A questão foi anulada devido à equação da questão ser x³ - 4x + x = 0, enquanto a equação correta seria x³ - 4x² + x = 0. Na primeira o 2º termo é -4x e na equação correta o 2º termo é -4x².
Note que são três raízes: 0, a e b.
Primeiro, vamos colocar o x em evidência:
x³ - 4x² + x = 0 =>
x (x² -4x + 1) = 0
Neste caso, já confirmamos que uma das raízes é zero, pois x = 0 ou x² -4x + 1 = 0.
Da equação x² -4x + 1 = 0 podemos calcular a soma e o produto das raízes, lembrando que S = -b/a e P = c/a:
S = -(-4)/1 => S = 4
P = 1/1 => P = 1
Concluímos assim que a soma das raízes é 4 e o produto é 1, ou seja, a + b = 4 e ab = 1.
Então, podemos eliminar a alternativa A, que diz que ab = 4 (pois ab = 1) e também podemos eliminar a alternativa C, que diz que ab = 2 (pois ab = 1).
Agora, para chegar à resposta, devemos resolver a equação do 2º grau x² -4x + 1 = 0. (Consulte a fórmula de Báskara)
Neste caso, o valor de Delta é 12. Como a raiz de 12 é o mesmo que 2 raiz de 3, temos que as raízes da equação são:
x' = 2 + raiz de 3
x'' = 2 - raiz de 3
Assim, descobrimos que a = 2 - raiz de 3 e b = 2 + raiz de 3, pois a < b. (Vou utilizar V3 como "raíz de 3")
Todas as alternativas pedem o valor de a² + b². Calculando: (Consulte "Produtos Notáveis")
a² = (2 - V3)² = 4 - 4V3 + 3 = 7 - 4V3
b² = (2 + V3)² = 4 + 4V3 + 3 = 7 + 4V3
a² + b² = (7 - 4V3) + (7 + 4V3) "Cancele -4V3 com 4V3"
a² + b² = 14
Assim, se não houvesse o erro de digitação na questão, a resposta seria a Alternativa B.