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Prof Vítor Menezes:
Vamos trabalhar com a variável auxiliar X , dada por:
P(X=x)=0,1×0,9x−1 , x≥1 .
Esta variável tem distribuição geométrica com parâmetros p=0,1 e q=0,9 . Sabemos que a distribuição geométrica tem variância dada por:
V(X)=qp2
Substituindo os valores de p e q :
V(X)=0,90,12=90
Agora vamos comparar X com Y . Para facilitar, vou usar o mesmo argumento nas duas funções:
P(X=k)=0,1×0,9k−1 , k≥1
P(Y=k)=0,1×0,9k, k≥0
O argumento é o mesmo, só muda que ele inicia em 1 para "X" e inicia em 0 para "Y".
Para facilitar ainda mais a comparação, vou tabelar as variáveis. Não é obrigatório tabelar, mas ajuda a visualizar:
k P(X=k) P(Y=k)
k=0 -0,1×0,90=0,10,1×0,90=0,1
k=1 0,1×0,90=0,10,1×0,90=0,1 0,1×0,91=0,090,1×0,91=0,09
k=2 0,1×0,91=0,090,1×0,91=0,09 0,1×0,92=0,0810,1×0,92=0,081
Poderíamos continuar com esta tabela indefinidamente, mas acima já é suficiente para deixar claro o ponto onde quero chegar. O comportamento das duas variáveis é quase idêntico, com a diferença de "Y" está 1 unidade deslocada em relação a "X". A probabilidade de Y = 0 é a mesma de X = 1. A probabilidade de Y = 1 é a mesma de X = 2. E assim por diante.
Ou seja, partindo de X, basta subtrair 1 unidade que chegamos a Y.
X−1=Y
E subtrair constantes de uma variável em nada muda a variância. Portanto:
V(X)=V(Y)
90=V(Y)
Obs: com o mesmo raciocínio poderíamos calcular a esperança de Y.
Sabemos que:
E(X)=1p=10,1=10
Aí calculamos a esperança de Y:
E(Y)=E(X−1)
E(Y)=E(X)−1
E(Y)=10−1=9
ITEM ERRADO.
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CONTINUAÇÃO
Obs: tanto X quanto Y podem ser vistas como distribuições geométricas. A diferença é na parametrização:
X conta o número de experimentos até que ocorra o primeiro sucesso. Portanto, o menor valor possível para esta variável é 1.
Y conta o número de fracassos até que ocorra o primeiro sucesso. Portanto, o menor valor possível para esta variável é 0.
Como no meu curso eu trabalho apenas com a primeira parametrização (X), quando em alguma questão aparece a segunda (Y), eu a expresso em termos de X. Assim diminui a quantidade de fórmulas que precisamos gravar.
Obs2: veja que a situação dada pela questão (número de clientes atendidos por minuto) não tem absolutamente nada a ver com a utilização típica da distribuição geométrica (contagem de número de experimentos até se obter o primeiro sucesso). A aplicação da distribuição geométrica a esta questão só ocorreu porque a função de probabilidade dada segue justamente o padrão de uma geométrica.
Segunda solução
Primeiro vamos à função geratriz de momentos:
MY(t)=E(etY)
MY(t)=∑∞k=0(etk×0,1×0,9k)
MY(t)=0,1×∑∞k=0[(et×0,9)k]
Para t≤0t≤0 , o somatório converge. Temos então o somatório dos termos de uma PG infinita, com razão menor que 1. O que nos leva a:
MY(t)=0,1×11−et×0,9
Calculando a derivada primeira no ponto t=0 :
M′Y(0)=0,1×(−1)×1(1−et×0,9)2×(−0,9et) (I)
M′Y(0)=0,1×0,9(1−0,9)2
M′Y(0)=9
Esta derivada primeira corresponde à esperança:
μY=9
Agora vamos para a derivada segunda, também no ponto t=0 .
Podemos simplificar a equação (I), assim:
M′Y(0)=0,1×(−1)×1(1−et×0,9)2×(−0,9et)
M′Y(0)=0,09×et(1−et×0,9)2
Derivando mais uma vez:
M′′Y(0)=0,09et×(1−et×0,9)2−0,09et×2(1−et×0,9)×(−0,9)×et(1−et×0,9)4
Fazendo t=0 :
M′′Y(0)=0,09×0,12−0,09×2×0,1×(−0,9)(0,1)4
Multiplicando todos os termos por 0,140,14 :
M′′Y(0)=9+9×2×9=171
Este termo corresponde à esperança de Y2 :
E(Y2)=171
Finalmente:
V(Y)=E(Y2)−E(Y)2
V(Y)=171−92=90
Novamente marcamos "item errado".
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A distribuição apresentada na questão é uma distribuição geométrica, de formato: P(K = k) = (1-p)^k-1 * p
Para esse tipo de distribuição, a variância é calculada por 1-p / p
A probabilidade dada no enunciado é P (Y=y) = 0,1 * 0,9^y, então sabemos que p = 0,1
Substituindo na fórmula:
Var (y) = 1 - 0,1 / 0,1^2 = 90, que é maior que 87
Gabarito: errado
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Distribuição Geométrica
p(y) = p.(1-p)^y
E(y) = 1/p
Var(y) = (1-p)/p²
Logo,
p(y) = 0,1.(0,9)^y
Var(y) = 0,9/(0,1²) = 90
Gabarito Errado
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Distribuição Geométrica:
P(y) = [p . (q)^y]
Média: E(y) = 1/p = 1/0,1 = 10
Variância:
Var(y) = q/p² = 0,9/0,1² = 90
Lembre-se: Na distribuição geométrica Var é o fracasso sobre o sucesso ao quadrado!!