Olá, Esther.
Aqui temos que pensar em coordenadas polares, com variáveis (ρ,θ). A segunda curva é uma circunferência de raio 4.
Área de uma curva em coordernadas polares: 1/2. ∫ [α,β] (f(θ))^2 dθ; em que α e β são ângulos que limitam a função f(θ).
Se você desenhar as curvas, verá que a função 4(1-cos(θ)) perto do eixo das ordenadas se assemelha a metades de hélices de avião (aqui sou eu utilizando uma imagem de mecânico rs) e a segunda função é apenas uma circunferência de raio 4.
Pede-se a área exterior dessas "hélices" e interior à circunferência.
Área da semicircunferência:
1/2. ρ^2π ⟹ 8π.
Área das "hélices" (lemnicastas):
2 × 1/2 ∫ [0, π/2] (4(1-cos(θ))^2 dθ
= 12π-32.
Diferença das áreas:
8π-12π+32 ⟹ 32 - 4π ou 32(1-π/8)
GABARITO C.
fonte:
https://ensinodematemtica.blogspot.com/2016/06/area-em-coordenadas-polares.html
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares (vá no tópico Cálculo -- Cálculo integral (comprimento de arco)
Espero ter ajudado e até a próxima. Rs.