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Alguém entendeu?
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Ao fazermos a derivada de f(x), encontramos f'(x)=3*sen(3x)*exp(-cos(3x));
Os pontos de máximo local se dão quando f'(x) = 0;
Dessa forma teremos :
3*sen(3x)*exp(-cos(3x)) = 0 (1)
Note que para essa equação existir, sen(3x) deve ser = 0, ou seja, o argumento da função seno deve ser um valor para qual ela é 0;
A função seno é nula para valores múltiplos de 180º. Em radianos, pi,2pi,3pi, etc... ;
De posse dessa afirmação, poderemos igualar o argumento da função seno:
3x = (2k+1)*pi -> variando o valor de k, sempre teremos multiplos de pi como resposta.
x= ((2k+1)*pi))/3 ->alternativa D.
*Obs: a primeira vez que fiz essa questão pensei que poderia ser a alternativa A, porém ela não funciona para o valor de k=0.
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porque nao funciona para k=0? sen 0 também é 0 ne não?
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Não consigo entender esse K. De onde ele surge??
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Lacrissia, K é apenas uma variável que altera o valor de x... Poderia ser qualquer letra, porém as alternativas estão em função de K, então admite-se essa letra.
Marina, não funciona para k=0 porque se k for 0, X também será 0. E em x=0 nós temos o ponto mínimo da função. Como a questão pede os pontos de MÁXIMO local, X precisa ser necessariamente um valor múltiplo de pi/3.
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Porque não é a E) 2*k * pi/3?
Bem, imagine o gráfico da função f(x), e você deve visualizar uma onda, onde o maior valor é "e" e o menor valor é "1/e"
Quando K é um valor par (ou seja, 0, 2*pi/3, 4pi/3...) f(x) = 1/e
Quando K é um valor impar (ou seja, 1*pi/3, 3pi/3...) f(x) = e
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Porque não é a E) 2*k * pi/3?
Bem, imagine o gráfico da função f(x), e você deve visualizar uma onda, onde o maior valor é "e" e o menor valor é "1/e"
Quando K é um valor par (ou seja, 0, 2*pi/3, 4pi/3...) f(x) = 1/e
Quando K é um valor impar (ou seja, 1*pi/3, 3pi/3...) f(x) = e
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O gabarito dessa questão, ao meu ver, é bem questionável.
x = (2k + 1)*pi/3 -> não satisfaz a todas as condições em que sen(3x) = 0.
Isso se deve ao fato de que sen (0) = 0, o que a equação acima não engloba.
Muito embora a letra E, sim, engloba. Pois, sabe-se que para x = k*pi/3 , sen(3x) vai ser igual a zero para k E Z, ou seja, se k = 0, 1, 2, 3, ...
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RESOLUÇÃO:
Nos pontos de máximo e de mínimo, a derivada da função é igual a 0.
Derivando a função e igualando a zero, temos que:
exp(-cos(3x)).sin(3x).3 = 0
Como do outro lado da equação tem um 0, o 3 pode ir embora.
Nesse caso temos um produto de duas funções sendo igual a zero, ou seja:
exp(-cos(3x)) = 0
ou
sin(3x) = 0
O primeiro caso nunca será verdade, logo, sobra o segundo caso.
A função sin(t) é igual a 0 para todo t múltiplo de pi, ou seja, t = {k.pi, com k pertencente aos inteiros}
Sendo assim:
3x = k.pi
x = {k.pi/3, com k pertencente aos inteiros}
Ou seja:
x = {0, pi/3, 2pi/3, pi, 4pi/3,...}
No entanto, esses são pontos de máximo e de mínimo da função f(x):
f(0) = 1/e -> mínimo
f(pi/3) = e -> máximo
f(2pi/3) = 1/e -> mínimo
f(pi) = e -> máximo
E assim sucessivamente.
Mas a questão pede só os pontos de máximo. E a gente percebe que, nesse caso, os pontos de máximo são aqueles em que a constante que multiplica pi/3 é ímpar. Portanto, ajustando o resultado, podemos dizer o seguinte:
Na verdade, x = {(2k+1).pi/3, com k pertencente aos inteiros}
Ou seja:
k = 0 -> 2k + 1 = 1
k = 1 -> 2k + 1 = 3
k = 2 -> 2k + 1 = 5
E por aí vai.
Sendo assim, a resposta é: letra d)
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Marina Chagas, porque na exponencial tem um sinal negativo no cosseno e, para a função ter um máximo o seno tem que ser zero e o cosseno tem que ser um. Porém com aquele sinal negativo da exponencial o cosseno tem que dar -1 para que o sinal fique positivo.