Questão Q834831

Patrick é um astronauta que está em um planeta onde a altura máxima que atinge com seus pulos verticais é de 0,5 m. Em um segundo planeta, a altura máxima alcançada por ele é seis vezes maior. Considere que os dois planetas tenham densidades uniformes μ e 2μ/3, respectivamente. Determine a razão entre o raio do segundo planeta e o raio do primeiro.

Alternativas

1/2

1/4

1/6

1/8

1/10

Comentários

Essa questão é fácil, porém trabalhosa.

Primeiramente vemos que a gravidade do P1 é 6x maior que a gravidade em P2, logo g1 = 6g2.
Depois vamos calcular a gravidade em cada um desses planetas...
A gravidade de um planeta é calculada por g = Gm(planeta)/R²
e vamos desenvolver g1 e g2 tendo como resultados:

g1 = Gm1/R1²
g2 = g1/6 =Gm2/R2²

Após isso vamos ver as densidades desse planeta em função de μ:
(lembrando que o volume de um planeta para esses calculos é considerado o volume de uma esfera)

d1 = μ = m1/v1 = m1/(4πR1³/3) =====> μ = 3m1/4πR1³
d2 = 2μ/3 = m2/v2 = m2/(4πR2³/3) =====> μ = 9m2/8πR2³

Feito isso, ja matamos a questão. Basta substituir o valor das massas encontradas na equação da gravidade e fazermos a relação entre R2/R1.

μ = 3R1²g1/G4πR1³ ====> 3g1/4πR1G ---- para o planeta 1
μ = 9R2²g1/6G8πR2³ ====> 3g1/16πR2G ---- para o planeta 2

Agora igualando aos valores de μ teremos:

3g1/4πR1G = 3g1/16πR2G ====> R2/R1 = 3g1π4G/3g1π16G ====> R2/R1 = 1/4

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