Vamos lá, a questão informa que o processo de fabricação de equipamentos está sob controle mesmo quando 10% destes saem com defeito.
Ele afirma que para testar se o processo está sob controle, é feito um teste em que é colhida uma amostra de 4 equipamentos. Como estamos trabalhando com uma proporção de serem defeituosos (D) ou não serem defeituosos (Ñ), desse teste poderíamos ter as seguintes possibilidades:
Ñ Ñ Ñ Ñ (4 equipamentos não defeituosos)
D Ñ Ñ Ñ (1 equipamento defeituoso)
D D Ñ Ñ (2 equipamentos defeituosos)
D D D Ñ (3 equipamentos defeituosos)
D D D D (4 equipamentos defeituosos)
O examinador afirma que o teste será considerado como fora de controle se o número de equipamentos defeituosos for maior que 2.
De forma contrária, se o número de equipamentos for igual ou menor que 2, significa que o processo está sob controle, pois se encontra dentro da área de não rejeição.
O nível de significância corresponde a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando ela é, de fato, verdadeira.
Ou seja, se eu partir da premissa de que a hipótese nula é verdadeira - está sob controle se 2 ou menos equipamentos estiverem com defeito -, então eu devo considerar meu nível de significância como a situação em que eu tenho três equipamentos ou quatro equipamentos defeituosos.
Vamos então caçar esse nível de significância:
A hipótese nula afirma que a proporção de equipamentos defeituosos é igual 0,1
Calculando a probabilidade de três equipamentos defeituosos:
0,1 x 0,1 x 0,1 x 0,9 x 4 = 0,0036
Lembre-se que esse 4 decorre de ser uma probabilidade binomial, pois não sabemos como a ordem das maquinas ocorrerá. Logo, permutamos quatro elementos com a repetição de três deles.
Calculando a probabilidade de quatro equipamentos defeituosos:
0,1 x 0,1 x 0,1 x 0,1 = 0,0001
O nível de significância seria então a soma da probabilidade das duas situações. Logo, α = 0,0037 ou 0,37%
Quanto à potência do teste, esta é definida como uma situação onde eu rejeito a hipótese nula quando ela é falsa. Ela é dada por 1 - β. Sendo que β é justamente a probabilidade de se aceitar a hipótese nula quando ela é falsa.
Assim, se minha hipótese nula é falsa, eu devo acatar a minha hipótese alternativa. No contexto da questão, significa dizer que o teste está, na verdade, fora de controle.
Para o teste estar fora de controle, o número de equipamentos defeituosos deve ser maior que 2.
A hipótese alternativa afirma que a proporção de equipamentos defeituosos é de 0,2.
Calculando a probabilidade de três equipamentos defeituosos:
0,2 x 0,2 x 0,2 x 0,8 x 4 = 0,0256
Calculando a probabilidade de quatro equipamentos defeituosos:
0,2 x 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,0016
Somando essas duas probabilidades, chegaríamos ao valor de 0,0272 ou 2,72%.
2,72% seria então a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, quando ela é de fato falsa.