Questão 266968

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Petrobras
• Ano: 2011
• Provas: CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Petróleo Júnior; CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Químico de Petróleo Júnior
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação); Medidas de Posição - Tendência Central (Media, Mediana e Moda)

Em uma empresa, todos os funcionários receberam um aumento de 10% nos salários e, posteriormente, ganharam um abono de 100 reais. Sobre a nova média e a nova variância de salários, em relação à média e à variância iniciais, isto é, antes dos aumentos, tem-se que a

• A. média e a variância não se alteram.
• B. média não se altera, e a variância fica aumentada em 10%.
• C. média e a variância ficam aumentadas em 10% mais 100 reais.
• D. média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 10%.
• E. média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 21%.

Gabarito: E

Comentários

• Como é a resolução desta questão???
• Aumento do salário em 10%. Multiplica  média por 1,10 (10%) e a variância por (1,10)^2 = 1,21(21%)
  Abono de 100,00 (soma de 100,00). Apenas para média, pois a variância não é influenciada por soma ou subtração.
  RESPOSTA: E
  
  PARA A MÉDIA:
  I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k),
  a sua MÉDIA fica multiplicada ou dividida pela constante.
  II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua
  MÉDIA fica acrescida ou diminuída dessa constante.
  A média é influenciada pelas quatro operações.
  
  PARA A VARIÂNCIA:
  III) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k),
  a sua VARIÂNCIA fica multiplicada ou dividida pelo QUADRADO da constante.
  IV) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua
  VARIÂNCIA fica INALTERADA, pois a variância de uma constante é igual a zero.
  
  PARA O DESVIO PADRÃO:
  V) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k),
  o seu DESVIO PADRÃO fica multiplicado ou dividido pela constante.
  VI) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), o seu
  DESVIO PADRÃO fica INALTERADO, pois o desvio padrão de uma constante é igual a zero.
  
  
• Dica rápida:
  
  Sendo:
  E(X) = μ
  Var(X) = σ
  
  E(X + c) = E(X) + E(c) =  μ + c    (onde c é uma constante qualquer)
  E(aX) = aE(X) = aμ (onde a é uma constante qualquer)
  E(aX + c) = aμ + c
  
  Var(X + c) = Var(X) + Var(c) =  σ + 0 = σ  
  Var(aX) = a²Var(X) = a²σ 
  Var(aX + c) = a²σ
• Não entendi essa dica rápida, alguém poderia me explicar?

• Média = Soma(vetor)/elementos

  M = (a+b+c+d...)/n

  pela propriedade distributiva da multiplicação, adicionar X a cada valor implica:

  M2 =(a+x + b+x + c+x...)/n => M2 = [x.n+(a+b+c+d...)]/n => M2 = x+M

  portanto aumenta-se a média em x, eliminando-se respostas A e B;

  
  

  pelo mesmo pensamento quando de incremento de todos os valores do vetor:
  M3 = (a.x + b.x + c.x...)/n => M3 = x.M, o que não elimina nada mais, mas enfim...;

  
  

  média final M4 = 100+1,1.M

  
  

  Da variância, definida como o quadrado da diferença entre um elemento e a média, Vi = (M-e)²,

  tem-se que um elemento qualquer no final é 100+1,1e, portanto a variânca fica 

  Vf = (M4-100-1,1e)² => (100 + 1,1M - 100 - 1,1e)² => 1,1² (M-e)² => 1,21 Vi, marcando-se a resposta E

• Esse caso em que a média fica 1,10 significa que ela tem o valor total de 100% (1) e é aumentada em mais 10% (0,10), ou seja 1,10?

  E então é feito seu quadrado para achar a nova variância, que seria 1,10² = 1,21 (100% + 21%)

  Média = +10%

  Variância = +21%

  É isso?

• Para quem ficou com dúvida vou tentar explicar com uma linguagem simples... Essa questão pegou muita gente porque trata das propriedades da Média, variância e DP.

  vamos supor que tenho o seguinte rol: 10, 20, 30

  • Média = 20. Se eu aumentar (diminuir, multiplicar ou dividir) todos esses 3 elementos pelo mesmo valor, a nova média segue o mesmo comando. Ou seja, se meu novo rol, for 0, 10, 20 (diminui 10 em cada termo), minha nova média será 10 (20 - 10)
  • Variância e DP: aqui são 2 regras.

  1) Se eu aumentar (ou diminuir) todos esses 3 elementos pelo mesmo valor, a nova variância (e DP) NÃO É ALTERADA. Ou seja, se meu novo rol for 0, 10, 20 (-10 em cada termo), minha Variância que era 66,77 CONTINUARÁ sendo 66,77 (o mesmo ocorre com o valor do DP)

  2) Se eu multiplicar (ou dividir) todos esses 3 elementos pelo mesmo valor, a nova variância deverá ser multiplicada (ou dividida) pelo quadrado do valor e o novo DP multiplicada (ou dividido) pelo valor. Ou seja, se meu novo rol for 20, 40, 60 (multipliquei todos os elementos por 2), minha variância que era 66,77 agora é 266,67 (2^2 x 66,67) e meu DP será multiplicado por 2.

  Agora tem um detalhe (e é aqui que muitos caem)... quando se tem um aumento, por exemplo, de 10% na média, variância ou DP, não ocorre aumento PELO MESMO VALOR em todos os elementos, pois cada item receberá ao correspondente de 10% do seu valor. Na verdade, esse aumento de 10% é uma MULTIPLICAÇÃO por 1,1 (110%) de todos os elementos.

  Indo para questão... quando ela diz que houve um aumento de 10% na média + acréscimo de $100 -- ocorre uma multiplicação de 1,1 no valor inicial + aumento de 100 na média (houve um acréscimo de 100 em todos os elementos da média). Se a média era, por exemplo, $1.000, a nova média será (1.000 x 1,1) + 100 = 1.200.

  quando diz que houve um aumento de 10% na variância + acréscimo de $100 -- ocorre uma multiplicação de 1,1 no valor inicial + nenhum aumento na variância final, pois o aumento (ou diminuição) em todos os elementos da variância não altera seu valor final. Se a variância era, por exemplo, $100, a nova variância será 100 x (1,1^2) + 0 = $121