CTmedio = CT/Y, onde Y é a função produção e CTmedio vou chamar de CTm. Logo
CTm = CT/Y
Mas CT = rK +wL
CT = 2 + 4L
Devemos achar o valor de L para matarmos a questão, pois o enunciado nos deu uma equação em função de Y. Então, para podermos afirmar algo sobre essa assertiva, temos q colocar CTm somente em função da variável Y.
Da função produção]:
Y = (K*L)^(1/2) obs.: só usei uma propriedade. Se vc não entendeu, acho melhor revisar - revisa aí q é rapidinho e temos q manjar dessas propriedades, pq economia não pega leva.
Se, didaticamente falando, """"""elevarmos os dois lados ao quadrado""""", teremos
Y² = K*L
Dividindo os dois lados da equação por K:
Y²/K = L
Mas K = 2 (a questão deu):
L = Y²/2
Agora, devemos pegar esse valor de L e jogar na equação do CT
CT = 2 + 4L = 2 +2Y²
Agora q temos tudo em função de Y, é só correr para o abraço
CTm = CT/Y = (2 + 2Y²)/Y
CTm = (2/Y) + 2Y
Gabarito: ERRADO
Espero ter ajudado
Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão sobre Teoria dos Custos.
Essa questão da prova da ABIN é mais complicadinha.
Vamos devagar, que conseguiremos resolvê-la numa boa.
A questão nos informou que Y = K1/2L1/2, e que w = 4 e r =
1.
A primeira equação (Y = K1/2L1/2) é uma função Cobb-Douglas,
para a qual podemos aplicar aquelas propriedades que vimos aqui no curso.
Uma das propriedades é justamente que a soma dos expoentes
da função Cobb-Douglas pode nos indicar algum fato relevante. Se somarmos ½ + ½
chegaremos a 1, o que nos diz que estamos diante de uma função com retornos
constantes a escala.
Retornos constantes a escala é situação na qual se nós
dobrarmos os fatores de produção (trabalho e capital) a produção vai dobrar
também.
Considerando essa situação, e também que tanto o K como o L
são elevados a ½, podemos concluir que a firma utilizará 50% de capital e 50%
de trabalho na sua produção (como é uma função constante e o expoente de K e L
são iguais, a firma vai usar 50% de seu orçamento para produzir com cada
fator).
Só que aqui tem uma questão envolvida. O custo do salário
(w) é maior que o custo do capital (r). Isso significa que, apesar de usar o
mesmo orçamento para os dois fatores, a quantidade de cada um deles será
diferente, o que impactará no custo total (CT). A função CT pode ser escrita assim:
CT = wL + rK
Onde w e r são os custos de trabalho e capital, L é a
quantidade de trabalho e K é a quantidade de capital.
Como w = 4 e r = 1, de tudo que a firma utilizar de capital,
ela usará ¼ disso em trabalho (já que a proporção é 50% em cada insumo e o insumo do trabalho é mais caro que o capital).
Exemplo: Se a firma gastar 100 reais com trabalho e 100 com
Capital (totalizando 200), ela vai usar, 25 trabalhadores (porque w.L será igual a 4*25 = 100), e
usará 100 máquinas (porque rK = 1*100 = 100).
Já se a firma gastar 500 reais com Trabalho e 500 com
Capital, ela vai usar, 125 trabalhadores (porque w.L será igual a 4*125 = 500),
e usará 500 máquinas (porque rK = 1*500 = 500).
Ou seja, como o custo do trabalho (w= 4) é maior que o
custo do capital (r = 1), a firma vai usar mais capital do que trabalho para
produzir, já que o capital é o fator de produção mais barato. E a proporção
utilizada será de ¼.
Bom, agora que temos essas informações, podemos começar a
trabalhar. A questão quer saber qual o custo total médio, quando o K for igual
a 2.
Bom, custo médio é o custo total dividido pela produção. A
questão chamou a produção de Y, então, o custo médio será CT/Y.
Vamos, então, trabalhar com a função produção. A questão
quer saber sobre o custo de curto prazo. No curto prazo, nós um fator de
produção fixo e um fator de produção variável.
Como o trabalho é mais caro (w = 4), a firma terá mais
liberdade para aumentar ou diminuir este fator, pois priorizará o outro fator
que é mais barato, de forma que o nosso fator variável será o trabalho e o
fator fixo será o capital.
Então, da função CT (CT = wL + rK), o wL será o nosso custo
variável (pois representa o tanto que a firma gasta com o fator de produção
trabalho), enquanto o rK será o nosso custo fixo (pois representa o tanto que a
firma gasta com o fator de produção capital).
Bom, agora, na função de produção total, vamos isolar o
fator L:
L(1/2)=Y/K(1/2)
Só que L está elevado a ½. Podemos elevar os dois lados ao
quadrado para nos livrarmos do expoente de L (propriedade matemática: todo
número elevado a ½, quando elevado ao quadrado, tem seu expoente igual a 1).
(L1/2)²=(Y/K1/2 )2
Como todo número elevado a ½, quando elevado ao quadrado,
tem seu expoente igual a 1, teremos que:
L=Y²/K
Como já vimos, o wL será o nosso custo variável. Nossa
equação tem o L, mas falta o “w", então, vamos multiplicar os dois lados da
equação por “w". Ficará assim:
wL=wY²/K
Com wL é o nosso custo variável (CV), podemos trocar wL por CV.
Então:
CV=wY²/K
Já o Custo Fixo (CF) será rK, mas repare que não temos rK na
expressão acima. Bom, uma outra forma de enxergar a função CT é somando o CV
com o CF. Assim:
CT = CV + CF
Substituindo os termos de CV e CF nessa expressão acima, teremos (CV=wY²/K e CF = rK):
CT = wY²/K + K.r
Agora, podemos substituir o preço dos insumos w = 4 e r = 1.
Além disso, a questão nos informou que K = 2. Então:
CT = 4Y²/2 + 2.1
CT = 2Y² + 2
Por fim, como a questão quer o custo médio, basta dividirmos
o CT por Y. Aí:
CTMe = CT/Y
CTMe = (2Y² + 2)/Y
CTMe = 2Y + 2/Y
Portanto, o custo total médio será 2Y + 2/Y, diferente do que afirma a questão.
Gabarito do Professor: ERRADO.