-
coloca-se x=0
acha y=1
coloca-se y=1
acha-se x=-4
Perceba que a elipse se forma na abscissa negativa, portanto não sendo possível o centro estar em (1, -2).
Bom eu fiz dessa forma, se estiver errado por favor alguém me corrija.
-
Errado, Resolução completa com gráficos em https://geoconic.blogspot.com/p/q790476-em-um-sistema-de-coordenadas.html
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o conjunto dos pares (x, y) que satisfazem uma equação da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, em que A, B, C, D, E e F são constantes reais, pode representar: um único ponto; uma reta; duas retas; uma circunferência; uma elipse; uma hipérbole; uma parábola; ou um conjunto vazio. A respeito desse assunto, julgue o item seguinte.
A equação 9x^2 + 4y^2 + 36x – 8y + 4 = 0 representa uma elipse de centro (1, -2) e semieixos iguais a 2 e 3.
9x^2+36x => 9(x^2+4x) => x^2+2*1*a+a^2 => 4=2a => a=2 =>(x+a)^2 => 9*(x+2)^2 =>9*(x^2+4x+4) => 9x^2+36x+36
4y^2-8y=> 4(y^2-2y) => y^2+2b+b^2 => -2=2b => b=-1 =>4* (y-1)^2 =>4* (y^2-2y+1) => 4y^2-8y+4 =>
Precisamos equilibrar a igualdade, assim 36+4 = 40
9* (x+2)^2 + 4* (y-1)^2 =-4+40 => => C=(-2,+1) e trata-se de uma elipse, pois os coeficientes de x^2 e y^2 não são iguais.
-
Resolvi essa completando quadrados:
9 . x² + 4.y²+ 36. x + 8 y + 4 = 0
primeiro agrupar, quem tem x e quem tem y, assim fica:
9 .x ² + 36 .x + 4 y² + 8 y + 4 = 0
vamos colocar em evidencia o 9 e 4, assim temos:
9 (x ² + 4. x) + 4 (y² + 2 y) + 4 = 0
Agora completaremos os quadrados dentro dos parenteses, e somando os termos do outro lado da igualdade também, para equilibrar a equação:
9 ( x² + 4.x + (4/2)²) + 4.(y²+ 2.y + (2/2)²) + 4 = 9.( (4/2)² )+ 4.( (2/2)²)
Lembrando das propriedades dos quadrados da soma, obtemos:
9 (x + 2)² + 4 (y+1)² + 4 = 36 + 4
"Enxugando" mais a equação teremos algo do tipo:
9 (x + 2)² + 4 (y+1)² = 36
Daí divide todos por 36, mas 36 mesma coisa que 4 . 9 = 36 .
(9 (x + 2)²)/36 + (4 (y+1)²)/36 = 36/36
((x + 2)²)/4 + ((y+1)²)/9 = 1
portanto, Centro C (-2, -1)
a² = 9 .: a = 3
b² = 4 .: b = 2
O que torna o item ERRADO.
A questão nao pede, mas podemos calcular os Focos;
a² = b² + c² .: c² = a² - b² c² = (9-4)
c= raiz de (5)
F1 = (0 , -raiz(5))
F2 = ( 0 , raiz(5))
####Um sim, um nao. Uma linha reta, uma meta!!!! Força Guerreiros!!!#####
-
O erro da questão é bem sutil, o examinador apenas trocou a ordem do centro (1, -2) quando na vdd a resposta é (-2,1);
9x^2 + 4y^2 + 36x – 8y + 4 = 0
reagrupe os termos:
9x² + 36x + 4y²-8y=-4
coloque em evidencia os termos semelhantes
9(x² + 4x) + 4(y² -2y)=-4
agora vem o "macete"
pegue os termos que acompanha o x e y dentro dos parenteses e SEMPRE divida por 2;
9(x² +2)² + 4(y²-1) =-4
agora balancei a eq, jogando os termos que estão multiplicando os parenteses e tambem os quadrados do parentes, do lado esquerdo para o direito, ficando:
9(x² +2)² + 4(y²-1) =-4 + 9*2² + 4*1²
9(x² +2)² + 4(y²-1) =36 (até esse momento ja dava para perceber o erro da questão , pois o centro é (-2,1)
quando encontrar as coordenadas do centro, sempre devemos inverter os sinais;
agora é hora de passar para o formato da eq reduzida da elipse, já que ainda temos os valores do semieixo para verificarmos
9(x² +2)² + 4(y²-1) =36 (divide todos os menbros por 36)
(x²+2)²/4 + (y²-1)²/9 = 1 eq. reduzida da elipse.
[(x-xo)²/a² ]+ [(y-yo)²/b²] = 1 eq. reduzida da elipse.
usando a relação pitagórica para encontrar os semieixos (a² e b²)
a²=b²+c²
a²=4 --> a=2
b²=9 --> b=3
portanto os semieixos estão corretos, sendo 2 e 3;