Pelo Teo. de Green a integral de linha da curva é igual a Integral de Área de (dQ/dx-dP/dy)dA, onde P=(x^2+2y) e Q=(x+y^2). Sendo assim, (dQ/dx-dP/dy)=-1 e a integral de linha é igual a área da curva lambda parametrizada po t no intervalo 0<=t<=2pi. Como esta curva é um circulo de raio 1, sua área é pi. Chegamos então a resposta de -pi.
Tem como fazer como Integral de 0 a 2pi de F(x(t),y(t)).(dlambda/dt) em dt, mas dá muito trabalho e não se teria tempo de fazer isso em uma prova.
Nessa questão, temos que fazer a integral de linha pelo campo vetorial, ou pelo teorema de green.
Pelo Teorema de Green, temos:
∫ 0->2pi ∫ 0->1 r dr do
Derivando em relação à x e y temos = -1
Substituindo na equação achamos -pi
Mas podemos também fazer por integral de linha do campo vetorial, caso a gente esqueça do teorema de green:
∫ 0->2pi ( cos^2t+ 2 sint, cost + sin^2 t) ,(-sent, cost) dt
Fazendo a multiplicação de cada vetor, temos:
∫ 0->2pi (cos^2t* -sen t) dt = utilizando integral por substituição, fica cos^3t /3= 0
∫ 0-> 2pi ( 2sin^2 t) dt = ps: lembrar das relações trigonométricas, fica -2pi
Assim por diante, a´te que fica -2pi +pi =-pi
Pelo teorema de green, sai muito mais rápido, em uma prova é melhor usar esse método, mas se caso der branco na prova, por esse método da do mesmo jeito. Basta lembras das relações trigonométricas , sen 2pi e spi = o, já elimina bastante tempo rs.