[Correto]
**Aconselho ir anotando as equações em um papel para não se perder nas contas.
A regra de Simpson utiliza 3 pontos para interpolar uma função através de uma Parábola. Usa-se os pontos extremos e o intermediário. Para a questão temos os três pontos: Xo = 0; X1 = pi/4/; X2 = pi/2.
A função que desejamos aplicar o método é: f(x) = sen(2x). E por fim, vamos integra-la entre [0, pi/2].
Quando fizermos a aproximação de Simpson, teremos uma função p(x) tal que f(x) = p(x).
Como vamos trabalhar com uma parábola, utilizamos o polinômio de Lagrange de 2o grau para auxiliar na construção de p(x). Então teremos:
p(x) = Lo(X).f(Xo) + L1(X).f(X1)+L2(X).f(X2).
Antes de substituir os termos, podemos de cara eliminar alguns, fazendo as substituições de f(x):
f(Xo) = sen(0) = 0
f(X1) = sen[2(pi/4)] = sen(pi/2) = 1
f(X2) = sen[2(pi/2)] = sen(pi) = 0
Então, simplificando, já temos:
p(x) = L1(X).f(X1)
Substituindo agora o polinômio de Lagrange para o 2o grau (Aconselho a vocês darem uma rápida pesquisada no google para encontrarem a fórmula)
L1(X) = [(X-Xo).(X-X2)] / [(X1-Xo).(X1-X2)]
A ideia é "fácil", apesar de parecer assustador. Na parte de cima é só colocar sempre, X menos os outros pontos, de forma crescente, e embaixo, por o ponto que estamos trabalhando, menos os outros dois valores, também de forma crescente. Ao final da questão eu coloco os outros dois Polinômios de Lagrange para vocês verem como ficam.
Agora é substituir os termos:
p(x) = { [(X-0).(X-pi/2)] / [(pi/4-0).(pi/4-pi/2)] } . f(X1) => (Lembrando que f(X1) = 1
p(x) = [X.(X-pi/2)]/(-pi²/16) ou seja, temos que: p(x) = (X²-X.pi/2)/(-pi²/16)
***Eliminando a fração da parte de baixo da equação, ficamos com:
p(x) = (-16/pi²) . [X²-X.(pi/2)]
Agora vamos integrar p(x) no intervalo [0, pi/2]
o termo (-16/pi²) é uma constante, fica fora da integral, logo:
Int p(x) = (-16/pi²) . int [X²-X.(pi/2)]
(-16/pi²) . [(X³/3) - (pi/2).(X²/2)] no intervalo [0, pi/2]
Substituindo então os valores:
(-16/pi²) . [(pi³/24) - (pi/2).(pi²/8)]
(-16/pi²) . [(pi³/24) - (pi³/16)]
(-16/pi²) . [(2pi³/48) - (3pi³/48)]
(-16/pi²) . (-pi³/48) = pi/3
Reposta: pi/3
====Fim da questão====
Como falei lá encima, vou por os outros dois polinômios de Lagrange para vocês verem como fica:
Lo, que é com referência a Xo, fica:
Lo(x) = [(X-X1)(X-X2)] / [(Xo-X1)(Xo-X2)]
Para L2, que tem como referência X2, temos:
L2(x) = [(X-Xo)(X-X1)] / [(X2-Xo)(X2-X1)]