Forma geral de uma equação do segundo grau com duas incógnitas: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Para ser considerada equação da circunferência é preciso que seus coeficientes (A,B,C,D,E,F) obedeçam algumas condições:
1) A e B devem ser iguais e diferentes de zero (A=B ≠ 0); (Elimina alternativa (c) x2 − 3y2 − 5x − 7y − 1 = 0)
2) C dever ser igual à zero (C = 0), ou seja, não exite xy na equação; (Elimina alternativa (b) x2 + y2 + xy − 4y − 6y − 9 = 0)
3) Na forma reduzida, o valor do segundo membro da igualdade (F) deverá ser um valor positivo: (x – a)2 + (y – b)2 = k, sendo k > 0.
Solução: alternativa (a) 2x2 + 2y2 − 4x − 6y - 3 = 0
1) 2x2 = 2y2 (A=B) -> OK
2) Não há xy -> OK
3) Passando para a forma reduzida:
* 2x2 + 2y2 − 4x − 6y - 3 = 0 -> transforma x2 e y2 em coeficiente 1 dividindo tudo pelo coeficiente 2
* x2 + y2 − 2x − 3y - 3/2 = 0 -> agrupa x e y e iguala ao coeficiente F (3/2)
* (x2 - 2x) + (y2 - 3y) = 1,5 -> aplica primero passo da redução e encontra 3 termo de cada equação
* (x2 - 2x + 1) + (y2 - 3y + 2,25) = 1,5 + 1 + 2,25 -> aplica segundo passo da redução a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
* (x - 1)2 + (y - 1,5)2 = 4,75 > 0 -> a equação representa uma circunferência
Importante lembrar: para redução, lembre-se da fórmula para o quadrado da equação x + y -> (x + y)2 = x2 + 2xy + y2, o seja, quadrado do primeiro (x2) + 2 vezes o primeiro vezes o segundo (2xy) + quadrado do segundo (y2)!
Referências:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/reconhecendo-uma-circunferencia.htm
https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_4248468377&feature=iv&src_vid=OJjIoJa6qtQ&v=HKLq9X_ip5g
https://www.youtube.com/watch?v=OJjIoJa6qtQ
Fórmula básica: (x-a)²+(y-b)²=R²
Pode-se observar que as alternativas "B" e "C" são totalmente descartáveis, pois não fazem jus ao básico da circunferência (x²+y²), ou valores multiplicados, divididos, isso não interfere na equação. Logo, podemos analisar as duas alternativas que sobraram, ou seja, "A" e "D".
Para ser uma circunferência é necessário manter a lógica de ter um raio, ou seja, R>0. Se mantermos essa lógica, a letra "D" torna-se indevida, pois o valor expresso por essa equação é R=0, logo, podemos afirmar que a alternativa correta é a letra "A".
Caso essa explicação tenha ficado confusa, leia novamente!!!
Bons estudos!