Questão Q788174

A respeito de números reais e números complexos, julgue o item subsecutivo.

Se z₁, z₂ e z₃ forem as raízes cúbicas complexas de 1, então o número z₁ + z₂ + z₃ será real.

Alternativas

Certo

Errado

Comentários

Raizes cúbicas do número complexo 1

Passo 1: Transformar 1 para sua forma trigonométrica

z = |z|. (cosα + isenα), temos z=1(cos0° +i seno0º)

Passo 2: Calcular o módulos das raízes ||z|| = Raiz de n de |z| logo temos raiz cubica de 1 igual a 1.

Passo3: Calcular o αk de cada raiz pela fórmula αk = (α+2kPI)/n

Temos α0= 0 , α1= 2Pi/3 e α2=4Pi/3

Passo4: Calcular as raizes pela fórmula de moivre R=||z||.(Cos αk + i sen αk)

R1= 1. (cos 0 + isen 0) = 1+0i ou 1

R2 = 1. (cos2Pi/3 + isen2Pi/3) = cos 120º + isen120º = -1/2+Raiz de 3i/2

R3 = 1. (cos4Pi/3 + i sen 4Pi/3) = cos 240º + isen 240º = -1/2 - Raiz de 3i/2

Passo 5: somar as raizes para confirmar se é real.

Assim R1+R2+R3= 0

Gabarito: CERTO

Ufa! Questão chata, não daria conta de responder no concurso nunca :(
se o número complexo possui 3 raizes, uma será real e as outras duas serão conjuugados, ao somar as tres raizes, as partes conjugadas se anulas, e sobra a soma das tres parcelas reais q resutará em um número reals

SóProvas