Questão 2351959

• Banca: FCC
• Órgão: TRT - 11ª Região (AM e RR)
• Ano: 2017
• Provas: FCC - 2017 - TRT - 11ª Região (AM e RR) - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Distribuição exponencial; Principais distribuições de probabilidade

Uma indústria produz lâmpadas do tipo I e II. Considere as seguintes variáveis aleatórias: X = tempo de vida das lâmpadas do tipo I em horas e Y = tempo de vida das lâmpadas do tipo II em horas. De um lote de 500 lâmpadas sendo 200 do tipo I e 300 do tipo II retira-se ao acaso uma lâmpada. Sabe-se que X tem distribuição exponencial com média de 5000 horas e que Y tem distribuição exponencial com média de 8000 horas. Nessas condições, a probabilidade da lâmpada selecionada ter duração entre 4000 e 6000 horas é 

Dados:

e^−0,5 = 0,61

e^−0,75 = 0,47

e^−0,8 = 0,45

e⁻¹ = 0,37

e^−1,2 = 0,30

• A. 0,072
• B. 0,110
• C. 0,144
• D. 0,230
• E. 0,180

Gabarito: C

Comentários

• O truque é que o número que está elevando o e é a proporção entre a média e o número limite desejado. Portanto, para as lâmpadas do tipo I, o intervalo 4000 a 6000 equivale ao intervalo entre e^-0,8, sendo 0,8=4000/5000 e e^-1,2. Portanto 15%. Para as lâmpadas do tipo II, entre e^-0,5 e e^-0,75, portanto 14%. Fazendo uma média ponderada, tem-se que 15%*0,4+14%*(0,6) é aproximadamente 0,144.

• Dados de X:

  E(X) = 5.000

  Lambda = 1/5.000

  P(x) = 1 - e^(-x / 5.000)

  ________________________

  Dados de Y:

  E(Y) = 8.000

  Lambda = 1/8.000

  P(x) = 1 - e^(-x / 8.000)

  ________________________

  Já que a questão pede a probabilidade no intervalo de 4.000 a 6.000, é possível calculá-la por P(x < 6.000) descontado de P(x < 4.000).

  Vamos calcular:

  Para X:

  P(x < 6.000) = 1 - e^(-6/5) = 1 - e^-1,20 = 1 - 0,30 = 0,70

  P(x < 4.000) = 1 - e^(-4/5) = 1 - e^-0,80 = 1 - 0,45 = 0,55

  P(4k < x < 6k) = 0,70 - 0,55 = 0,15

  Para Y:

  P(x < 6.000) = 1 - e^(-6/8) = 1 - e^-0,75 = 1 - 0,47 = 0,53

  P(x < 4.000) = 1 - e^(-4/8) = 1 - e^-0,50 = 1 - 0,61 = 0,39

  P(4k < x < 6k) = 0,53 - 0,39 = 0,14

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  Agora basta calcular a probabilidade ponderada de retirar cada lâmpada (X ou Y):

  X = 200/500 = 40%

  Y = 300/500 = 60%

  Assim, temos que a probabilidade da lâmpada retirar estar dentro do intervalo é:

  X = 40% * 0,15 = 0,060

  Y = 60% * 0,14 = 0,084

  Somando ambos, temos: P(4k < x < 6k) = 0,144 (Letra C)