Questão 2158642

• Banca: FGV
• Órgão: FGV
• Ano: 2016
• Provas: FGV - 2016 - FGV - Vestibular - Administração, Ciências Sociais e Direito; FGV - 2016 - FGV - Vestibular - Ciências Econômicas e Matemática Aplicada
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Circunferências e Círculos; Geometria Plana; Quadriláteros

A razão entre a área do quadrado inscrito em um semicírculo de raio R e a área do quadrado inscrito em um círculo de raio R é:

• A. 1/2
• B. 1/3
• C. 3/4
• D. 2/5
• E. 1/4

Gabarito: D

Comentários

• área do quadrado menor (está inscrito no semicírculo, logo aplicamos pitágoras em função de que o lado deste quadrado forma um ângulo de 90º com metade do lado e consideramos a hipotenusa como o raio do semicírculo) 

  R^2 = 1/2.L^2 + L^2
  R^2 = 1/4 L^2 +L^2
  R^2 = 5/4L^2
  L^2 = 4/5.R^2   (área do quadrado menor)
  
  quadrado maior possui a metade da diagonal como raio, logo temos que:

  Diagonal = 2R (i)
  Diagonal = L \/2   (ii)

  subistituindo (ii) em (i)
  L \/2 = 2R
  L= 2R / \/2 (racionalizando o denominador)
  L = R.\/2
  conhecemos o lado, agora calculamos a área:
  L.L = 2.R^2 (área do quadrado maior)
  
  razão entre o menor e o maior
  (4/5.R^2 ) /  (2.R^2)
  (4/5.R^2 ) . 1/(2.R^2)
  2/5
  Bons estudos!