Vamos chamar de X a variável número de policiais assassinados (número de homicídios). A média amostral de X pode ser aproximada para uma distribuição normal, de média 12 e 
Agora vamos avaliar as alternativas:
a) A alternativa A se refere ao teste de hipóteses bicaudal a um nível de significância de 10%. Assim, devemos calcular o valor de X tal que P(X < X) = 5% e o valor de X tal que P(X > X) = 5%, pois a um nível de significância de 10% o número de homicídios estará entre Xe X.
Se P(X < X) = 5%, temos que P(X ≥ X) = 100% - 5% = 95% = 0,95. Portanto:
Portanto, ao nível de significância de 10%, o número de homicídios estará entre 9,54 e 14,46, inclusive, e não entre 9 e 15, que é o que afirma a alternativa A. Logo, a alternativa A está incorreta.
b) Como a alternativa menciona que se trata apenas do limite superior, aqui se trata de um teste monocaudal, e queremos encontrar X tal que P(X ≤ X) = 97,5% = 0,975 e verificar se X é superior a 18. Temos que:
Conforme fornecido pelo enunciado, sabemos que P(Z ≤ 1,96) = 0,975 (pois Ø(1,96) = P(Z ≤ 1,96)). Logo:
Logo, X é menor que 18, e portanto a alternativa B também está incorreta.
c) A variância da média é o quadrado do desvio padrão da média. Já calculamos que o desvio padrão da média é 1,5, logo variância = 1,5² = 2,25, um valor menor que 4, e portanto a alternativa C está incorreta.
d) Como a alternativa menciona que se trata apenas do limite inferior, aqui se trata de um teste monocaudal, e queremos encontrar X tal que P(X ≥ X) = 90% = 0,90 e verificar se X é inferior a 10. Temos que:
Agora vamos calcular X:
Se P(X > X) = 2,5%, temos que P(X ≤ X) = 100% - 2,5% = 97,5% =0,975. Portanto:
Portanto, confirmamos que de fato a alternativa E está correta e é o gabarito da questão.
Resposta: E
Gabarito: E.
É uma questão muito interessante e que tem uma sacada pra resolver no enunciado: "a variável de distribuição é discreta".
Basicamente, a questão quer saber do intervalo de confiança pra diferentes níveis de confiança e da variância da média. Um intervalo de confiança para a média amostral é dado por:
IC = X(barra) ± Zo x σ/√n.
Os valores de Zo foram dados no enunciado. X(barra), que é a média amostral, vale 12. O tamanho da amostra, "n", vale 16. O desvio padrão, σ, vale 6. Vamos aos itens:
a) Errado.
O item pede o intervalo de confiança para o nível de significância, alfa, de 10%. Nós sabemos que o nível de confiança é igual a 1 - alfa. Portanto, a confiança é de 1 - 0,1 = 0,9 = 90%. Como a distribuição normal é simétrica, nós teremos esses 10% divididos em 5% a esquerda da média e 5% a direita da média. Portanto, Z = 1,64.
Substituindo na fórmula:
IC = 12 ± 1,64 x 6/√16 = 12 ± 2,46
IC = [9,54; 14,46].
Aqui que entra a sacada do exercício. Como é uma variável discreta, o número de homicídios deve ser arredondado. Então, nosso IC = [10, 14]. Portanto, 9 e 15 não estão inclusos nesse intervalo.
b) Errado.
Se a confiança é de 97,5%, por consequência, nosso alfa, será de 1 - 0,975 = 0.025 = 2,5%. Portanto, Z = 1,96.
Substituindo na fórmula:
Limite superior = 12 + 1,96 x 6/√16 = 14,94. Como a variável é discreta, arredondamos. Limite superior ~ 15.
Logo, não é superior a 18.
c) Errado.
A variância da média é dada por σ²/n . Portanto: 6²/16 = 36/16 = 2,25.
Logo, a variância da média não é superior a 4. É inferior.
d) Errado.
Se a confiança é de 90%, significa que o alfa é de 10%. Portanto, Z = 1,28.
Substituindo na fórmula:
Limite inferior = 12 - 1,28 x 6/√16 = 10,08. Como é uma variável discreta, arredondamos. Então, o limite inferior ~ 10.
O item erra ao dizer que será inferior a 10.
e) Certo.
Por eliminação, é o correto. No entanto, vamos continuar demonstrando.
Se o nível de significância, alfa, vale 5%, significa que o nosso nível de confiança, que é dado por 1 - alfa, vale 95%. Então, Z = 1,96.
Substituindo na fórmula:
IC = 12 ± 1,96 x 6/√16 = 12 ± 2,94
IC = [9,06; 14,94]. Como a variável é discreta, arredondamos. Portanto, IC = [9,15].
Espero ter ajudado.
Bons estudos!