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POR FAVOR ALGUÉM PODE ME AJUDAR??
CHEGUEI A SOLUÇÃO HOMOGÊNEA EM FUNÇÃO DE m : [(1+m)/3]e^2x + [(2-m)/3]e^-x
Agora empacou kkkkk, como acho o valor de m???
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Boa noite Mailton! Você fez praticamente tudo. Perceba que ele disse que a função tem que ser LIMITADA no intervalo de 0 a infinito. Da uma conferida, caso queira, na definição de função limitada. Mas já adiantando, caso uma função que tenha sua imagem tendendo ao infinito para algum valor do dominio, ela será ilimitada. Assim, note que a função e^x é ilimitada para valores de x crescentes, ao passo que a função e^-x será LIMITADA.
Sabendo disso, escolha um "m" tal que zere a parcela com exponencial positiva do seu resultado, ou seja, escolha m= -1.
Bons estudos.
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Pode ser feita da seguinte forma.
Resolva a equação:
Vai ficar
Y = A.e^2t + B.e^(-t)
Y' = 2.A.e^2t - B.e^(-t)
Sabendo que a imagem é limitada em [0,+inf [, ela não pode ser ilimitada para qualquer domínio, ou seja, para qualquer domínio ela não pode tender a infinito.
Logo, podemos zerar a parcela de A, uma vez que se tirarmos seu limite, a função tenderá a +inf, ilimitando a mesma.
Então, usando as condições de contorno dadas:
1 = A + B
m = 2A - B
zerando A,
B = 1
m = -1 (letra B)
Observemos que se resolvermos o sistema zerando o termo errado, irá nos dar m = 2, que vai deixar a função ilimitada.
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SOLUÇÃO HOMOGÊNEA EM FUNÇÃO DE m : [(1+m)/3]e^2x + [(2-m)/3]e^-x
Acho que o que causa confusão nessa questão é a interpretação do enunciado.
É pedido uma Solução Y, no intervalo de x+ - [0, +inf) - que seja limitada.
A definição de função limitada é a função F(x) que seja limitada m < F(x) < M para este domínio.
A exponencial de 2x tem valor fixo para F(0) e tende a infinito quando x tende a infinito - que não é o que queremos. Já a exponencial de -x tem valor fixo para F(0) e tende a zero quando x tende a infinito - Que é o que queremos, uma função limitada para x+!.
Assim zeramos o coeficiente que nos levaria a uma função ilimitada: [(1+m)/3] = 0... m=-1. e Temos Y = [(2-m)/3]e^-x para m = -1: Y = e^-x - cujo limite da imagem é [1,0[, para o domínio [0,+inf]