i) Se 0 < j < 4, então a equação não tem nenhuma solução real;
y2 + jy + j = 0
Para a equação não ter nenhum valor real, basta que o valor de delta (Δ) seja negativo. Deste modo basta substituir o j por 1, 2 e 3 e vermos o valor do delta:
j = 1
y2 + jy + j = 0 / y2 + 1y + 1= 0 / Δ = b² - 4ac / Δ = 1² - 4.1.1 / Δ = -3
j = 2
y2 + jy + j = 0 / y2 + 2y + 2= 0 / Δ = b² - 4ac / Δ = 2² - 4.1.2 / Δ = -4
j = 3
y2 + jy + j = 0 / y2 + 3y + 3= 0 / Δ = b² - 4ac / Δ = 3² - 4.1.3 / Δ = -3
Logo, como todos os valores de delta resultaram em um valor negativo, temos que todas as soluções para as devidas raízes não terão soluções reais. ITEM CORRETO
ii) Para cada valor de j tal que j < 0 ou j > 4, a equação tem duas soluções reais
Para a equação ter duas soluções reais, o valor de delta deve ser maior que 0. Deste modo basta substituir um valor menor que 0 e um valor maior que 4 e avaliar o valor de delta para cada situação:
j = -1
y2 + jy + j = 0 / y2 + (-1)y +(-1) = 0 / y2 -1y - 1 = 0
Δ = b² - 4ac / Δ = (-1)² - 4.1.(-1) / Δ = 1 + 4 / Δ = 5
j = 5
y2 + jy + j = 0 / y2 + 5y + 5 = 0 / Δ = b² - 4ac / Δ = 5² - 4.1.5 /Δ = 25 – 20 / Δ = 5
Logo, se j <0 ou j> 4, a equação terá duas raízes reais. ITEM CORRETO
iii) Se j = 4, então a equação tem uma única solução;
Para a equação ter solução única, basta que o seu valor de delta seja igual a zero:
j = 4
y2 + jy + j / y2 + 4y + 4 / Δ = b² - 4ac / Δ = 4² - 4.1.4 / Δ = 16 - 16 / Δ = 0
Logo, para j = 4, a equação tem apenas uma raiz exata. ITEM CORRETO
IV. Se j = 0, então a equação tem uma única solução.
Basta substituirmos o valor de j = 0 na equação e a igualarmos também a 0:
y2 + jy + j / y2 + 0y + 0 = 0 / y2 = 0 / y =± / y = 0
Logo, se j = 0, teremos uma única solução, cujo valor também é 0. ITEM CORRETO
RESPOSTA LETRA D, todos os itens corretos.