Questão bem simples, graças a Deus.
Vamos lá!
Antes de tudo, você tem que saber que |z| representa o módulo do número complexo "z", ou seja, ao tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária, encontramos como resultado o 1.
Sendo assim: z= Raiz quadrada de a^2 + b^2 = 1
Na forma trigonométrica : z = 1 cis θ
Por que cis θ ? Como o módulo vale 1, o argumento( ângulo) pode ser qualquer um.
Ex: Se o argumento for pi/3, o módulo será 1. Se o argumento for pi/6, o argumento será 1, ou seja, o cis θ representa um argumento "genérico".
Quanto ao número complexo v, temos os afixos, ou seja, a coordenada dele no Plano de Argand- Gauss. Agora, vamos passar para a forma trigonométrica pra facilitar a multiplicação.
v = √2/2 + √2/2i
Passando para a forma trigonométrica, encontramos o modulo 1, pois a raiz quadrada de (√2/2)^2 + (√2/2)^2 vale 1 . Assim : v = 1 cis (pi/4)
Pra finalizar a questão, fazemos a multiplicação z.v ( o que é pedido no enunciado da prova. O daqui está errado)
Para fazer a multiplicação de dois números complexos na forma trigonométrica, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos.
Assim: z.v= 1.1 cis( pi/4 + θ )
Sabendo disso, vamos para as alternativas.
A- Será real, se a parte imaginária for 0, ou seja, não tem como ser real.
B- O módulo sempre será 1, já que 1. 1=1
C-Será imaginário puro se a parte real for 0, ou seja, inverídico.
D-Correto. Nesta equação, temos uma circunferência cujo centro está na origem do plano, ou seja, o raio é 1. Sendo assim. todo número complexo com o módulo igual a 1 pertence a esta circunferência.
E- Observe o argumento do número complexo. Fica ( pi/4 + θ ), ou seja, o valor tem que ser MAIOR que pi/4