GAB.: C
Para resolver a questão é necessário conhecer 3 propriedades da Variância:
Propriedade 1: A Variância de uma constante é zero.
Propriedade 2: Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância não se altera.
V ( K ± X ) = V ( X )
Propriedade 3: A soma ou diferença das variâncias é dada pela equação: V ( X ± Y ) = V ( X ) + V ( Y ) ± 2 ×cov( X ,Y )
Dito isto, vamos resolver o exercício:
PASSO 1 - Entendendo o que a questão pede.
A questão pergunta se a Covariância enter W e Z é igual a -1. Usando a Propriedade 3, vamos isolar a Covariância do restante da equação.
V ( W ± Z ) = V ( W ) + V ( Z ) ± 2 ×cov( W ,Z ) --> 2 ×cov( W ,Z ) = V ( W ± Z ) - V ( W ) - V ( Z )
PASSO 2 - Descobrindo os valores de V ( W ± Z ), V ( W ) e V ( Z )
O enunciado informa que Z é uma distribuição normal padrão. Para distribuições do tipo, tem-se que:
1 - A média tem valor 0;
2 - O desvio-padrão tem valor 1.
Como a variância é a raiz do desvio-padrão, que para Z vale 1, temos:
V (Z) = Raiz do Desvio-padrão (Z) = Raiz (1) --> V (Z) = 1
O enunciado forneceu que W = 1 - Z. Aplicando a variância para ambos os lados da equação, temos:
V (W) = V (1 - Z)
Utilizando a propriedade 2, temos que V (1 - Z) = V (Z). Logo:
V (W) = V (Z)
V (W) = 1
O enunciado forneceu que W = 1 - Z. Com isso temos:
W = 1 - Z --> W + Z = 1
Aplicando a variância para ambos os lados da equação, temos:
V (W + Z) = V (1)
Utilizando a propriedade 1, temos que V (1) = 0. Logo:
V (W + Z) = 0
PASSO 3 - Substituindo a bagaça toda encontrada no PASSO 2 no PASSO 1
2 ×cov( W ,Z ) = V ( W ± Z ) - V ( W ) - V ( Z )
2 ×cov( W ,Z ) = 0 - 1 - 1
2 ×cov( W ,Z ) = - 2
cov( W ,Z ) = (-2)/2
cov( W ,Z ) = - 1
Pessoal, resolvi da seguinte forma...
W = 1 - Z
V = Z² - W² + 1
A questão pede "Cov (W, Z)".
*Vamos substituir 1-Z no lugar do W*
Cov (1 - Z, Z)
*Utilizando uma propriedade da Covariância*
Cov (1 - Z, Z) = Cov (1, Z) + Cov (-Z, Z)
Cov (1 - Z, Z) = Cov (1, Z) - Cov (Z, Z)
=====
Duas propriedades importantes da Covariância:
1- Covariância de uma constante (1) e uma variável (Z) é igual a 0.
2- Covariância de duas variáveis iguais (Z) é a Variância dessa constante.
Características de uma Distribuição Normal Padrão:
Média = 0
Desvio Padrão = 1
Variância = 1
=====
Cov (1, Z) - Cov (Z, Z)
= 0 - Var (Z)
= 0 - 1
= -1
Gabarito CERTO.