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Questão mais de álgebra que de economia propriamente dita....
Vamos que nem o Jack, por parte hehehe:
1 - Vamos isolar a demanda por X1, na equação da utilidade: u = X1 X2² - > torna-se X1 = u/X2²
2 - Sabe-se que a demanda por X2 = 2/3 R/p2 (os 2/3 saíram do expoente de X2 dividido pela soma dos expoentes)
3 - A restrição orçamentária é dada por R = X1p1 + X2p2, substituindo o X2 nessa equação, tem-se que R = 3X1p1
Agora já podemos montar a equação definitiva:
X1 = u/[(2R/3P2)]^2 - > u / 4R²/9P2² -> X1 = u*9P2² / 4(3X1p1)² -> u*9P2² / 4*9*X1²*p2² -> corta o 9, passa o X1² multiplicando
X1³ = u/4 * (P2/P1)² - > passa o ³ fazendo a raiz cubica... X1 = u/(4^(1/3)) * (p2/p1)^(2/3)
É dificil de entender nessa escrita linear do Qconcurso, mas se for com boa vontade, até que fica claro...
Qlqr dúvida, manda um inbox
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Questão muito legal! Resolvi via Lagrange, com minimização da restrição sujeito a utilidade. Vou usar x e y ao invés de x1 e x2.
MIN (xp1 + yp2) S.A. f(U)
L = xp1 + yp2 - λ(xy²)
Primeiro faça a derivada parcial em relação a x, depois a y e por fim em relação ao λ.
Encontre a relação entre y e x e depois substitua na função utilidade. Chegaremos na letra B.
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Comentários de professor em questões de Economia são mais raros que políticos presos. Puta merda. Resolve isso aí QC. Contrata alguém que preste!
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Pela demanda hicksiana (ou compensada), tem-se que respeitar a condição:
Min (Px.X + Py.Y)
Sujeito à: U(x,y) = U
Sabendo disso, nós vamos proceder assim:
1) Condições:
(i) Pela dualidade do problema do consumidor: UmgX / Umg Y = Px / Py
(ii) Foi dado no exercício que: U = XY²
2) Vamos encontrar a Umg X e Umg Y para substituir em (i):
a) UmgX = Y² e UmgY = 2YX ----> lembrando que para fazer a derivada de uma multiplicação: "deriva a primeira, multiplica pela segunda + deriva a segunda, multiplica pela primeira"
b) Substituindo em (i):
Y² / 2YX = PX/PY
Y = PX/PY * 2X
3) Vamos substituir Y em (ii)
U = X(PX/PY * 2X)²
(....)
U = 4X³ * (PX²/PY²)
4) Isolando-se X, chega-se à letra (b), o nosso gabarito.
O QConcursos não permite que a álgebra fique devidamente formatada, mas deixo aqui um vídeo que tem o passo a passo de como encontrar a demanda hicksiana: "demanda hicksiana funcion del gasto minimo lema de shephard", tem 4'02
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Questão dificílima, segue a fundamentação detalhada:
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Curva de indiferença/Isoquanta (Total e marginal)
Teorema dos limites: f’(x) = lim (h→ 0) ∂y / ∂x = ∆y / ∆x = { y(x+h) – y(x) } / (x + h – x)
U (x, y) = C . x^a . y^b
Umgx = ∆U / ∆x = aC . x^a-1 . y^b
Umgy = ∆U / ∆y = bC . x^a . y^b-1
Curva de indiferença/Isoquanta (inclinação/propensão marginal a consumir)
Inclinação da curva de indiferença = TmgS(U) ou TMST
TmgS(U) = ∆y / ∆x = ∂y / ∂x
Variações ( ∆U ) dentro de uma mesma curva de indiferença resultam em,
Umgx = ∆U / ∆x >>> ∆U = ∆x . Umgx
Umgy = ∆U / ∆y >>> ∆U = ∆y . Umgy
- ∆U = + ∆U
- ∆x . Umgx = + ∆y . Umgy
∆y / ∆x = - Umgx / Umgy
TmgS(U) = - Umgx / Umgy
TmgS(U) = - aC . x^a-1 . y^b / bC . x^a . y^b-1
TmgS(U) = - (a/b) . (x^-1 . y^1)
TmgS(U) = - (a/b) . (y/x)
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Restrição orçamentária/Isocusto (inclinação)
R = px.x + py.y
py.y = R – px.x
y = R/py – (px/py).x
inclinação de RO = y’(x) = -px/py
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Otimização: Inclinação de U = inclinação de RO
(-) Umg(x1) / Umg(x2) = - px / py
- (a/b) . (y/x) = -px / py
y = (b/a) . (px/py) . x
x = (a/b) . (py/px) . y
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y = (b/a) . (px/py) . x
y = (2/1) . (px/py) . x
y = 2x . px/py
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Aqui é o pulo do gato: na otimização Marshalinana, a substituição do ótimo da tangência se da na restrição orçamentária. Já na otimização Hicksiana, a substituição do ótimo da tangência se dá novamente na função de utilidade.
u = x . y^2
x = u / y^2
x = u / {(b/a) . (px/py) . x}^2
x = u / {(2/1) . (px/py) . x}^2
x = u / 4x^2 . (px/py)^2
4x^3 = u / (px/py)^2
x^3 = (1/4) . u . (py/px)^2
x = (1/4^3) . u^1/3 . (py / px)^2/3 (GABARITO: B)
Bons estudos!
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Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão
sobre Teoria do Consumidor!
Bom, a demanda hicksiana é também chamada de função demanda compensada.
Isto porque a renda e os preços de um bem influenciam na demanda por este bem.
Esta função é importante porque ela nos permite verificar como podemos
"compensar" a variação dos preços com a renda e assim manter a
utilidade do consumidor, daí o nome "demanda compensada".
Por exemplo, imagine que um consumidor consome toda a sua renda R com
dois bens A e B. Se o bem A subir de preço, o consumidor não conseguirá mais
consumir a mesma quantidade de A que anteriormente, pois, na prática, a sua
renda caiu (pois o preço do bem A aumentou de preço). Se o consumidor não
consegue consumir a mesma quantidade de A que antes, isso significa que sua
utilidade agora é menor e ele está numa curva de indiferença mais baixa.
A função de demanda hicksiana nos diz qual deveria
ser o aumento na renda do consumidor para que, mesmo após o aumento no preço de
A, ele pudesse manter a mesma demanda de antes do aumento de preço (isto é,
manter o mesmo nível de utilidade anterior ao aumento no preço).
Em outras palavras, ela nos permite verificar qual
seria o consumo de dois bens que mantém o mesmo nível de utilidade de um
consumidor. Por isso, a demanda hicksiana é uma função dos preços dos bens em
questão e também da utilidade. Isto é se h é a função de demanda hicksiana:
h = f(p1, p2, U)
Dizemos, então, que a demanda hicksiana é uma
função que visa manter a renda real do consumidor constante, isto é, que visa
considerar a renda tendo em vista eventuais alterações nos preços, mas mantendo a mesma utilidade.
Sobre esta questão, a demanda hicksiana exige que
nós minimizemos a restrição orçamentária (p1.x1 + p2x2.), mas considerando a
Utilidade do Consumidor (U = x1.x22).
O equilíbrio do consumidor é dado por:
UmgX1 / UmgX2 = Px1 / Px2
Então, precisamos encontrar UmgX1 e UmgX2.
Como a função utilidade é U = x1.x22, a UmgX1 será encontrada
derivando a função utilidade em relação a X1 (isto é, considerando a x22 como constante. Já a
UmgX2 será encontrada derivando a função utilidade em relação a X2
(considerando x1 como constante).
U = x1.x22
UmgX1 =
x22
Já UmgX2 =
x1.x22
Aplicando a regra do tombo:
Umgx2 = x1.2.x21
Umgx2 = 2x1x2
Agora que temos Umgx1 e Umgx2, podemos substituir
no equilíbrio do consumidor:
UmgX1 / UmgX2 = Px1 / Px2
x22/2x1x2 = Px1 / Px2
Cortando
o x2 com o x2:
x2/2x1 = Px1 / Px2
Agora, vamos isolar o x2:
x2 = (px1/px2)*2x1
Agora que encontramos o valor de x2, podemos
substituir na função utilidade.
U = x1.x22
U = x1.[(px1/px2)*2x1]2
Aplicando o exponencial:
U = x1.4x12.(px1/px2)2
U = 4x13.(px1/px2)2
Por fim, basta isolarmos o x1!
U/x13 =
4.(px1/px2)2
Invertendo a equação:
x13/U =
(1/4)*(px2/px1)2
O "U" que tá dividindo do lado esquerdo,
passa para o outro lado multiplicando. Assim:
x13 =
(1/4)*U*(px2/px1)2
Por fim, vamos extrair a raiz cúbica:
x1 = [1/(41/3)]*(u1/3)*(px2/px1)2/3
Gabarito do Professor:
Letra B.