Questão 263926

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Administrador Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior - Elétrica; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Petróleo Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Produção Júnior
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência

Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na primeira situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o sexto lance, é

• A. 7/16
• B. 31/64
• C. 1/2
• D. 1/32
• E. 1/64

Gabarito: B

Comentários

• Total de casos = 2^6 = 64
  
  Casos de empate ----> CKCKCK e KCKCKC ----> 2 casos (K = cara, C = coroa)
  
  Sobram 62 casos, sendo 31 de vitória e 31 de derrota
  
  Pv = 31/64
   
• Legenda:
  C: cara
  K: coroa
  
  Ganha-se obtendo duas caras consecutivas, dessa forma, eu ganho tirando:
  CC = 1/2*1/2 = 1/4
  KCC = 1/2*1/2*1/2 = 1/8
  CKCC = 1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/16
  KCKCC = 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/32
  CKCKCC = 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/64
  
  somando tudo temos 31/64.
• Para os 6 lançamentos da moeda, quantos são os casos possíveis?   Ora, temos 6 lançamentos, e cada um deles tem dois resultados possíveis (K ou C). Aplicando o princípio fundamental da contagem, onúmero de casos possíveis é:   2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64   Tudo certo até aqui?   Continuando.    Há situações em que não ocorre nem a vitória nem a derrota. Tais situações correspondem aos casos em que cara e coroa se intercalam. São dois casos desse tipo:   C, K, C, K, C, K K, C, K, C, K, C   Tínhamos então 64 possíveis.   Em 2 desses 64 casos, não temos nem vitória nem derrota.   Sobram 64 - 2 = 62.   Nesses 62 que sobraram, ou temos vitória ou temos derrota.   Como a chance de K ou C é a mesma (50% para cada lado), a chance de derrota é igual à chance de vitória. Assim, metade dos 62 casos correspondem a vitórias e metade correspondem a derrotas.   Disto resulta que em 62 / 2 = 31 casos nós temos vitória até o sexto lançamento. Em outras palavras, são 31 casos favoráveis.   A probabilidade é dada pela relação entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis. Ficamos com:   P = 31 / 64
• Questão muito interessante. O cálculo combinatório direto é um pouco difícil, mas felizmente podemos obter a resposta indiretamente. Qualquer seja o número de lances, o jogo só não termina em 2 possibilidades: uma sequência alternada se iniciando em cara, ou coroa. Vemos então que, em 6 lances, a chance do jogo não terminar é 2/64. (pois 64=2^6 é o número total de possibilidades em 6 lances). Das possibilidades restantes, é fácil ver que metade termina em vitória e metade em derrota, ou seja, o número de possibilidades de vitória é 62/2=31, donde P_vitória = 31/64. 
  
  (B) 31/64 (Resposta correta)
• Explicando a fórmula de probabilidade a qual é dada pela relação entre número de casos favoráveis / número de casos possíveis; 
  Se temos duas possibilidade (K ou C) a cada arremesso...;
  Considerando seis arremessos, significa dizer que existem 2 (elevado) a 6 (2^6)=64 chances de vitória ou derrota (casos possíveis)...; 
  Descartamos duas situações em que não saiu coroa, logo 64 - 2 = 62... Isto significa que temos 31 possibilidades de K + 31 de C,  O problema pede apenas as chances de vitória consideraremos apenas 31 K (casos favoráveis) dentre 64 chances no total(casos possíveis). Na relação de probabilidade conforme a fórmula descrita temos P=31/64.   

• entendi foi nada

• São 64 possibilidades.
  Apenas dois empates: KCKCKC ou CKCKCK
  Sobram 62 possibilidades, sendo 31 pra cada.
  
  31/64 é a resposta.