SóProvas


ID
2081116
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PR
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Suponha que o número mensal X de pessoas que sofrem algum tipo de acidente em um centro comercial siga uma distribuição de Poisson. Considerando que P(X = 0) = 0,1 e ln10 = 2,3, assinale a opção correta.

Alternativas
Comentários
  • Poisson:

    P(X=k) = e^-lâmbida*lâmbida^k / k!

    Para k = 0 temos que P(X=0) = 0,1, ou seja:

    e^-lâmbida = 0,1 = 1/10

    Aplicando Ln em ambos os lados temos que:

    Lâmbida = 2,3.>> P(X=1) = 0,23 >> letra c

     

  • Temo que Poisson: P(x) = (e^-y).(y^x)/x!, sendo y a variância e a média ao mesmo tempo, e x a quantidade de ocorrências.

    Foi dado que P(0) = 0,1 = e^-y.(y^0)/0! >>>>  0,1 = e^-y >>>>>   multiplica por 100 dos dois lados: 10 = 100. (e^-y) >>>> ln10 = ln100 + ln(e^-y) >>>>> ln100 - ln10 = y.lne >>>> ln (100/10) = y >>>>> 2,3 = y.

    Pronto, achamos a variância y.

    Agora testamos para P(1):

    P(1) = e^-2,3. (2,3^1)/1 = 0,100 . 2,3 = 0,23  que está contido no intervalo 0,20 < P(X = 1) < 0,25.

  • Como fazer isso sem calculadora?

  • Prof Vítor Menezes:

    Na distribuição de Poisson, com parâmetro λλ , temos:

     

    P(X=k)=eλ×λkk!

     

    Fazendo k=0k=0 :

     

    P(X=0)=eλ×λ00!

     

    0,1=eλ     (I)

     

    Aplicando o logaritmo dos dois lados da igualdade:

     

    ln0,1=−λln⁡0,1=−λ

     

    ln10−1=−λln⁡10−1=−λ

     

    −1×2,3=−λ

     

    λ=2,3      (II)

     

    Devemos lembrar que a variância da distribuição de Poisson é justamente igual a λλ . Portanto:

     

    V(X)=2,3V(X)=2,3

     

    O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Como a variância foi menor que 4, então necessariamente o desvio padrão será menor que 4–√=24=2 . Logo, incorreta a letra A.

     

    A esperança de XX também vale λλ , isto é, também vale 2,3. Portanto, incorreta a letra E.

     

    A distribuição de Poisson só assume valores inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, 4, ...). Logo, incorreta a letra D.

     

    Na letra B, queremos calcular a chance de X ser maior que 1. Pensando no evento complementar, basta então tomarmos 100% e subtrairmos a chance dos eventos X=0X=0 e X=1X=1 .

     

    P(X>1)=1−P(X=0)−P(X=1)

     

    P(X>1)=1−0,1−P(X=1)

     

    P(X>1)=0,9−P(X=1)

     

    Só obteríamos 0,9 se a chance do evento X=1X=1 fosse nula, o que é absurdo. Incorreta a letra B.

     

    (Obs: na letra C veremos que a probabilidade do evento X=1X=1 vale 23%. Portanto, para quem preferir concluir o cálculo acima, o resultado seria 0,90−0,23=0,670,90−0,23=0,67 )

     

    Por fim, na letra C temos:

     

    P(X=1)=eλλ11!

     

    Lembre-se de que λλ vale 2,3 (vide equação II).

     

    P(X=1)=e−2,3×2,3

     

    Lembre-se ainda de que eλ=0,1e−λ=0,1 (vide equação I).

     

    P(X=1)=0,1×2,3

     

    P(X=1)=0,23P

     

    De fato, a chance do evento X+1X+1 está entre 20% e 25%, como afirmado pela letra C.

  • Para:

    P(X=0) = e^-lâmbda.lâmbda^0/0! = e^-lâmbda

    Se P(x=0) = 0,1 então 0,1 é igual a e^-lâmbda

    Podemos substituir agora em P(X=1):

    P(X=1) = 0,1.Lâmbda^1/1! = 0,1 lâmbda

    se 10 lambda é 2,3

    1lâmbda é 0,23.!!!

  • tome por base esse desenho que fiz pra tentar facilitar: http://sketchtoy.com/69561687 (tente ir controlando a velocidade movimentando a bolinha que fica na parte inferior do desenho, pq passa mt rápido)

    primeiro: ln significa logaritmo neperiano. não há nescessidade de aprofundar, mas grave que o ln de 10, (ln10), é o mesmo que o log ₑ¹⁰, que no caso do enunciado log ₑ¹⁰= 2,3. pra quem não ta familiarizado com log, significa que e^2,3=10 (e elevado a 2,3 é igual a 10)

    segunda parte: repare que p(x=0)=0,1. ou seja, quando trazemos pra formula de poisson (tá melhor representada no desenho que fiz no link do começo) temos que 0,1=e^-λ. ou ainda, 0,1=1/e^λ (fiz apenas uma operação algébrica pra tirar o expoente negativo, também mostrado no desenho).

    terceira parte: se 0,1=1/e^λ (1/e^λ=10%), então 1 = 0,1 x e^λ, logo 10 vai ser igual a =e^λ.

    quarta parte: se e^λ=10, e e^2,3=10, então λ=2,3. o que elimina as demais alternativas e nos traz a alternativa C=

    0,20 < P(X = 1) < 0,25.

    perceba que, P(x=1)=e^-2,3 x λ^1/1

    P(x=1)=1/e^2,3 x 2,3

    P(x=1)=1/10 x 2,3

    P(x=1)=0,23

    caso nao tenha entendido, msg