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Quanto menor o espaço amostral, maior a probabilidade!
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Diante do enunciado é possível inferir que trata-se de uma Distribuição Bilateral, o que macula a questão, uma vez que a Distribuição Exponencial é UNILATERAL À DIREITA. (+).
Meu prognóstico. Posso estar errado... estou aberto a correções, vamos nos ajudando QCOLEGAS.
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Em uma análise bem simples, sendo uma distribuição exponencial assimétrica a direita, que se caracteriza por ter média maior que a mediana, e sabendo que a maior parte dos dados está concentrada nos valores abaixo da média, é possível inferir que a questão está incorreta.
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Na distribuição exponencial, o gráfico tem uma assimetria à direita. Dito isso, a média está localiza na cauda, com isso pode-se perceber que a probabilidade de P(X > 5.000) é menor que P(X > 5.000 | X > 1.000), pois o espaço amostral é maior entre 1.000 e 5.000
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Propriedade da distribuição exponencial:
P(T > r + s | T > r ) = P( T > s )
Nesse caso:
r = 1.000
s = 4.000
Ficaria, então:
P( T > 5000 | T > 1000) = P( T > 4000)
Mas através do conhecimento da distribuição exponencial sabe-se que:
P( T > 4000) > P( T>5000)
Isso pode ser facilmente observado ao desenhar uma distribuição exponencial - distribuição assimétrica positiva - no papel e perceber que a área, ao traçar uma reta vertical em 4000, é maior do que a área quando se faz o mesmo procedimento - traçar uma reta vertical - em 5000. A área é uma representação da probabilidade nessas distribuições contínuas, logo a probabilidade é maior em P(X>4000).
Logo:
P( T > 5000 | T > 1000) > P( T > 5000)
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Propriedade “sem memória” da distribuição exponencial:
P(X > t + s| X>s = P(X>t)
Sendo s = 1000 e t = 4000, temos:
P(X>5000|X > 1000) = P(X>4000)
A probabilidade P(X>4000) é maior que P(X>5000), pois 4000<5000.
Assim, P(X>5000|X>1000) > P(X>5000).
Gab: ERRADO
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P(X > 5.000 | X > 1.000) < P(X > 5.000). (ERRADO)
P(X > 5.000 | X > 1.000) é de mil pra frente, passando pelos cinco mil e continuando
P(X > 5.000) é de 5 mil pra frente
por conseguinte, (X > 5.000 | X > 1.000) cobre uma area bem maior.
(com gráfico fica mais didático)
AVANTE