d²u/dx² = d ( 2x f ' (x²-y) ) / dx = d (x)/dx (2f ' (x²-y)) + (2x) (f ' (x²-y) ) ' = 2f ' (x²-y) + (2x) [ (2x) ( f '' (x²-y) ) ] = 2f ' (x²-y) + 4x²f '' (x²-y)

  d²u/dy² = d (- f ' (x²-y) ) / dy = + f '' (x²-y)

  Por fim, colocando f '' (x²-y) em evidência:

  L (u) = 2f ' (x²-y) + 4x² f '' (x²-y) + f '' (x²-y) = 2f ' (x²-y) + (4x² + 1) f '' (x²-y)