Questão 233371

• Banca: FUNIVERSA
• Órgão: CEB-DISTRIBUIÇÃO S/A
• Ano: 2010
• Provas: FUNIVERSA - 2010 - CEB - Estatístico
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Distribuição Normal; Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação); Medidas de Posição - Tendência Central (Media, Mediana e Moda); Principais distribuições de probabilidade

O diâmetro interior de um cano X tem distribuição normal de média 3 cm e desvio padrão 0,2 cm. A espessura Y desse cano também é normal 0,3 cm e desvio padrão 0,05 cm, independentemente de X. A média (em cm) e a variância (em cm²) do diâmetro exterior do tubo valem, respectivamente,

• A. 3,3 e 0,04.
• B. 3,3 e 0,20.
• C. 3,6 e 0,04.
• D. 3,6 e 0,05.
• E. 3,6 e 0,22.

Gabarito: D

Comentários

• MeD = Med+ 2*Y
  MeD = 3 +2*0,3 = 3,6 
  MeD=Média do diâmetro externo
  Med=Média do diâmetro interno 
  
  V = sqrt(DP) -> Variância é igual à raiz quadrada do desvio padrão
  V = sqrt (0,2+0,05)
  V = 0,05
  
  
• Mário,
  
  Na primeira parte, para o cálculo da média, o seu raciocínio está certo.
  Mas na segunda parte, para o cálculo da variância, você se equivoca ao afirmar que a variância é a raiz do desvio padrão, quando na verdade ela é o quadrado do desvio e o desvio seria portanto a raiz da variância. Por isso a resposta da variância é em cm², pois o desvio é em cm.
  
  Para variáveis não relacionadas (e o texto indica que elas são independentes), o cálculo da variância da soma é dado por:
  var(A + B) = var(A) + var(B) 
  
  Logo, 
  
  var (diâmetro exterior) = var (diâmetro interior) + var (espessura) = 0,2² + 0,05²
  var (diâmetro exterior) = 0,0425 = aproximadamente 0,04
  
  Portanto o gabarito correto seria a letra C.
• Explicação da variância do diâmetro exterior:
  
  A variância do diâmetro interno é: 0,2² = 0,04
  A variância da espessura é: 0,05² = 0,0025
  A espessura de cima + baixo dá: 0,0025 * 2 = 0,005
  Assim, a variância do diâmetro externo é: 0,04 + 0,005 = 0,045
  Arrendondando: 0,045 = 0,05 (letra D)
• As explicações acima estão incorretas/incompletas.
  
  Vamos pensar no diâmetro externo (D) como sendo o diâmetro interno (A) + 2 vezes a espessura (E). Ou seja, D = A + 2 E
  
  E(D) = E(A) + 2 * E (E) = 3 + 0,6 = 3,6
  
  Var (D) = Var (A) + 2² Var(E) = 0,2² + 2² * 0,05² = 0,4 + 4 * 0,0025 = 0,05
  
  Não precisa arredondar nada.
  
  Só precisa saber que quando há uma constante multiplicando pela variável (no caso 2), essa constante vai ao quadrado quando tiramos a variância e acrescetamos a covariância entre elas, que no caso é 0. OBS: [Var (2A + 3B) = 4 Var(A) + 9 Var(B) + 2cov(A,B)].

• Média = E(X + 2Y)

  Média = E(X) + 2*E(Y)

  Média = 3 + 2*0,3 = 3,6

  A variância é o quadrado do desvio padrão, logo:

  Var(X) = 0,04 e Var(Y) = 0,0025

  Queremos a variância do diâmetro interno uma vez, e a variância da espessura duas vezes, logo:

  Var (X + 2Y) = Var(X) + 4Var(Y)

  Var (X + 2Y) = 0,04 + 4*0,0025 = 0,05