GABARITO: LETRA C.
Inicialmente, vamos trabalhar com a diferença entre os polinômios, subtraindo os coeficientes numéricos dos termos semelhantes e deixando em evidência as respectivas variáveis. Veja:
A (x) = x^3 + 2x^2 – x – 4
B(x) = ax^3 – bx^2 – 4x + 1
A(x) – B(x) = x^3 + 2x^2 – x – 4 – (ax^3 – bx^2 – 4x + 1)
x^3 – ax^3 = (1 – a) x^3 --- O coeficiente numérico de ax^3 é ‘1’ (ax^3 = 1 . ax^3)
2x^2 – (– bx^2) = [2 – (– b)] x^2
Não é necessário subtrair os demais termos, uma vez que P(x) precisa ser de 2º grau.
Assim, conclui-se que (1 – a) x^3 = 0 e [2 – (– b)] x^2 ≠ 0.
Resolvendo separadamente, temos:
1 – a = 0
a = 1
2 – (– b) ≠ 0
2 + b ≠ 0
b ≠ – 2
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Basta desenvolver, organizar e colocar os xs em evidência, assim:
P(x) = A(x) - B(x)
P(x) = x³ + 2x² - x - 4 - (ax³ - bx² - 4x + 1)
P(x) = x³ + 2x² - x - 4 - ax³ + bx² + 4x - 1
P(x) = x³ - ax³ + 2x² + bx² + 3x - 5
P(x) = x³ (1 - a) + x² (2 + b) + 3x - 5
Perceba que os coeficientes de x³ e x² são, respectivamente, (1 - a) e (2 + b).
Para que P(x) seja um polinômio do segundo grau devemos garantir a existência de x² e anular x³:
2 + b ≠ 0
b ≠ -2
1 - a = 0
a = 1
Gabarito letra C.
Primeiro efetue a subtração
P(x) = A(x)-B(x)
P(x) = (x + 2x – x – 4) – ( ax – bx – 4x + 1) (INVERTA O SINAL B(x))
P(x) = x + 2x – x – 4 - ax +bx+ 4x -1
(AGORA É SÓ COMPARAR OS COEFICIENTES PARA SATISFAZER A EQUAÇÃO)
Como ele quer grau 2 devemos igualar o coeficiente de a = 0 e b ≠ 0:
x- ax =0 (coeficiente A)
1 – a = 0 => a = 1
2x+ bx≠ 0 (coeficiente B)
2+b ≠ 0 => b ≠ -2