Questão Q877402

Considere que u(x1, x2) = 4x11/2 + 8x21/2 seja a função utilidade do consumidor, em que xi (p1, p2, w) é a demanda do consumidor em relação ao bem i, i = 1,2, p1 é o preço do bem 1, p2 é o preço do bem 2 e w é a riqueza do consumidor. Nessa situação, em relação ao comportamento do consumidor, é correto afirmar que a demanda marshalliana do consumidor pelo bem

Alternativas

1 é igual à demanda marshalliana do consumidor pelo bem 2.

Comentários

Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange:
*vou usar Y no lugar de X2 para ficar mais fácil a leitura

L = U(X,Y) + λ(RO)
U(X,Y) = 4X^0,5 + 8Y^0,5
RO => W = P1X + P2Y = 0 => W - P1X - P2Y = 0

L = 4X^0,5 + 8Y^0,5 + λ(W-P1X-P2Y)

condições de 1a ordem:
-> derivada parcial de L em relação a X:
2X^-0,5 - λP1 = 0
λ = (2X^-0,5)/P1

-> derivada parcial de L em relação a Y:
4Y^-0,5 - λP2 = 0
λ = (4Y^-0,5)/P2

igualando os λ
(2X^-0,5)/P1 = (4Y^-0,5)/P2
...
Y = (4P1²X)/P2²
X = (P2²Y)/4P1²

aplicando as equações acima na restrição orçamentária:
RO: P1X + P2Y = W
P1X + P2[(4P1²X)/P2²] = W
...
X = (P2W)/P1P2+4P1²

RO: P1X + P2Y = W
P1[(P2²Y)/4P1²) + P2Y = W
...
Y = (4P1W)/4P1P2+P2²

Gabarito: (d)
jesus cristo
Utilidade marginal de x1(x2) é a derivada da função utilidade com relação a x1(x2):

UmgX1 = 2x1^(-1/2)

UmgX2 = 4x2^(-1/2)

Demanda Marshalliana -> UmgX1/UmgX2 = P1/P2

-> x1 = P2².x2/4P1²

Restrição orçamentária: w = P1x1 + P2x2

Substituindo x1 e isolando x2 na equação acima:

w = P2²x2/4P1 + P2X2

-> X2 = 4P1.w/(P2²+4P1P2)
Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão sobre Teoria do Consumidor!

Bom, a demanda marshalliana é também chamada de função demanda-ordinária. Isto porque a renda e os preços de um bem influenciam na demanda por este bem. A demanda marshalliana, portanto, é uma função demanda que leva em consideração não só os preços do bem em questão, mas também a renda.

Dizemos que a função de demanda marshalliana é função dos preços dos bens e também da renda. Assim, se "m" for a demanda marshalliana, teremos:

mh = f(p1, p2, R)

A grande vantagem da função de demanda marshalliana é que ela nos diz o que acontece com um consumidor quando os preços aumentam.

Por exemplo, imagine que um consumidor consome toda a sua renda R com dois bens A e B. Se o bem A subir de preço, o consumidor não conseguirá mais consumir a mesma quantidade de A que anteriormente, pois, na prática, a sua renda caiu (pois o preço do bem A aumentou de preço). Se o consumidor não consegue consumir a mesma quantidade de A que antes, isso significa que sua utilidade agora é menor e ele está numa curva de indiferença mais baixa.

Assim, a demanda marshalliana vai capturar este efeito e nos dizer o que aconteceria com a demanda do consumidor quando os preços sobem, considerando a variação da renda. Por isso, dizemos que a demanda marshalliana pressupõe que a renda nominal do consumidor é constante.

Sobre esta questão, o enunciado nos dá a função utilidade e nos pede a demanda ordinária. Para isso, precisaremos partir do equilíbrio do consumidor, encontrar x1 e, depois, substituirmos na equação de restrição orçamentária.

Assim, vale lembrar que a restrição orçamentária é dada por: x1.p1 + x2.p2 =w, onde:

p1 = preço do bem 1.
x1 = quantidade consumida do bem 1.
p2 = preço do bem 2.
x2 = quantidade consumida do bem 2.
w = renda (riqueza) do consumidor.

Bom, o equilíbrio do consumidor é dado por:

UmgX1 / UmgX2 = Px1 / Px2

Então, precisamos encontrar UmgX1 e UmgX2.

Como a função utilidade é U = 4x1^1/2 + 8x2^1/2, a UmgX1 será encontrada derivando a função utilidade em relação a X1 (isto é, considerando a 8x2^1/2como constante). Já a UmgX2 será encontrada derivando a função utilidade em relação a X2 (considerando 4x1^1/2 como constante).

Vamos começar com UmgX₁:

U = 4x1^{1/2 +}8x2^1/2

Aplicando a regra do tombo, teremos:

UmgX₁ = 4*1/2. x1^(1/2)-1+ 0

(Lembre que como estamos derivando em relação a x1, 8x2^1/2 é considerado como se fosse uma constante. E a derivada de uma constante é zero).

Assim:

UmgX₁ = 2x1^-1/2

Agora, UmgX₂:

U = 4x1^1/2 + 8x2^1/2

Aplicando a regra do tombo, teremos:

UmgX₂ = 0 + 8*1/2. x₂^(1/2)-1
UmgX₂ = 4x₂^-1/2

Agora que temos Umgx1 e Umgx2, podemos substituir no equilíbrio do consumidor:

UmgX1 / UmgX2 = Px1 / Px2
[2x1^-1/2] / [4x₂^-1/2] = Px1 / Px2

Simplificando o "2" com o "4", teremos:

[x1^-1/2] / [2x₂^-1/2] = Px1 / Px2

Agora, vamos passar o 2 que sobrou no denominador do lado esquerdo da equação para o outro lado. Ele está dividindo e vai passar para o outro lado multiplicando. Assim (negritei e sublinhei o 2):

[x1^-1/2] / [2x₂^-1/2] = Px1 / Px2
[x1^-1/2] / [x₂^-1/2] = 2Px1 / Px2

Repare que do lado esquerdo da equação, tanto x1 quanto x2 estão elevados a -1/2, portanto, podemos considerar a exponenciação conjunta. Assim:

(x1 / x₂)^-1/2 = 2Px1 / Px2

Agora, vamos passar o expoente -1/2 para o outro lado da equação. Ficará assim:

(x1 / x₂) = (2Px1 / Px2)^-2

Como o número aplicando a exponenciação no lado direito da equação:

(x1 / x₂) = Px₂²/ 4Px₁²

Isolando x1:

x1 = x_2.Px₂²/ 4Px₁2

Para encontrarmos a demanda marshalliana, falta substituirmos x1 na equação de restrição orçamentária. Assim:

x1.px1 + x2.px2 =w

Substituindo x1 na equação acima, temos:

(x2.Px22/ 4Px12).px1 + x2.px2 = w

Multiplicando (x_2.Px₂²/ 4Px₁²).px1, teremos:

(x2.Px22.px1/ 4Px12) + x2.px2 = w

Cortando o px1 de cima com o px1 de baixo:

(x_2.Px₂²/ 4Px₁) + x2.px2 = w

Colocando o x2 em evidência:

x2.(Px₂²/ 4Px₁ + px2) = w

Passando o que está multiplicando para o outro lado:

x2 = w/(Px₂²/ 4Px₁ + px2)

Colocando o que está dentro dos parênteses na mesma base (mínimo múltiplo comum entre Px₂²/ 4Px_{1 e}px2).

x2 = w/[(Px22 + 4px1px2)/4px1]

Rearranjando a equação:

x2 = 4wPx₁ / (Px₂² + 4Px₁Px₂)

Gabarito do Professor: Letra D.

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