Prof Vitor Menezes:
Temos uma distribuição exponencial. Se o candidato se lembrar da fórmula da distribuição acumulada, pode ir direto para ela. Se não lembrar, precisa calculá-la, assim:
F(k)=∫0kf(v)dv
F(k)=∫0k0,5×e−0,5vdv
F(k)=[0,5×e−0,5v×1−0,5]k0
F(k)=1−e−0,5k
Pronto, esta é a fórmula que temos que usar. Se você lembrasse dela, nem precisaria do passo a passo acima.
Para que kk seja a mediana (a que o exercício chamou de mm ), sua probabilidade acumulada deve ser de 50%.
F(m)=0,5
1−e−0,5m=0,5
e−0,5m=0,5
Aplicando o logaritmo dos dois lados da igualdade.
−0,5m=ln(0,5)=ln12
−0,5m=ln2−1
−0,5m=−ln2
0,5m=0,69
m=1,38
Resposta: C
Nós precisamos encontrar a situação em que distribuição acumulada = 50%
1o passo: encontrar a distribuição acumulada
F(v) = integral de f(v)
F(v) = 0,5 * integral (e^0,5v)dv
Dica: caso vc esteja com dificuldade em integral, entrar no site pt.symbolab e verificar o passo a passo da resolução dessa integral
Aqui será uma integral por substituição em que u = -0,5v
(...)
integral (e^0,5v)dv = -2 * e^-0,5v
F(V) = 0,5 * [- 2 * e^-0,5v] = - e^-0,5v
2o passo: definindo essa integral de a até 0
F(a) = - e^-0,5a
F(0) = -1
F(a) - F(0) = - e^-0,5a - (-1) = 1 - e^-0,5a
3o passo: queremos a mediana, então vamos fazer a acumulada em 50%
F(a) = 50% = 0,5
1 - e^-0,5a = 0,5
e^-0,5a = 0,5
sabemos que ln 2 = 0,69, então vamos usar as propriedades de ln e um pouco de criatividade
ln (e^-0,5a) = ln(0,5)
-0,5a = ln 2^-1
-0,5a = - ln 2
-0,5a = -0,69
a = 0,69/0,5 = 1,38
Gabarito: letra (c)